全等三角形(知識點講解)全等三角形(知識點講解)全等三角形(知識點講解)xxx公司全等三角形(知識點講解)文件編號：文件日期：修訂次數：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度全等三角形一、目標認知學習目標：1．了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素；2．探索三角形全等的條件，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式。重點：1.使學生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式；2.三角形全等的性質和條件。難點：1.掌握用綜合法證明的格式；2.選用合適的條件證明兩個三角形全等二、知識要點梳理知識點一：全等形要點詮釋：能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。知識點二：全等三角形要點詮釋：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形知識點三：對應頂點，對應邊，對應角要點詮釋：兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角。知識點四：全等三角形的性質要點詮釋：全等三角形對應邊相等，對應角相等知識點五：三角形全等的判定定理（一）要點詮釋：三邊對應相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊邊邊”或“SSS”知識點六：三角形全等的判定定理（二）要點詮釋：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS”知識點七：三角形全等的判定定理（三）要點詮釋：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”知識點八：三角形全等的判定定理（四）要點詮釋：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。簡寫成“角角邊”或“AAS”知識點九：直角三角形全等的判定定理要點詮釋：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”三、規律方法指導1.探索三角形全等的條件：（1）一般三角形全等的判別方法有四種方法：①邊角邊（SAS）；②角邊角(ASA);③角角邊(AAS);④邊邊邊(SSS).(2)直角三角形的全等的條件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.2．判別兩個三角形全等指導（1）已知兩邊（2）已知一邊一角（3）已知兩角3．經驗與提示：⑴尋找全等三角形對應邊、對應角的規律：①全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊．②全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩個對應邊所夾的角是對應角．③有公共邊的，公共邊一定是對應邊．④有公共角的，公共角一定是對應角．⑤有對頂角的，對頂角是對應角．⑥全等三角形中的最大邊(角)是對應邊(角)，最小邊(角)是對應邊(角)⑵找全等三角形的方法①可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；②可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；③從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；④若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。⑶證明線段相等的方法：①中點定義；②等式的性質；③全等三角形的對應邊相等；④借助中間線段（即要證a=b,只需證a=c,c=b即可）。隨著知識深化，今后還有其它方法。⑷證明角相等的方法：①對頂角相等；②同角（或等角）的余角（或補角）相等；③兩直線平行，同位角、內錯角相等；④等式的性質；⑤垂直的定義；⑥全等三角形的對應角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角和。隨著知識的深化，今后還有其它的方法。⑸證垂直的常用方法①證明兩直線的夾角等于90°；②證明鄰補角相等；③若三角形的兩銳角互余，則第三個角是直角；④垂直于兩條平行線中的一條直線，也必須垂直另一條。⑤證明此角所在的三角形與已知直角三角形全等；⑥鄰補角的平分線互相垂直。⑹全等三角形中幾個重要結論①全等三角形對應角的平分線相等；②全等三角形對應邊上的中線相等；③全等三角形對應邊上的高相等。4.知識的應用（1）全等三角形的性質的應用：根據三角形全等找對應邊，對應角，進而計算線段的長度或角的度數.（2）全等三角形判別方法的應用：根據判別方法說明兩個三角形全等，進一步根據性質說明線段相等或角相等.（3）用全等三角形測量距離的步驟：①先明確要解決什么實際問題；②選用全等三角形的判別方法構造全等三角形；③說明理由.5．注意點（1）書寫全等三角形時一般把對應頂點的字母放在對應的位置.（2）三角形全等的判別方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判別三角形全等的條件中至少有一條邊.（3）尋找三角形全等的條件時，要結合圖形，挖掘圖中的隱含條件：如公共邊、公共角、對頂角、中點、角平分線、高線等所帶來的相等關系.（4）運用三角形全等測距離時，應注意分析已知條件，探索三角形全等的條件，理清要測定的距離，畫出符合的圖形，根據三角形全等說明測量理由.（5）注意只有說明兩個直角三角形全等時，才使用“HL”，說明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.數學思想方法（1）轉化思想：如將實際問題轉化數學問題解決等.（2）方程思想：如通過設未知數，根據三角形內角和之間的關系構造方程解決角度問題.（3）類比思想：如說明兩個三角形全等時，根據已知條件選擇三角形全等經典例題透析類型一：全等三角形性質的應用1、如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫出圖中的對應邊和對應角.思路點撥:AB=AC，AB和AC是對應邊，∠A是公共角，∠A和∠A是對應角，按對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊可求解.解析：AB和AC是對應邊，AD和AE、BD和CE是對應邊，∠A和∠A是對應角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是對應角.總結升華：已知兩對對應頂點，那么以這兩對對應頂點為頂點的角是對應角，第三對角是對應角；再由對應角所對的邊是對應邊，可找到對應邊.已知兩對對應邊，第三對邊是對應邊，對應邊所對的角是對應角.舉一反三：【變式1】如圖，△ABC≌△DBE.問線段AE和CD相等嗎為什么【答案】證明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，則AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【變式2】如右圖，，。求證：AE∥CF【答案】∴AE∥CF2、如圖，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度數與EC的長。思路點撥:由全等三角形性質可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度數與BF的長即可。解析：在ΔABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°.又因為ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形對應角相等，對應邊相等）。所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。總結升華：全等三角形的對應角相等，對應邊相等。舉一反三：【變式1】如圖所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.求證：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.【答案】(1）因為ΔACD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的對應角相等）.因為∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.所以CD⊥AB.(2）因為ΔCEF≌ΔBEF,所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的對應角相等）.因為∠CFE+∠BFE=180°，所以∠CFE=∠BFE=90°.因為∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.所以EF∥AC.類型二：全等三角形的證明3、如圖，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求證：△ADF≌△BCE．思路點撥:欲證△ADF≌△BCE，由已知可知已具備一邊一角，由公理的條件判斷還缺少這角的另一邊，可通過AC＝BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB-BD＝AB-AC(等式性質)即AD＝BC在△ADF與△BCE中∴△ADF≌△BCE(SAS)總結升華：利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內角(邊)的兩個三角形，(2)證明這兩個三角形全等；(3)由全等三角形的性質得出所要證的角(線段)相等．舉一反三：【變式1】如圖，已知AB∥DC，AB＝DC，求證：AD∥BC【答案】∵AB∥CD∴∠3＝∠4在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SAS)∴∠1＝∠2(全等三角形對應角相等)∴AD∥BC(內錯角相等兩直線平行)【變式2】如圖，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求證AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EBD＝90°(垂直定義)同理可證∠FCA＝90°∴∠EBD＝∠FCA∵AB＝CD，BC＝BC∴AC＝AB+BC＝BC+CD＝BD在△ACF和△DBE中∴△ACF≌△DBE(S．A．S)∴AF＝DE(全等三角形對應邊相等)類型三：綜合應用4、如圖，AD為ΔABC的中線。求證：AB+AC>2AD.思路點撥:要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接證出。由2AD想到構造一條線段等于2AD，即倍長中線。解析：延長AD至E，使DE=AD，連接BE因為AD為ΔABC的中線，所以BD=CD.在ΔACD和ΔEBD中，所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).所以BE=CA.在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.總結升華：通過構造三角形全等，將待求的線段放在同一個三角形中。舉一反三：【變式1】已知：如圖，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延長線于E，求證：BD=2CE.【答案】分別延長CE、BA交于F.因為BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.在ΔBEF和ΔBEC中，所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因為∠BAC=90°,BE⊥CF.所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.所以∠BDA=∠BFC.在ΔABD和ΔACF中，所以ΔABD≌ΔACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如圖，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求證：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF思路點撥:(1)直接通過△ABE≌△CDF而得，(2)先證明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可證明△AEF≌△CFE而得，總之，欲證兩邊(角)相等，找這兩邊(角)所在的兩個三角形然后證明它們全等．解析：(1)在△ABE與△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE＝CF(全等三角形對應邊相等)(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形對應角相等)∴AE∥CF(內錯角相等，兩直線平行)(3)在△AEF與△CFE中∴△AEF≌△CFE(SAS)∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形對應角相等)總結升華：在復雜問題中，常將已知全等三角形的對應角(邊)作為判定另一對三角形全等的條件．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，延長AC邊上的中線BD到F，使DF＝BD，延長AB邊上的中線CE到G，使EG＝CE，求證AF＝AG．【答案】在△AGE與△BCE中∴△AGE≌△BCE(SAS)∴AG＝BC(全等三角形對應邊相等)在△AFD與△CBD中∴△AFD≌△CBD(SAS)∴AF＝CB(全等三角形對應邊相等)∴AF＝AG(等量代換)6、如圖AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC．思路點撥:若能證得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可證得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要證AD=AE，就應先考慮Rt△ABD與Rt△AEC，由題意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可證得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD與Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD=AE(全等三角形對應邊相等)在Rt△ADF與Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF=∠EAF(全等三角形對應角相等)∴AF平分∠BAC(角平分線的定義)總結升華：條件和結論相互轉化，有時需要通過多次三角形全等得出待求的結論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等．【答案】根據題意，畫出圖形，寫出已知，求證．已知：如圖，在△ABC與△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′求證：△ABC≌△A′B′C′證明：在Rt△ABD與Rt△A′B′D′中∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL)∴∠B=∠B′(全等三角形對應角相等)在△ABC與△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)【變式2】已知，如圖，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求證：OC=OD【答案】∵∠C=∠D=90°∴△ABD、△ACB為直角三角形在Rt△ABD和Rt△ABC中∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)∴AD=BC在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD=OC．7、⊿ABC中，AB=AC，D是底邊