上海大學(xué)2015-2016春季學(xué)期《線(xiàn)性代數(shù)》試卷答題時(shí)限：120分鐘 考試形式：閉卷、筆試題號(hào)題號(hào)一二三四總分復(fù)查人得分一、填空題（每小題3分，共15分）1 0 0 1、設(shè)A0 1 2,則A1 0 2 1 0 1 2、設(shè)A0 0 0,則AI 1 0 3、如果，1 2

可由4 1

，，3

線(xiàn)性表示，則，，1 2

，線(xiàn)4性 （填相關(guān)或無(wú)關(guān)） xx x 14、線(xiàn)性方程組2xx x 2 的向量為1 2 33x1 2 32x 2x 31 2 35A是三階方陣，且1,3A的特征值，如果A6A角矩陣二、選擇題（每小題2分，共10分）6、如果三階行列式第一行元素為1,2,3，而且第二行余子式是a，1，2，則a=（ ）（A）-8 （B）8 （C）-4 （D）47、如果n解方陣A，B可逆，則矩陣方程AXB=C的解X=（ ）（A）A1B1C （B）A1CB1

CA1B1

B1CA18設(shè)A為n階矩陣且則r(n1是Ax0的兩個(gè)不同解向量則Ax0的1 2通解為（ ）（其中k為任意常數(shù)）（A）k1

) （B）k2 1

k2

k1

)29、設(shè)A為n(n階矩陣，如果A可對(duì)角化，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）（A）矩陣A有n個(gè)不同特征值 （B）矩陣A與單位矩陣相似（C）A一定沒(méi)有n個(gè)不相同的特征值 （D）A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 a b 10、設(shè)矩陣Ab a b，的秩為1，則必有（ ）b b a（A）ab且a0 （B）ab或a0（C）ab或a0 （D）ab且a0三、計(jì)算題（6小題，共63分）1411、（10分）設(shè)D

2 3 45 6 7

為元素a

的代數(shù)余子式。1 2 1 2 ij ij3 3 6 23A12

4A22

A 3A32

值；（4分）計(jì)算3A11

3A12

6A13

4A14

值。（6分） 1 0 12、（8分）已知A1 1 0，計(jì)算An（其中n為正整數(shù)）。0 2 11 1 1 11 1 1 113（10分A

XA5X15Ax4IX。1 1 1 11 1 1 14、（12 分）求向量組1

(1,2,3,4)T，2

(1,3,4,2)T，3

(1,0,1,a)T， 的秩和它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其它向量用此極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)4性表示。x21

2x2

2x 1315、（12分）對(duì)于線(xiàn)性方程組

xx1

2x3

1，試討論k為何值時(shí)，改方程組無(wú)解、xx k2x k1 2 3有唯一解和有無(wú)窮多解，并在有無(wú)窮多解時(shí)，求它的通解。16、（11分）設(shè)二次型fax2x

22x

22x

2x

對(duì)應(yīng)的矩陣秩為2試確定參數(shù)1 2 3 13 23a的值，并用正交變換將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型（需寫(xiě)出正交變換及標(biāo)準(zhǔn)型）。四、證明題（每小題6分，共12分）17、（6分設(shè)AB為n階矩陣，且相似。求證xIxIB。18、（6分AB為nrABn4n維列向量1，2，3，4AiBi(i)，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)。求證1234n元線(xiàn)性方程組AB)x0的基礎(chǔ)解系。上海大學(xué)2015-2016春季學(xué)期《線(xiàn)性代數(shù)》試卷參考答案一、選擇題（每小題3分，共15分）1 0 01、0 3 2 0 2 2、-13、相關(guān)4、或者5、 2 二、選擇題（每小題2分，共10分）、C、B、D、D10、A三、計(jì)算題（6小題，共63分）11、（1）解：由于A12

，A ，A22

A D1,4,1,3D42的第一列元素。根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式某列與另外一列代數(shù)余子式相乘其結(jié)果為0，得A 4A12 22

A 3A 032 423 3 6 4 3 3 6 44 5 6 7 4 5 6 7（2）3A11

3A12

6A13

4A 14 133

2 1 2 1 3 6 2

2 1 20 0 23 3 6 3 0 0 24 5 624 1 2 0

2

1 1 112、解：設(shè)J1 0 ，則AJI 2 0 因?yàn)?J20 0 ,J302 0 0所以 An(JI)nInC1In1JC2In2J2n nn(n1) 1 =InJ

2 J2 n 1n(n)

13、解：經(jīng)計(jì)算有A24I 所以A516AA5X15AX4IAX4I1再由A24I，得 A4所以XA。1 1 1 32 3 0 714、解T,T,T,1 2 3

T) 3 4 1 104 2 a 10 111311130111311130121 0121012100a800 2 a4 2 0 0 0 0 當(dāng)a8時(shí)，1 0 3 20B000

1 2 10 0 00 0 0向量組秩為2，極大無(wú)關(guān)組為 ，1當(dāng)a8時(shí)，

，且2

31

，2

1 210B000

0 0 21 0 10 1 00 0 0向量組秩為3，極大無(wú)關(guān)組為 ，1

， 且，2 3

1

031 2 2 1 1 2 2 1 15解：因?yàn)?b)2 1 2 10 3 6 3 1 k

k 0 3 k22 k1 2 2 1 0 1 2 1 0 k24 kk22rrb3k時(shí)，方程組有唯一解k2rArb23，方程組有無(wú)窮多解1 2 2 1 1 0 2 1此時(shí)(b)0 1 2 10 1 2 1 ， 0 0 0 0 0x 2 11 解得通解為x2

213x103a 0 1 16、解：二次型矩陣A0 1 1 1 2由假設(shè)rA2Aa10a11 0 1由A 0

1

1 (1)(01 1 2A1

0，2

1， 231 1 1A

r1， r1，

r1 1

0

3 2x y1 r 1

1 r

1 13取正交陣P ,3

,

，在正交變換x2Py2下，二次型標(biāo)準(zhǔn)型為261 2 326fy23y22 3

x3

y317、證因?yàn)锳，B相似，所以存在n階可逆矩陣P使得P1APB，于是xIBxIP1APP1(xIA)PP1xIPxI