小學數學方法的梳理五）五．方程和函數思想、方程和函數思想的概念。方程和函數試初等數學代數領域的主要內容是解決實際問題的重要工具們可以用來描述現實世界的數量關系而他們之間有著密切的聯系此本文將二者放在一起進行討論。（1方程思想。含有未知數的等式叫方程，判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件;個是含有未知數，另一個必須是等式。如有些小學老師經常有疑問的判斷;x=0和x=1是不是方程？根據方程的定義他滿足方程的條件都是方程方程按照未知數的個數和未知數的最高次數，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程一次方程等等些是初等數學代數領域最基本的內容程想的核心是將問題中未知量用數字以外的數學符號（常用x、y等母）表示，根據數量關系之間的相等關系構建方程模型。方程思想體現了已之與未知數的對立統一。函數思想。設集合兩個非空數集，如果按照某種確定的對立關系f如果對于集合的任意一個數在集合b中有唯一確定的數y和的對應，那么就稱是x的函數，記作y=f(x)。其中叫做自變量x的取值范圍叫做函數的定義域y叫函數或因變量，與相對應的的叫做函數值y的取值范圍做值域。以上函數的定義是從初等數學的角度出發的自變量只有一個與之應的函數值也是唯一的樣的函數研究的是兩個變量之間的關系一變量的取值發生變化一個變量的取值也相應發生了變化中學里學習的正比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數和三角函數都是這類函數實現實中變量的變化而相應變化樣的函數是多元函數雖在中小學里不學習多元函數，但只機上它是存在的，如圓柱的體積與底面半r和柱的高的關;πrh.半徑和高有一對取值也就是說體隨半徑和高的變化而變化過對這種變化的探究找出對應關系之間的法則，從而構建函數模型。函數思想體現了運動變化的、普遍性的觀點。．方程和函數的區別。從小學數學到中學數學與代數領域經歷了從算數到方程術研究具體確定的常數以及他們之間的數量關系程究定的常數與未知的數量之間的關系數究變量之間的數量關系。方程和函數雖然都是表示數量關系的是他們有本質的區別二一次的不定方程中的未知數往往是常量，而一次函數中的自變量和因變量一定是量變，因此二者有本質的不同。方程必須有未知數知數是常量且一定用等式的形式呈現者一不可2x-4=6而函數至少要有兩個變量兩個變量依據一定的法則相對應現的形式可以有解析式圖像法和列表法等集大小等于1小于等于10的數合b為于的偶數。那么兩個集合的數之間的對應關系可以用表，還可以用如下的表格表示。xy

人們運用方程思想關注的通過設未知數如何找出數量之間的相等關系構建方程并求出方程的解從而解決數學問題實際問題們運用函數思想一般更加關注數量之間的對應關系通過構建函數模型并究函數的一些性質來解決數學問題和實際問題程中的未知數往往是靜態的，而函數的變量則是動態的。方程已經有多的歷史，而函數概念的產生不過才年。

（2方程和函數的關系。（3方程和函數雖然有本質的區別，但是他們同屬代數領域，也有密切的關系。如二元一次不定方程ax+by+c=0和一次函數如果方程的解在實數范圍內函數的定義域和值域都是實數那方和過變換可轉化為y=-a/bx-c/b,們在直角坐標系里畫出來的圖像是一條直線。因此可以說一個一元一次方程對應一個一次函數如果使一次函數y=kx+b中函數植等于0,那么一次函數轉化為這就是一元一次方程因此,可以說求這個一元一次方程的解,際上就是求使函數值偽的自變量的值,者說求一次函數圖象與X軸交的橫坐標的.一般地就初等數學而言,今令函數值為0,么這個函數就轉化為含有一個未知數的方程;方程的,是求使函數值為0的變量的,者說求函數圖像與X軸點的橫坐標的值.方程和數思想的重要意.世以前,人們主要是運用算術和方程方法解現實生活中的各種實際問方程與算術相比由未知數參與了等量關系式的夠建更加便于人理解問題\分析數量關系并夠建模型而方程在解決以常量為主要的實際問題中發揮了重要作用,到世,隨社會的發展傳統的研究常量的算術和方程已經不能解決以研兩個變量之間的關系為主的經濟,技軍事等領域的重要問這時函數變產生了函數為研究運動變化的數量之間的依存應關系和構建模型帶來了方便從能夠解決比較復雜的問題.概括的說程和函數思想是中小學數學尤是中學數學的重要內容之一.方程和函數在研究和構建現實世界的數量關系模型方面揮著重要的不可替代的作用.方程和數思想的具體運.小學數學在學習方程之前的問題,通過算術方法解決,在入方程之后,學數學中比較復雜的有關數量關系的問題,都以通過方程解決,方思想是小學思想的重要思想其中一元一次方程是小學數學的必學內容在學數學里沒有學習函數的概念但是有函數思想的滲透與正比例函數和反比例函數最接近的正比例函數和反例函數是小學數學的必學內容另,小學數學的一些知識中也會滲透函數思想如數與數的一一對應體現了函數思方程和函數是小學數學與初中數學銜接的紐小學數學中方程和函數思想的應用如下.思想方法方程思想函數思想

知識點方程分數,百分數和比例等量代換雞兔同籠加法積的變化規律商的變化規律

應用舉例用一元一次方程解決整數和小數等各種問題用一元一次方程解決分數,百數和比例等各種問題二(三)元一次方程思想的滲透用方程解決雞兔同籠問題一個加數不變,和著另一個加數的變化而變化,可表示為Y=KX.滲正比例函數思想一個因數不變積著另一個因數的化而變化,表示為滲正比例函數關系除數不變,商著被除數的變化變化,可示為滲正比例函數思想,被數不變商著除數的變化而變,可示為Y=X\K,滲反比例函數思想

正比例關系反比例關系數列空間與圖形統計圖表程和函數思想的教

正比例關系改寫成Y=KX,就是正比例函數反比例函數改寫成就反比例函數等差數列,等比數列,般數列的每一項與序號之間的對應關系都可以看作是特殊的函數關.長方形正形,平四邊形,三形梯的面積公式,長體.,正方圓柱,圓的體積公式的周長和面積公式都滲透了函數思想函數的列表法與統計表都有相似之處方程和函數都是義務教育階段重要的數學思想方用方程和函數表示數量關系和變化規,不僅體現方程和函數的思想的價值.也助于學生形成模型思想根據課程標準的理念,方和函數思想的教學應關注以下幾方中的字X,Y等表具體的未知的常即未知,是代數思想和方程思想的基礎.正例關系和反比例關系等函數關系中的字母X,Y代表的是變化的,即變量,且這兩個量是相關聯的量一個量的變另一個量也會隨著變,這是函數思想的基礎,要讓學生體會它的區.結具體情境通分析數量關系來理解等量并方程表示等關再通過解方程解決問題從而認識方程的作用結簡單情境,認成正比例的量或反比例的量,通分析數量關系和變化規