數(shù)字信號(hào)處理電氣信息工程學(xué)院蔡超峰數(shù)字信號(hào)處理電氣信息工程學(xué)院引言對(duì)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)X(n)，自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度均可用時(shí)間平均來(lái)定義：

維納-辛欽定理：引言對(duì)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)X(n)，自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度均可第十三章經(jīng)典功率譜估計(jì)周期圖法（直接法）間接法直接法和間接法的關(guān)系直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量、直接法的改進(jìn)經(jīng)典功率譜估計(jì)總結(jié)短時(shí)傅里葉變換第十三章經(jīng)典功率譜估計(jì)周期圖法（直接法）1.周期圖法（直接法）周期圖法是把隨機(jī)信號(hào)X(n)的N點(diǎn)觀察數(shù)據(jù)xN(n)視為一能量有限信號(hào)，直接取xN(n)的DTFT得到XN(ejω)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為對(duì)真實(shí)功率譜P(ejω)的估計(jì)：表示用周期圖法估計(jì)出的功率譜。因?yàn)楣β首V密度直接由傅里葉變換得到，所以周期圖法又稱直接法。自從1965年FFT出現(xiàn)后，該方法就成了譜估計(jì)中的一個(gè)常用方法。將ω在單位圓上等間隔取值，得由于XN(k)可以用FFT快速計(jì)算，所以可以方便地求出。1.周期圖法（直接法）周期圖法是把隨機(jī)信號(hào)X(n)的1.周期圖法（直接法）比較以下兩種計(jì)算方法：易知，直接法包含了下述假設(shè)及步驟：①把平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)視為各態(tài)遍歷的，用其一個(gè)樣本x(n)來(lái)代替X(n)，并且僅利用x(n)的N個(gè)觀察值xN(n)來(lái)估計(jì)功率譜P(ejω)。②從記錄到一個(gè)連續(xù)信號(hào)x(t)到估計(jì)出，還包括了對(duì)x(t)的離散化、必要的預(yù)處理（如除去均值和趨勢(shì)項(xiàng)、濾波等）。1.周期圖法（直接法）比較以下兩種計(jì)算方法：1.周期圖法（直接法）一個(gè)實(shí)際的例子（fs=250Hz）：1.周期圖法（直接法）一個(gè)實(shí)際的例子（fs=250Hz2.間接法間接法的理論基礎(chǔ)是維納-辛欽定理。1958年Blackman和Tukey給出了這一方法的具體實(shí)現(xiàn)，即先由xN(n)估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)，然后求自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換得到的功率譜，記之為，并以此作為對(duì)P(ejω)的估計(jì)，即因?yàn)檫@種方法求出的功率譜是通過(guò)自相關(guān)函數(shù)間接得到的，所以稱為間接法，又稱自相關(guān)法或BT法。當(dāng)M

較小時(shí)，上式計(jì)算量不是很大，因此該方法是FFT問(wèn)世之前常用的譜估計(jì)方法。與維納-辛欽定理相比較：2.間接法間接法的理論基礎(chǔ)是維納-辛欽定理。1958年Bl2.間接法如果X(n)是各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)，x(n)是其一個(gè)樣本函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)可定義如下：實(shí)際中的信號(hào)大多是因果信號(hào)，所以上式可以表示為：本章所涉及的都是自相關(guān)函數(shù)，因此將rx(m)簡(jiǎn)寫為r(m)。如果觀察值的個(gè)數(shù)為有限值，則求r(m)的一種方法為：由于x(n)只有N個(gè)觀察值，因此對(duì)于每一個(gè)固定的延遲m，可以2.間接法如果X(n)是各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)，x(n)是2.間接法利用的數(shù)據(jù)只有N-1-|m|個(gè)，且在0~N-1的范圍內(nèi)，xN(n)=x(n)，所以實(shí)際計(jì)算時(shí)，上式變?yōu)椋旱拈L(zhǎng)度為2N-1，它是以m=0為偶對(duì)稱的。由偏差的定義可知：2.間接法利用的數(shù)據(jù)只有N-1-|m|個(gè)，且在0~N2.間接法可以看出：①對(duì)于一個(gè)固定的延遲|m|，當(dāng)N→∞時(shí)，，因此

是對(duì)r(m)的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)；②對(duì)于一個(gè)固定的N，只有當(dāng)|m|<<N時(shí)，的均值才接近于真值r(m)，即當(dāng)|m|越接近于N時(shí)，估計(jì)的偏差越大；③的均值是真值r(m)和一三角窗函數(shù)的乘積，w(m)的長(zhǎng)度是2N-1。該窗函數(shù)對(duì)r(m)加權(quán)，致使產(chǎn)生了偏差。2.間接法可以看出：2.間接法三角窗w(m)：當(dāng)我們對(duì)一個(gè)信號(hào)做自然截短時(shí)，就不可避免地對(duì)該數(shù)據(jù)施加了一個(gè)矩形窗，由此矩形窗就產(chǎn)生了加在自相關(guān)函數(shù)上的三角窗，該三角窗影響自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)質(zhì)量。2.間接法三角窗w(m)：2.間接法由方差的定義可知：當(dāng)N→∞時(shí)，，又因?yàn)椋裕瑢?duì)固定的延遲|m|，是r(m)的漸進(jìn)一致估計(jì)。2.間接法由方差的定義可知：2.間接法計(jì)算時(shí)，如果N和m

都比較大，則需要的乘法次數(shù)很多。可以利用FFT實(shí)現(xiàn)對(duì)的快速計(jì)算。上式也可以寫為：求的離散時(shí)間傅里葉變換，得：2.間接法計(jì)算時(shí)，如果N和m都比較2.間接法把xN(n)補(bǔ)N個(gè)零，得x2N(n)，即：記x2N(n)的傅里葉變換為X2N(ejω)，則有其中X2N(ejω)為有限長(zhǎng)信號(hào)x2N(n)的能量譜，除以N以后即為功率譜。這說(shuō)明自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值和x2N(n)的功率譜是一對(duì)傅里葉變換。2.間接法把xN(n)補(bǔ)N個(gè)零，得x2N(n)2.間接法利用FFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的步驟：①對(duì)xN(n)補(bǔ)N個(gè)零，得x2N(n)，對(duì)x2N(n)做DFT得X2N(k)，k=0,1,…,2N-1；②求X2N(k)的幅平方，然后除以N，得；③對(duì)做逆變換，得。將中的部分向右平移2N點(diǎn)后形成的序列即為。2.間接法利用FFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的步驟：3.直接法和間接法的關(guān)系直接法：間接法：其中自相關(guān)函數(shù)與x2N(n)的功率譜是一對(duì)傅里葉變換：因此有令M=N-13.直接法和間接法的關(guān)系直接法：令M=N-13.直接法和間接法的關(guān)系由此可知，直接法可以看作是間接法的一個(gè)特例，即當(dāng)間接法中使用的自相關(guān)函數(shù)的最大延遲M=N-1時(shí)，二者是相等的。前面已經(jīng)指出：這就意味著，當(dāng)M較大，特別是接近于N-1時(shí)，對(duì)r(m)的估計(jì)偏差變大，此時(shí)估計(jì)出的功率譜的質(zhì)量也必然下降。因此，在使用間接法時(shí)，都是取M<<N-1，很顯然此時(shí)令M<<N-1，這意味著對(duì)最大長(zhǎng)度為2N-1的自相關(guān)函數(shù)的截短，亦即施加了一個(gè)窗函數(shù)，記之為v(m)，得：3.直接法和間接法的關(guān)系由此可知，直接法可以看作是間接法的3.直接法和間接法的關(guān)系的均值等于真實(shí)的自相關(guān)函數(shù)r(m)乘以三角窗w(m)，這是第一次加窗。該三角窗是由數(shù)據(jù)截短而產(chǎn)生的，其寬度為2N-1。v(m)是對(duì)自相關(guān)函數(shù)r(m)的第二次加窗，寬度為2M-1，M<<N-1。因?yàn)関(m)的寬度遠(yuǎn)小于w(m)，所以v(m)的頻譜V(ejω)主瓣的寬度遠(yuǎn)大于w(m)的頻譜W(ejω)主瓣的寬度。這時(shí)，對(duì)r(m)施加v(m)的作用等效于在頻域做和V(ejω)的卷積，這樣就起到了對(duì)周期圖平滑的作用。直接法和間接法往往結(jié)合起來(lái)使用，步驟如下：①對(duì)xN(n)補(bǔ)N個(gè)零，求；②做的傅里葉逆變換得，這時(shí)|m|≤M=N-1；③對(duì)加窗函數(shù)v(m)，這時(shí)|m|≤M<<N-1，得；④求的傅里葉變換即可得到。3.直接法和間接法的關(guān)系的均值等于真實(shí)的自3.直接法和間接法的關(guān)系直接法和間接法的關(guān)系可歸納如下：x(n)

截短乘矩形窗d0(n)求線性

相關(guān)函數(shù)DFTIDFTxN(n)

3.直接法和間接法的關(guān)系直接法和間接法的關(guān)系可歸納如下：x(3.直接法和間接法的關(guān)系一個(gè)實(shí)際的例子（fs=250Hz）：直接法間接法M=1003.直接法和間接法的關(guān)系一個(gè)實(shí)際的例子（fs=250H4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量當(dāng)M=N-1時(shí)，直接法和間接法估計(jì)出的結(jié)果和是相同的，因此可以把這兩個(gè)估計(jì)方法的質(zhì)量一起討論。為了書寫的方便，下面把和都簡(jiǎn)寫為。由偏差的定義可知：

其中4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量當(dāng)M=N-1時(shí)，直接法和間4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量三角窗w(n)是由矩形窗d0(n)做自相關(guān)得到的。記W(ejω)和D0(ejω)分別是w(n)和d0(n)的傅里葉變換，則有：因此有：當(dāng)時(shí)，d0(n)趨于無(wú)限寬，W(ejω)和D0(ejω)都趨于δ

函數(shù)，這時(shí)因此，對(duì)于固定的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，是有偏估計(jì)。當(dāng)時(shí)，它的期望值等于真值P(ejω)，所以它又是漸進(jìn)無(wú)偏的。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量三角窗w(n)是由矩形窗d04.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量由協(xié)方差的定義可知：當(dāng)ω=ω1=

ω2時(shí)，依據(jù)4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量由協(xié)方差的定義可知：4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量可以得到估計(jì)的方差為：當(dāng)時(shí)，上式右邊第一項(xiàng)趨近于零，第二項(xiàng)趨近于。由此可知，是真實(shí)功率譜P(ejω)的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)，但卻不是一致估計(jì)。不管N如何選取，估計(jì)值的方差總大于等于估計(jì)值均值的平方。我們知道，是r(m)的一致估計(jì)，但把做傅里葉變換得到的功率譜卻不是P(ejω)的一致估計(jì)，所以功率譜的估計(jì)要比相關(guān)函數(shù)的估計(jì)復(fù)雜的多。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量可以得到估計(jì)的方差為：如果選擇一個(gè)好的窗函數(shù)，使其頻譜在主瓣以外的部分基本為零（這樣的窗函數(shù)是不存在的），如左下圖所示，其中B1是主瓣的寬度。如果限定B1/2<ω<(π-B1/2)，則有D0(ω-λ)

D0(ω+λ)=0,如右下圖所示。很顯然，此時(shí)估計(jì)的方差為：4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量D0(λ)

λ

π

0

λ

π

0

D0(ω+λ)

D0(ω-λ)

如果選擇一個(gè)好的窗函數(shù)，使其頻譜在主瓣以外的部分基本為零（這如果限定ω1和ω2在0<ω<(π-B1/2)內(nèi)取值，且|ω2-ω1|>B1，如下圖所示。此時(shí)估計(jì)的協(xié)方差為：可見在ω1和

ω2上是不相關(guān)的，因此呈現(xiàn)較大的起伏。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量λ

π

0

λ

π

0

D0(ω1-λ)

D0(λ-ω2)

D0(ω2+λ)

D0(ω1-λ)

ω1

-ω2

ω2

ω1

如果限定ω1和ω2在0<ω<(π-B1/2)內(nèi)取值4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量回憶平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜的定義：通常求不出集總平均意義下的自相關(guān)函數(shù)和功率譜，因而假定X(n)是各態(tài)遍歷的，取其一個(gè)樣本x(n)，于是有:盡管自相關(guān)函數(shù)可以用時(shí)間平均來(lái)代替集總平均，但功率譜必須保留集總平均。這是因?yàn)閷?duì)隨機(jī)過(guò)程X(n)的每一次實(shí)現(xiàn)x(n)，其傅里葉變換仍然是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在每一個(gè)頻率處，它都是一個(gè)隨機(jī)變量，因此集總平均是必須的。這也說(shuō)明，P(ejω)并不具備各態(tài)遍歷性。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量回憶平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)的自4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量對(duì)功率譜的估計(jì)：既無(wú)求均值運(yùn)算，也無(wú)求極限運(yùn)算，它只能看作是對(duì)真實(shí)功率譜P(ejω)做均值運(yùn)算時(shí)的一個(gè)樣本。缺少了統(tǒng)計(jì)平均，當(dāng)然也就產(chǎn)生了較大的方差。根據(jù)也可以看出來(lái)，由單個(gè)樣本x(n)估計(jì)出的功率譜不會(huì)收斂到真實(shí)功率譜。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量對(duì)功率譜的估計(jì)：4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量的頻率分辨率是指保持真實(shí)功率譜P(ejω)中兩個(gè)靠的很近的譜峰仍被分辨出來(lái)的能力。決定分辨率的主要因素是所使用的數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，也即數(shù)據(jù)窗d0(n)的寬度。若數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度為tp，采樣頻率為fs，采樣后的點(diǎn)數(shù)為N，即tp=N/fs，那么，估計(jì)譜的分辨率正比于fs/N或2π/N。長(zhǎng)度為N的各種窗函數(shù)，其主瓣寬度為2kπ/N，所以的分辨率也正比于2kπ/N。

若P(ejω)中有兩個(gè)相距為BW的譜峰，為了要區(qū)分他們，則要求這樣，數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度N應(yīng)該滿足：為了保證的分辨率，希望N要大。但增大N時(shí)，又使

起伏加劇。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量的頻率分辨4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量當(dāng)M<N-1時(shí)，直接法和間接法估計(jì)出的結(jié)果和不相等，是對(duì)的平滑。此時(shí)：間接法也是一種有偏估計(jì)。由于在上施加了一個(gè)較短的窗口，使得間接法估計(jì)的偏差大于直接法，但方差小于直接法。譜的平滑（方差的減小）是以頻率分辨率為代價(jià)的。由于V(ejω)的主瓣比W(ejω)的主瓣寬，因而致使其分辨率下降。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量當(dāng)M<N-1時(shí)，直接法和間4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量對(duì)，在0<ω

<(π-B1/2)的范圍內(nèi)，當(dāng)|ω2-ω1|>B1

時(shí)，

和是不相關(guān)的，這時(shí)主瓣的寬度B1=4π/N。對(duì)，

,也可認(rèn)為在上述頻率范圍內(nèi)，當(dāng)|ω2-ω1|>B1時(shí)，和是不相關(guān)的。不過(guò)此時(shí)的B1=4π/M，因?yàn)镸<<N-1，所以B1增大。因此臨近頻率上的估計(jì)值變得較為相關(guān)。從這一角度也可以解釋對(duì)平滑的原因。4.直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量對(duì)，5.直接法估計(jì)的改進(jìn)直接法的估計(jì)結(jié)果性能不好。當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N太大時(shí)，譜線起伏加劇，N太小時(shí)，譜的分辨率又不好。因此需要改進(jìn)。這里所說(shuō)的改進(jìn)，主要是改進(jìn)其方差特性。間接法是對(duì)直接法的一種改進(jìn)，又稱為周期圖的平滑。對(duì)直接法進(jìn)行改進(jìn)的另外一種方法是所謂的平均法，其指導(dǎo)思想是把長(zhǎng)度為N的數(shù)據(jù)xN(n)分成L段，分別求每一段的功率譜，然后加以平均，以達(dá)到減小方差的目的。幾種主要的改進(jìn)方法：Bartlett法Welch法Nuttall法5.直接法估計(jì)的改進(jìn)直接法的估計(jì)結(jié)果5.直接法估計(jì)的改進(jìn)由概率論可知，對(duì)具有相同均值μ

和方差σ2的獨(dú)立隨機(jī)變量X1,X2,…,XL,新隨機(jī)變量X=（X1+X2+…+XL）/L的均值也是μ，但方差為σ2

/L

。此即Bartlett法的指導(dǎo)思想。將數(shù)據(jù)分成L段，每段的長(zhǎng)度都是M，即N=LM，第i段數(shù)據(jù)為：然后分別計(jì)算每一段的功率譜：求平均，得到平均周期圖：5.直接法估計(jì)的改進(jìn)由概率論可知，對(duì)具有相同均值μ和方的均值為：式中D1(ejω)是矩形窗d1(n)的頻譜，W1(ejω)是d1(n)做自相關(guān)所得到的三角窗w1(n)的頻譜，w1(n)的長(zhǎng)度是2M-1。因?yàn)閃1(ejω)主瓣的寬度遠(yuǎn)大于W(ejω)，所以平均后偏差增大，分辨率下降。M的選擇主要取決于所需的分辨率。因?yàn)閃1(ejω)的主瓣寬度是4π/M，若P(ejω)中有兩個(gè)相距為BW的譜峰，為了要分辨它們，需要4π/M<BW，即

M>4π/BW。如果數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N

已確定，根據(jù)所需的M，L也就自然被確定。如果N可以變化，則應(yīng)根據(jù)方差的要求確定L，然后再確定要記錄的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N。M5.直接法估計(jì)的改進(jìn)的均值為：M5.直接法估計(jì)的改5.直接法估計(jì)的改進(jìn)Welch法是對(duì)Bartlett法的改進(jìn)。改進(jìn)之一是在對(duì)xN(n)分段時(shí)，允許每一段的數(shù)據(jù)有部分的交疊。例如，若每一段數(shù)據(jù)重合一半，這時(shí)的段數(shù)：式中M仍然是每段的長(zhǎng)度。改進(jìn)之二是，每一段的數(shù)據(jù)窗口可以不是矩形窗，例如漢寧窗或漢明窗，記之為d2(n)。按Bartlett法求每一段的功率譜，記之為，即其中U是歸一化因子，使用它是為了保證所得到的功率譜是漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)。5.直接法估計(jì)的改進(jìn)Welch法是對(duì)Bartlett5.直接法估計(jì)的改進(jìn)如果d2(n)是一矩形窗，則平均后的功率譜為：其均值為：記D2(ejω)是d2(n)的頻譜，及則有：（證明過(guò)程略）5.直接法估計(jì)的改進(jìn)如果d2(n)是一矩形窗，則平均后5.直接法估計(jì)的改進(jìn)Welch法中各段允許交疊，因而段數(shù)增大，這樣方差就可以得到更大程度地改善。但是數(shù)據(jù)的交疊減小了每一段數(shù)據(jù)的不相關(guān)性，使方差的減小不會(huì)達(dá)到理想的程度。Welch法允許分段時(shí)交疊，這樣就增加了段數(shù)，當(dāng)然也就增加了做FFT的次數(shù)，如果采用的數(shù)據(jù)窗非矩形窗，這又大大增加了做乘法的次數(shù)，因此Welch法的計(jì)算量較大。Nuttall等人提出的算法步驟如下：①②與Bartlett法相同，即對(duì)xN(n)自然分段（加矩形窗），且不交疊，求得平均后的功率譜。③由做反變換，得到對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，其最大寬度是2M-1，M=N/L。

5.直接法估計(jì)的改進(jìn)Welch法中各段允許交疊，因而段數(shù)5.直接法估計(jì)的改進(jìn)④此步如同間接法，對(duì)加延遲窗w2(m)，w2(m)的最大單邊寬度為M1，這樣得到，即：⑤由做正變換得到對(duì)x(n)功率譜的估計(jì)：很顯然，該方法是把間接法和間接法結(jié)合了起來(lái)，同時(shí)也把平滑和平均也結(jié)合了起來(lái)。這樣就保持了平滑和平均減小方差的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算量也小于Welch法。5.直接法估計(jì)的改進(jìn)④此步如同間接法，對(duì)5.直接法的改進(jìn)上述三種改進(jìn)方法可以歸納為：x(n)

截短乘矩形窗d0(n)不交疊分段d1(n)為矩形窗求平均功率譜交疊分段對(duì)每一段加權(quán)，

d2(n)可以不是矩形窗平均做逆變換加權(quán)w2(n)正

變換BartlettWelchNuttall5.直接法的改進(jìn)上述三種改進(jìn)方法可以歸納為：x(n)截短5.直接法的改進(jìn)仍然考慮前面的例子：Bartlett,M=100Welch,M=100Welch,M=250M1=505.直接法的改進(jìn)仍然考慮前面的例子：Bartlett,M6.經(jīng)典功率譜估計(jì)方法總結(jié)①不論是直接法、間接法還是直接法的改進(jìn)方法，都可以利用FFT實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，且物理概念明確，仍是目前較常用的譜估計(jì)方法。②譜的分辨率較低，它正比于2π/N，N是所使用數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。③由于窗函數(shù)的影響不可避免，使得功率譜P(ejω)在窗口主瓣內(nèi)的功率向邊瓣部分泄露，降低了分辨率。較大的邊瓣有可能掩蓋P(ejω)中較弱的成分，或是產(chǎn)生假的峰值。④方差性能不好，不是P(ejω)的一致估計(jì)，且N增大時(shí)譜線起伏加劇。⑤周期圖的平滑和平均與窗函數(shù)的使用密不可分。平滑和平均主要是用來(lái)改善周期圖的方差性能，但往往又減小了分辨率和增大了偏差。6.經(jīng)典功率譜估計(jì)方法總結(jié)①不論是直接法、間接法還是直接法7.短時(shí)傅里葉變換對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，前述的經(jīng)典功率譜估計(jì)都是建立在傳統(tǒng)的傅里葉變換的基礎(chǔ)之上。其實(shí)，傅里葉變換在信號(hào)的分析中自身就存在著不足。回憶福利葉變換的表達(dá)式：顯然，如果我們想知道在某一個(gè)特定時(shí)間所對(duì)應(yīng)的頻率是多少，或?qū)δ骋粋€(gè)特定頻率所對(duì)應(yīng)的時(shí)間是多少，那么傅里葉變換則無(wú)能為力。傅里葉變換的這一缺點(diǎn)對(duì)統(tǒng)計(jì)特征隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，使用起來(lái)更加困難。7.短時(shí)傅里葉變換對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，前述的經(jīng)典功率譜估計(jì)都是建7.短時(shí)傅里葉變換設(shè)信號(hào)x(n)由三個(gè)不同頻率的正弦首尾相接所組成，即其波形和幅頻特性分別為：ω1ω2ω3nx(n)0π7.短時(shí)傅里葉變換設(shè)信號(hào)x(n)由三個(gè)不同頻率的正弦首7.短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換（short-timeFouriertransform,STFT）于1946年由Gabor提出，其定義為：上式中窗函數(shù)w(τ)的作用可以從不同的角度來(lái)解釋：①當(dāng)窗函數(shù)w(τ)沿著t軸移動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于不斷地截取一小段又一小段