精品課件高中數(shù)學必修2第八章立體幾何初步新人教版

空間直線、平面的垂直特級教師優(yōu)秀課件精選精品高中數(shù)學必修2第八章立體幾何初步新人教版空間直線、1教學目標異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的定義；直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定定理，異面

直線所成角、直線和平面所成的角、二面角及其求法；異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理

的綜合應用．教學目標異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的定義；直線教學重點教學難點異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的求解；異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定．找異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角；異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定

理的應用．教學重點教學難點異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角引入空間中兩條直線的位置關系

1.空間兩條直線的位置關系有三種:__________、_________、_________.異面直線平行直線相交直線引入空間中兩條直線的位置關系

1.空間兩條直線的位置關系有2.分類(1)從有無公共點的角度來看，可分為兩類平行直線無公共點(2)從是否共面的角度來看，可分為兩類相交直線共面直線直線平行直線不共面直線:異面直線有且僅有一個公共點:相交直線直線異面直線2.分類(1)從有無公共點的角度來看，可分為兩類平行直線無公直線與直線垂直異面直線a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直線a,b經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,

b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做_________________________

(或夾角).直線與直線垂直異面直線a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.當θ=____時，a與b互相垂直，記作______.

異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：

異面垂直和相交垂直.4.當兩條直線a,b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為________.

所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是________________.

0°<θ≤90°a⊥b90°0°0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.[教材解難]

求異面直線所成的角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法，遇題設中有中點，

常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移

有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉化為相交

直線.

(2)求——轉化為一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的

角.

(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為

所求；若90°<θ≤180°，則180°-θ為所求.[教材解難]

求異面直線所成的角的步驟

(1)找出(或作例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？

(2)求直線BA'與CC'所成的角的大小.

(3)求直線BA'與AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直線分別與直線AA'垂直.

(2)因為ABCD-A'B'C'D'是正方體，所以BB'∥CC,因此∠A'BB'為直線BA'與

CC'所成的角.又因為∠A'BB'=45°,所以直線BA'與CC所成的角等于45°.

(3)如圖8.6-4,連接A'C',因為ABCD-A'B'C'D'是正方體，所以AA'⊥CC'.從

而四邊形AA'C'C是平行四邊形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'為異面直線

BA'與AC所成的角，

連接BC',易知△A'BC'是等邊三角形，所以∠BA'C'=60°.從而異面直線BA'

與AC所成的角等于60°.例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B1,

B1C1的中點，

求異面直線DB1與EF所成的角的大小.

拓展練習例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,并設它們相交于點O，

取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G,

則OG//B1D，EF//A1C1,

∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)

∵GA1=GC1,O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1.

∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點H,

連接HE，則HE∥∴∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角).

方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點H,

連接方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點M,N,連接MN.

∵E,F分別是A1B1,B1C1的中點，∴EF//A1C1,又MN//A1C1,

∴MN//EF.

連接DM,

B1N,

MB1,

DN,則B1N//DM,

∴四邊形DMB1N為平行四邊形，∴MN與DB1必相交，

設交點為P，則∠DPM為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角).方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點M方法四:如圖，在原正方體的右側補上一個與其大小相等的正方體，

連接B1Q，易得B1Q//EF,

∴∠DB1Q就是異面直線DB1與EF所成的角(或其補角).

方法四:如圖，在原正方體的右側補上一個與其大小相等的正方體

方法歸納

求異面直線所成角的步驟

一作:選擇適當?shù)狞c，用平移法作出異面直線所成的角;

二證:證明作出的角就是要求的角；

三計算:將異面直線所成的角放入某個三角形中，利用特殊三角形

求解.

例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，

求證AO1⊥BD.例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴BB1∥DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,∴B1D1//BD.

∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成

的角.連接AB1,

AD1,易證AB1=AD1.

又O1為底面A1B1C1D1的中心，

∴O1為B1D1的中點

∴AO1⊥B1D1,

∴AO1⊥BD.[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是方法歸納

證明直線與直線垂直的方法

①等腰三角形中線即是高線.

②勾股定理.

③異面直線所成的角為直角.方法歸納

證明直線與直線垂直的方法

①等腰三角形中線即是高空間直線、平面的垂直_課件證明:如圖，取AC的中點F,

連接DF,EF,證明:如圖，取AC的中點F,

連接DF,EF,在△PAC中，∵D是PC的中點，F(xiàn)是AC的中點，

∴DF//PA,同理可得EF//BC,

∴∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補角).

在△DEF中，DE=3,

在△PAC中，∵D是PC的中點，F(xiàn)是AC的中點，

∴DF//1.判所下列命題是否正確,正確的在括號內(nèi)畫"√".錯誤的畫“×".

(1)如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也

與已知直線垂直.

(

)

(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行

(

)

1.判所下列命題是否正確,正確的在括號內(nèi)畫"√".錯誤的畫2.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線中.

(1)與直線AB垂直的直線有____條;

(2)與直線AB異面且垂直的直線有____條;

(3)與直線AB和A'D'都垂直的直線有____條;

(4)與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是______.84412.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直

(1)直線BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線AA'和BC"所成的角的大小.

(1)因為BC∥BC，所以∠B'C'A'是異面直線A'C'與BC所成的角

(1)直線BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線AA'4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的中點.AB=BB'=2.

求證BD⊥AC'.4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的引入引入定義畫法直線與平面垂直如果直線l與平面α內(nèi)的__________直線都______，就說

直線l與平面α互相垂直，記作.直線_____.

直線l叫作平

面α的_____，平面α叫作直線l的_____，直線與平面垂

直時，它們唯一的公共點P叫作______.任意一條垂直l⊥a垂線垂面垂足通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,

如圖定義畫法直線與平面垂直如果直線l與平面α內(nèi)的________PO為垂線段，其長度為點P到面α的距離垂線段過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條PO為垂線段，其長度為點P到面α的距離垂線段過一點垂直于已知空間直線、平面的垂直_課件文字語言:如果一條直線與一個平面內(nèi)的_____________________，

則該直線與此平面垂直.

直線與平面垂直的判定定理兩條相交直線垂直圖形語言:如圖所示.文字語言:如果一條直線與一個平面內(nèi)的___________1.直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

2.注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)

條直線”.3.判定定理條件中的“兩條相交直線”是關鍵性詞語，此處強調(diào)“相

交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直.1.直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

2.注意證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,n,

∴直線a⊥α,

∴a⊥m,

a⊥n.

∵b//a,

∴b⊥m,b⊥n.

又m?α,n?α,m,n是兩條相交直線,

∴b⊥α.例3求證:如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那

么另一條直線也垂直于這個平面.

已知:如圖8.6-12，a//b,a⊥α,求證b⊥α.證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,n,例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AC=BC,N是AB的中點.求證:CN⊥平面ABB1A1.例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是AB的中點AB⊥CN,又AA1?平面ABB1A1,

AB?平面ABB1A1,

AA1∩AB=A，所以

CN⊥平面ABB1A1.證明AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是方法歸納

線面垂直的判定定理實質(zhì)是由線線垂直推證線面垂直，途徑是找到

一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.推證線線垂直時注意分析

幾何圖形，尋找隱含條件.方法歸納

線面垂直的判定定理實質(zhì)是由線線垂直推證線面垂直，直線與平面所成的角直線和平面所成的角當直線與平面垂直時，它們所成的角是90°.當直線與平面

平行或在平面內(nèi)時，它們所成的角是___.

定義范圍畫法平面的一條斜線和它在平面上的_____所成的___，叫作這

條直線和這個平面所成的角.射影角0°如圖，______就是斜線AP與平面α所成的角0°≤θ≤90°∠PAO直線與平面所成的角直線和平面所成的角當直線與平面垂直時，它們把握定義應注意兩點:

①斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的;

②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段.把握定義應注意兩點:

①斜線上不同于斜足的點P的選取是任例4

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面

A1DCB1所成的角.例4

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線解

連接BC1,

BC1與B1C相交于點O,

連接A1O.

設正方體的棱長為a.

∵A1B1⊥B1C1,

A1B1⊥B1B,

B1C1∩B1B=B1,

∴A1B1⊥平面BCC1B1.

∴A1B1⊥BC1.

又BC1⊥B1C,

∴BC1⊥平面A1DCB1.解

連接BC1,

BC1與B1C相交于點O,

連接A1空間直線、平面的垂直_課件方法歸納

求直線與平面所成的角的步驟

(1)作:在斜線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，在這一步確定垂足的

位置是關鍵;

(2)證:證明所找到的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)為

直線與平面所成的角的定義;

(3)求:一般來說是借助三角形的相關知識求角.方法歸納

求直線與平面所成的角的步驟

(1)作:在斜線1.如果兩條直線和一個平面所成的角相等，那么這兩條直線一定

平行嗎?

兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線相交、平行

或異面，例如圓錐的兩條母線，與底面所成角相等，但是母線

是相交直線.1.如果兩條直線和一個平面所成的角相等，那么這兩條直線一定

2.如圖.四梭錐S-ABCD的底面是正方形.SD⊥平面ABCD.求證:

AC⊥平面SDB.2.如圖.四梭錐S-ABCD的底面是正方形.SD⊥平面A解答

∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B1D1⊥A1A,

若A1C⊥B1D1

則B1D1⊥平面A1AC1C

∴B1D1⊥AC,

又由B1D∥BD，

則有BD⊥AC，

反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1

故答案為:BD⊥AC.

3.如圖，在直四棱柱A'B'C'D'-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿

足什么條件時，A'C⊥B'D'？.解答

∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B14.過△ABC所在平面α外一點P.作PO⊥α,垂足為O.連接PA,PB,

PC.

(1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的___心.

(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點O是AB邊的___點

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P.則點O是△ABC的___

心.外中垂4.過△ABC所在平面α外一點P.作PO⊥α,垂足為O直線與平面垂直的性質(zhì)①線面垂直→線線平行；

②作平行線文字語言垂直于同一個平面的兩條直線_____平行符號語言圖形語言作用a//ba⊥αb⊥α→_____直線與平面垂直的性質(zhì)①線面垂直→線線平行；

②作平行線文字語1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方

法.

2.定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了

“垂直”與“平行”關系轉化的依據(jù).1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方例5

如圖8.6-19，直線l平行于平面α,求證:直線l上各點到平面

α的距離相等.

證明:過直線l上任意兩點A,B分別作平面α的垂線AA1,BB1,

垂足分別為A1,B.

∵AA1⊥α,BB⊥α.

∴AA1//AB1

設直線AA1,BB1確定的平面為β.

β∩α=A1B1

∵l//α

∴l(xiāng)//A1B1

∴四邊形AA1B1B是矩形，

∴AA1=BB1.

由A,B是直線l上任取的兩點.可知直線l上各點到平面α的距離相等.例5

如圖8.6-19，直線l平行于平面α,求證:直一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距

離，叫做這條直線到這個平面的距離.由例5我們還可以進一步得出,

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面

的距離都相等.

我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距

例6推導棱臺的體積公式

其中S'，S分別是棱臺的上、下底面面積，h是高.解:如圖8.6-20.延長棱臺各側棱交于點P.得到截得棱臺的

棱錐.過點P作棱臺的下底面的垂線，分別與梭臺的上、下

底面交于點O',則PO垂直于棱臺的上底面(想一想，為什么

？).從而O'O=h.

設藏得棱臺的棱錐的體積為V,去掉的棱錐的體積為V'、高為h',則PO'=h'.

于是

由棱臺的上、下底面平行.可以證明棱臺的上、下底面相似,所以例6推導棱臺的體積公式

其中S'，S分別是棱臺的上、下底例在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E,F分別在A1D,AC上，

EF⊥A1D,EF⊥AC,求證:EF//BD1.

[證明]如圖所示，連接A1C1,C1D,B1D1,BD.例在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E,F分別在A1∵AC//A1C1,

EF⊥AC,

∴EF⊥A1C1.

又EF⊥A1D,

A1D∩AC1=A1,

∴EF⊥平面A1C1D1

①

∵BB1⊥平面A1B1C1D1,

A1C1?平面A1B1C1D1,

∴BB1⊥A1C1

∵四邊形A1B1C1D1為正方形，

∴A1C1⊥B1D1,

又B1D1∩BB1=B1,

∴A1C1⊥平面BB1D1D,

而BD1?平面BB1D1D,

∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.

又DC1∩A1C1=C1,

∴BD1⊥平面A1C1D.

②

由①②可知EF//BD1.

∵AC//A1C1,

EF⊥AC,

∴EF⊥A1C1方法歸納

線面垂直的性質(zhì)定理是證明兩直線平行的重要依據(jù)，證明兩直線平

行的常用方法:

(1)a//b,b//c→a//c.

(2)a//α,a?β,β∩α=b→a//b.

(3)α//β,

γ∩α=a,γ∩β=b→a//b.

(4)a⊥α,b⊥α→a//b.

方法歸納

線面垂直的性質(zhì)定理是證明兩直線平行的重要依據(jù)，證明1.已知直線a,b和平面α,

且a⊥b,a⊥α,

則b與a的位置關系是

_______.a//b1.已知直線a,b和平面α,

且a⊥b,a⊥α,

2.已知A,B兩點在平面α的同側，且它們與α的距離相等，求證:

直線AB//α.

證明:作出點A、B到α的垂線段AA'、BB'.

AA'平行且等于BB'→AA'BB'是平行四邊形

→AB//A'B',AB?α，A'B'?α→AB//α.2.已知A,B兩點在平面α的同側，且它們與α的距離相等，求3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中點，

求證:DF//平面ABC.

∴FG∥CD，F(xiàn)G=CD，

∵FG⊥平面ABC，

∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，

CG?平面ABC，DF不包含于平面ABC,

∴DF∥平面ABC.3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,4.求證:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.(提示:過這條直

線作平面與這兩個平面相交，則它們的交線平行.)證明：設直線為l，平面為α，β.

而l⊥α，l⊥β.則過l作平面m，

且l?平面m,則

假設m∩α=l1,m∩β=l2.

由提示l1∥l2，

又l1?α,

l2?α，則l2∥α.

同理過l作平面n，使n∩α=l3,n∩β=l4.

則同理l4∥平面α.

又l3?β，l4?β，則α∥β.4.求證:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.(提示:過二面角圖示平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱

為_______.從這一條直線出發(fā)的____________所組成的圖

形叫做二面角.這條直線叫做二面角的___,這兩個半平

面叫做二面角的___.

概念半平面兩個半平面棱面二面角圖示平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱

平

面

角OA?α，OB?β,α∩β=l,O∈l,

OA⊥l,

OB⊥l→∠AOB

是二面角的平面角.

文字圖示符號范圍規(guī)定在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于___的射線，則這兩條射線構成的___叫做這個

二面角的平面角棱角二面角的大小可以用它的________來度量,二面角的平面角是多___________________0°≤∠AOB≤180°

少度,就說這個二面角是多少度,平面角是_____的二面角叫做

直二面角直角平面角平

面

角OA?α，OB?β,α∩β=l,O∈l,

O棱為l，面分別為α,β的二面角記為_________.如圖所示，

也可在α,β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P,Q,將這個

二面角記作二面角__________.

記法a-1-βP-l-Q棱為l，面分別為α,β的二面角記為_________.無關如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面

角的大小與角的頂點的位置無關，只與二面角的大小有關.1.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別?平面幾何中的角是從一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形;二面角是從

一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.2.二面角的平面角的大小，與角的頂點在棱上的位置有關嗎?無關如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB=∠A'O'B',即二例下列命題中:

①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角;②異面直線a,b分別和一

個二面角的兩個面垂直，則a,b所成的角與這個二面角的平面角

相等或互補;③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個

面內(nèi)作射線所成的角的最小角;

④二面角的大小與其平面角的

頂點在棱上的位置沒有關系.其中正確的是

（

）

A.①③

B.②④

C.③④

D.①②

拓展練習例下列命題中:

①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角;②解析

由二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

叫做二面角,所以①不對，實質(zhì)上它共有四個二面角;由a，b分別垂

直于兩個面，則a,b都垂直于二面角的棱，故②正確;

③中所作的

射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對;由定義知④正確.故選B.

答案B解析

由二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的規(guī)律方法

1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致.

2.要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面

內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別.

3.可利用實物模型，作圖幫助判斷.規(guī)律方法

1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一1.定義:兩個平面相交，如果它們所成的二面角是___________,就

說這兩個平面互相垂直.平面α與平面β垂直，記作________.

2.畫法:兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平

面的______垂直.如圖所示.平面與平面垂直直二面角α⊥β橫邊1.定義:兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_____平面與平面垂直的判定定理l⊥α,

______→α⊥β

文字語言圖形語言符號語言一個平面過另一個平面的_______，則這兩個平面

垂直垂線l?β平面與平面垂直的判定定理l⊥α,

______→α⊥β

例7如圖8.6-27所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證:平面

A'BD⊥平面ACC'A'.

證明:

∵ABCD-A'B'C'D'是正方體，

∴AA⊥平面ABCD.

∴AA'⊥

BD.

又BD⊥AC.

∴BD⊥平面ACC'A'.

∴平而A'BD⊥平面ACC'A'.例7如圖8.6-27所示，在正方體ABCD-A'B'C'D例8如圖8.6-28.AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面，

C是圓周上不同于A，B的任意一點.求證:平面PAC⊥平面PBC.

證明:∵PA⊥平面ABC,

BC?平面ABC.

∴PA⊥BC.

∵點C是圓周上不同于A,B的任意一點,AB是⊙O的直

徑，

∴∠BCA=90°,即BC⊥AC.

又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,

∴BC⊥平面PAC,

又BC?平面PBC,

∴平面PAC⊥平面PBC.例8如圖8.6-28.AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所拓展練習如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平

面，C是圓周上的一點，且PA=AC,求二面角P-BC-A

的大小解

∵PA⊥平面ABC,

BC?平面ABС,

∴PA⊥ВС.

∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.

又∵РА∩AC=А,

∴BC⊥平面PAC.

而PC?平面PAC,

∴PC⊥BC.

拓展練習如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平

又∵BC是二面角P-BC-A的棱,

∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.

由PA=AC知，△PAC是等腰直角三角形,

∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.又∵BC是二面角P-BC-A的棱,

∴∠PCA是二面角P規(guī)律方法

確定二面角的平面角的方法:

(1)定義法:在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂

直于棱的射線.

(2)垂面法:過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半

平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.

(3)線面垂直法:該法就是利用線面垂直來尋找二面角的平面角，是

最常用的也是最好用的一種方法.由一個半平面內(nèi)異于棱上的點A向

另一半平面作垂線，垂足為點B,由B點向二面角的棱作垂線，垂足

為點O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角(或其補角).規(guī)律方法

確定二面角的平面角的方法:

(1)定義法:空間中的垂直關系空間中的垂直關系1.如圖。檢查工作的相鄰兩個(平)面是否垂直時，只要用曲尺的

一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動，

觀察尺邊和這個面是否密合就可以了,這是為什么?

解答

檢查工件的相鄰的兩個面是否垂直時，只要

用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，

另一邊在工件的另一個面上轉動一下，若曲尺的另一

邊和工件的另一面密合,

就說明工件的另一個面經(jīng)過

工件的一個面的垂線,

由面面垂直的判定定理得工件

的這兩個互相垂直。如果不轉運，無法判斷曲尺的

另一邊和工件的另一面是否密合,也就無法判斷工件

的相鄰的兩個面是否垂直.1.如圖。檢查工作的相鄰兩個(平)面是否垂直時，只要用曲尺的2.已知直線a,b與平面α,β,γ.

能使α⊥β的充分條件是(

).

(A)α⊥γ

，β⊥γ

(B)α∩β=a,

b⊥a,

b?β

(C)a//?,a//α

(D)a//α,a⊥βD2.已知直線a,b與平面α,β,γ.

能使α⊥β的充3.如下頁圖.AB⊥平面BCD，BC⊥CD.你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相

垂直，為什么？

解答平面ABC⊥平面BCD,

平面ABD⊥平面BCD,

平面ACD⊥平

面ABC3.如下頁圖.AB⊥平面BCD，BC⊥CD.你能發(fā)現(xiàn)哪些4.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點.求證:平

面BDC'⊥平面ACC'A'.

證明：∵A'A⊥平面ABC

BD?平面ABC

∴A'A⊥BD

∵△ABC是正三角形,D為棱AC的中點∴BD⊥AC

∵BD⊥A'A，BD⊥AC，AA'?平面ACC'A，AC?平面ACC'A，

A'A∩AC=A→BD⊥平面ACC'A

又∵BD?平面BDC'

∴BDC'⊥平面ACC'A'

4.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另

一個平面______

垂直文字語言符號語言a⊥βa∩β=la?αa⊥l→a⊥β平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線圖形語言作用證明直線與平面垂直圖形語言作用證明直線與平面垂直例9如圖8.6-32.已知平面α⊥平面β.直線a⊥β,

a?α.判斷a與α的

位置關系.

解:在α內(nèi)作垂直于α與β交線的直線b,

∵α⊥β.

∴b⊥β.

又a⊥β.

∴a//b.

又a?α.

∴a//α.

即直線a與平面α平行.

例9如圖8.6-32.已知平面α⊥平面β.直線a⊥β,

例

如圖8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求證:BC⊥平面PAB.

證明:如圖8.6-34，過點A作AE⊥PB,垂足為E.

∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB,

∴AE⊥平面PBC,

∵BC?平面PBC,

∴AE⊥BC.

∵PA⊥平面ABC,

BC?平面ABC,

∴PA⊥BC.

又PA∩AE=А,

∴BC⊥平面PAB.例

如圖8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥拓展練習如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是

∠DAB=60°的菱形，側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面

ABCD.若G為AD邊的中點，求證:BG⊥平面PAD.拓展練習如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊拓展練習證明:連接PG,BD,

∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,

∴△ABD是正三角形,

∵G是AD的中點，

∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴BG⊥平面PAD.拓展練習證明:連接PG,BD,

∵四邊形ABCD是菱形規(guī)律總結1.若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的定理

將其轉化為線面垂直、線線垂直.

在應用面面垂直的性質(zhì)定理時，注意三點:①兩個平面垂直，是前提條件;②直線必須在其中一個

平面內(nèi);③直線必須垂直于它們的交線.規(guī)律總結1.若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂2.先找條件中有沒有在一個平面內(nèi)與交線垂直的直線，若沒有與

交線垂直的直線，一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)

一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉化為線面垂直問題,

進而轉化為線線垂直問題.2.先找條件中有沒有在一個平面內(nèi)與交線垂直的直線，若沒有與1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫

“×”.

(1)如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β.

（

）

(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β.

（

）

(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直

于平面β.

（

）1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫2.若平面α⊥平面β，且a∩β=l,則下列命題中正確的個數(shù)是(

)

(1)平面α內(nèi)的直線必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線.

(2)平面α內(nèi)的已知直線必垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線.

(3)平面α內(nèi)的任一條直線必垂直于平面β.

(4)過平面α內(nèi)任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β.

(A)3

(B)2

(C)1

(D)0B2.若平面α⊥平面β，且a∩β=l,則下列命題中正確的個3.已知α，β是兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則

“α⊥β”是“m⊥β”的(

).

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件B3.已知α，β是兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則

解答

設過直線a與平面α內(nèi)的一點的平面與α的交線為a'.

∵a∥α,

∴a∥a'.

∵a⊥AB,

∴a'⊥AB.

∵a'?α，α⊥β,

∴a'⊥β.

∴a⊥β,

即a與β的位置關系是a⊥β.4.已知平面α，β.直線a,且α⊥β，α∩β=AB.a//α,a⊥AB.判斷直

線a與平面β的位置關系.并說明理由.解答

設過直線a與平面α內(nèi)的一點的平面與α的交線為a'1.選擇題

(1)若空間中四條不同的直線l1,l2,l3,l4滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4.則下面

結論正確的是(

).

(A)l1⊥l4

(B)l1//l4

(C)l1,l4既不垂直也不平行

(D)l1,l4的位置關系不確定

(2)設l,m,n均為直線.其中m,n在平面α內(nèi).則"l⊥α”是"l⊥m"且“l(fā)⊥n”

的(

).

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件

(3)直線l1,l2互相平行的一個充分條件是(

)

(A)l1,l2都平行于同一個平面

(B)l1,l2與同一個平面所成的角相等

(C)l1,l2都垂直于同一個平面

(D)l1平行于l2所在的平面DAD1.選擇題

(1)若空間中四條不同的直線l1,l2,l2.判斷下列命題是個正確，正確的在括號內(nèi)畫"√",錯誤的畫"X".

(1)過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直.

（

）

(2)過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面平行.

（

）

(3)過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線垂直.

（

）

(4)過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行.

（

）

(5)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

（

）

2.判斷下列命題是個正確，正確的在括號內(nèi)畫"√",錯誤的畫"3.判斷下列命題是否正確.正確的說明理由,錯誤的舉例說明.

(1)一條直線行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條

直線互相垂直；

(2)如果平面α//平面α1，平面β//平面β1，那么平面α與平面β所成的

二面角和平面α1與與平面β1所成的二面角相等或互補；

(3)如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么平而α⊥平面γ.

解:(1)正確,設直線a//平面α

,直線b⊥平面α

,則存在直線c?α,且a//c,∴b⊥c,∴b⊥a.

(2)正確,兩個平面平行,則其法向量也平行,兩個二面角的兩個半平

面的法向量所成角相等或互補;

(3)錯誤,如長方體中兩底面都與同一側面垂直,但兩底面不垂直.3.判斷下列命題是否正確.正確的說明理由,錯誤的舉例說明4.如圖,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,

P為AB

的中點,Q為棱C1C的中點.求證:

(1)PQ⊥AB;

(2)PQ⊥C1C;

(3)PQ⊥A1B.

證明:(1)如圖,取AB的中點D,連接CD、DP,

∴PD//CQ,

∴四邊形CDPQ為平行四邊形,

∴CD//PQ.

又∵CACB,D為AB的中點，∴CD⊥AB，∴PQ⊥AB.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

CD?平面ABC,

∴AA1⊥CD,由(1)知CD//PQ,∴PQ⊥AA1.

又AA1//CC1，∴PQ⊥CC1.

(3)由(1)(2)知,PQ⊥AB，PQ⊥AA1,而AB∩AA1=A.

∴PQ⊥平面AA1B1B.

∵A1B?平面AA1B1B,

∴PQ⊥A1B.4.如圖,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB5.如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，

PO⊥底面ABC,垂足為O，且O在CD上,求證AB⊥PC.

證明:∵PO⊥底面ABC,AB?底面ABC,

∴PO⊥AB.

∵O在CD上，∴PO∩CD=O.

又CD⊥AB

∴AB⊥平面POC，∵PC?平面POC,

∴AB⊥PC.5.如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，

P6.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ABC'D'與正方

體的各個面所在的平面所成的二面角的大小分別是多少？解:在正方體ABCD-A'B'C'D'中，考慮平面ABC'D'與平面ABCD,

AB⊥平面B'C'CB,

BC',BC?平面B'C'CB,所以平面∠B'BC就是平面ABC'D'與

平面ABCD所成角,

即平面ABC'D'與平面ABCD成角∠C'BC=45°.

同理平面ABC'D'與平面ABCD,平面A'B'C'D',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45°角,

又因為AB⊥平面ADD'A',平面ABC'D'與平面ADD'A'垂直,即所成的角為90°,

同理可得平面ABC'D'與平面ADD'A',平面BCC'B'都垂直,即與它們所成的角為

90°.

所以平面ABC'D'與平面ABCD,平面A'B'C'D',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45°角,平面ABC'D'與平面ADD'A',平面BCC'B'都垂直,即與它們所成的角為90°.6.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ABC'7.如圖，在三棱錐V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=

∠ABC=90°,判斷平面VAB與平面VBC的位置關系，

并說明理由.

解答

∵∠VAB=∠VAC=90°,

∴VA⊥AB,

VA⊥AC,又AB∩AC=A,

∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC.

∠ABC=90°,∴AB⊥BC,VA∩VB=V，

∴BC⊥平面VBA，又ВC?平面VBC,

∴平面VBA⊥平面VBC.7.如圖，在三棱錐V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=

∠8.求證:如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線確

定的平面也兩兩垂直.

解答

已知:直線a，b，c共點且兩兩垂直，直線a和b確定的平面為α,直

線a和c確定的平面為β,直線b和c確定的平面為γ,

求證:a⊥γ，b⊥β，c⊥α，

證明:∵直線a,b，c共點且兩兩垂直,直線b和c確定的平面為γ,

∴由直線與平面垂直的判定定理可得a⊥γ，同理可證b⊥β，c⊥α，

∴原命題得證8.求證:如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線解答

證明:

如圖，

∵平面α⊥平面γ,

∴平面α與平面γ相交,

設交線為m,

在平面α內(nèi)作直線a⊥m,∵平面α⊥平面γ，∴a⊥γ,

在平面β內(nèi)任取一點O,由直線a和點O確定平面M，設M∩β于b,

∵平面α∥平面β,由面面平行的判定定理,得a∥b,

∵a//b，a⊥γ,

∴b⊥γ

又∵b?β,

∴平面β⊥平面γ.9.已知平面α,

β,

γ，且α⊥γ,

β//α,

求證β⊥γ.解答

證明:

如圖，

∵平面α⊥平面γ,

∴平面α10.已知平面α,

β,

γ,且α⊥γ,

β⊥γ,

α∩β=l,

求證l⊥γ.

解答

證明:如圖，在平面內(nèi)γ任取一點P,

過點P作PA⊥l1,PB⊥l2，A，B為垂足.

∵α∩γ=l1，α⊥γ,

PA?γ,

∴PA⊥α

又∵l?α,

∴PA⊥I.

同理:PB⊥l,

∴l(xiāng)⊥γ.10.已知平面α,

β,

γ,且α⊥γ,

β⊥γ,11.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P,Q分別為棱AD,CC1

的中點,求證A1P⊥BQ.

證明:取DD1的中點R,連接QR，AR,

如圖:

AR∩A1P=O

∵Q是CC1的中點，∴QR平行且等于CD.而AB平行且等于CD，

∴QR平行且等于AB,

∴四邊形ABQRR是平行四邊形，∴BQ//AR

在正方形AA1D1D中，∵P,R分別是AD,DD1的中點,

∴Rt△AA1P≌Rt△DAR,

∴∠AA1P=∠DAR.

∵∠DAR+∠A1AR=90°,

∴∠AA1P+∠A1AR=90°

∴∠AOA1=90°，

即A1P⊥AR,

∴A1P⊥BQ.11.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P,12.如圖，m,n是兩條相交直線，l1,l2是與m,n都垂直的兩條直

線，且直線l與l1，l2都相交，求證∠1=∠2.

解答

證明:∵m,n是兩條相交直線,l1,l2是與m,n都垂直

的兩條直線,

∴兩條直線分別垂直于m,n的平面，

∴l(xiāng)1和l2平行，

此時，若l與l1和l2相交，說明，三條直線在同一個

平面內(nèi),且l與l1和l2相交,

∴∠1，∠2為同位角，根據(jù)兩直線平行同位角相等，

可得:∠1=∠2,得證.12.如圖，m,n是兩條相交直線，l1,l2是與m,證明:設兩平行線為a,b,平面為α.

①a,b都平行于α或都在α內(nèi)，或一條與α平行，另一條在α內(nèi)時，

a,b和α所成的角都等于0°,∴

a，b與α成等角；②a，b都和α垂直時，a,b和α所成的角都等于90°；

③a，b和α斜交時，如圖,

設a∩α=A，b∩α=B,

在a，b.上分別取點C，D,

使C，D在α的同側，作CE⊥α于E，DF⊥α于F,

則CE∥DF,連結AE，BF，則直線AE，BF分別是a，b在α內(nèi)的射影，∴∠CAE，∠DBF

分別是a,b和α所成的角。

∵a∥b，CE∥DF，且∠ACE和∠BDF的方向相同，

∴∠ACE=∠BDF,

∴∠CAE=∠DBF，即斜線a,b與α所成的角相等.

綜上所述，兩條平行線和同一平面所成的角相等.

13.求證:兩條平行直線與同一個平面所成的角相等.證明:設兩平行線為a,b,平面為α.

①a,b都平14.如下頁圏，在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,

AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC嗎?

解答

VA=VB,

AD=BD→VD⊥AB,

VO⊥平面ABC,

AB?平面ABC上

→VO⊥AB

→AB⊥平面VCD,

CD?平面VCD→AB⊥CD

即CD⊥AB

又AD=BD,CD=CD,∠BDC=∠ADC=90°

△ADC≌△BD→AC=BC14.如下頁圏，在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O15.如圖.在正方形SG1G2G3中,

E.F分別是G1G2,G2G3

的中點.D是EF的中點，若沿SE,SF及EF把這個正方形

折成一個四面體,使G1,G2,G3三點重合,重合后的點

記為G.則在四面體S-EFC中，哪些棱與面互相垂直?

解答

∵在折疊過程中，

始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，

即SG⊥GE，SG⊥GF，

所以SG⊥平面EFG.15.如圖.在正方形SG1G2G3中,

E.F分別是16.求證:垂直于兩個平行平面中的一個平面的直線也垂直于另一

個平面.

已知:

α∥β，a⊥α，求證:

α⊥β.

證明:如圖，過直線a作兩平面γ，δ,

使

γ∩α=b，γ∩β=b'，δ∩α=c，δ∩β=c'，

∵α∥β，根據(jù)面面平行的性質(zhì),

∴b∥b'，c//c'

∵a⊥α,b?α,c?α，∴a⊥b,

a⊥c.

∴a⊥b',

a⊥c'.

又b'與c'都在β內(nèi)且相交，∴α⊥β.16.求證:垂直于兩個平行平面中的一個平面的直線也垂直于另17.求證:三個兩兩亞直的平面的交線也兩兩垂直.

解答

設三個互相垂直的平面分別為α、β、γ,且α∩β=a,

β∩γ=b,

γna=c,三個平面的公共點為O,如圖所示：

在平面γ內(nèi)，除點O外,任意取一點M,過點M作MN⊥c，MP⊥b，

M、P為垂足,則有平面和平面垂直的性質(zhì)可得MN⊥α

,MP⊥β,

∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ.

再由b、c在平面γ內(nèi),可得a⊥b，a⊥c.

同理可證，c⊥b，c⊥a,從而證得a、b、c互相垂直.17.求證:三個兩兩亞直的平面的交線也兩兩垂直.

解答18.如圖.在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VB=AC=BC=2,VC=1.作出二面角V-AB-C的平面角.并求出它的余弦值.

解:如答圖所示,取AB的中點M,連接VM,CM.

∵VA=VB，AC=BC

∴VM⊥AB,

CM⊥AB

∴∠VMC為二面角V-AB-C的平面角

18.如圖.在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VB=AC19.如圖.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AA1

=AB.求證A1C⊥AB1.

證明:連接A1B.

∵ABC-A1B1C1為直三棱柱

∴BB1⊥平面ABC，BC?平面ABC

∴BB1⊥BC

又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC

∵BC⊥BB1，BC⊥AB,

BB1?平面ABB1A1,

AB?平面ABB1A1,

BB1∩AB=B

∴BC⊥平面ABB1A1,

AB1?平面ABB1A1

∴BC⊥AB1

∵AA1=AB，在正方形ABB1A1中，對角線AB1⊥A1B

∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC

A1B∩BC=B

∴AB⊥平面A1BC,

A1?平面A1BC，∴A1C⊥AB1.19.如圖.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=20.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直

線VC垂直于⊙O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點.判斷

直線DE平面VC的位置關系.并說明理由.

證明：∵AC⊥BC,VC⊥AC,

∴AC⊥面VBC,

∵D、E分別カVC、VA中點，

∴DE∥AC,

∴DE⊥面VBC.20.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C21.如圖.在四棱錐P-ABC中.底面ABCD為正方形.

PA⊥底面ABCD.PA=AB,E為線段PB的中點.F為線

段BC上的動點，平面AEF與平面PBC是否互相垂直?

如果垂直，請證明:如果不垂直，請說明理由.

平面AEF與平面PBC互相垂直

理由如下:

因為PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD,所以PA⊥BC.

因為ABCD為正方形，所以AB⊥BC

又PA∩AB=A，且PA,AB?平面PAB,

所以BC⊥平面PAB.

因為AE?平面PAB，所以AE⊥BC.

因為PA=AB，E為線段PB的中點，所以AE⊥PB,

又PB∩BC=B，且PB，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC,

因為AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.21.如圖.在四棱錐P-ABC中.底面ABCD為正方形.1.求二面角大小的步驟

作作出平面角證證明所作的角滿足定義，即為所求二面角的

平面角求將作出的角放在三角形中，計算出平面角的

大小簡稱為“一作二證三求”.總結1.求二面角大小的步驟

作作出平面角證證明所作的角滿足定義，總結2.平面與平面垂直的判定定理的應用思路

(1)本質(zhì):通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂

直→面面垂直.

(2)證題思路:處理面面垂直問題轉化為處理線面垂直問題，進一

步轉化為處理線線垂直問題來解決.總結2.平面與平面垂直的判定定理的應用思路

(1)本質(zhì):精品課件高中數(shù)學必修2第八章立體幾何初步新人教版

空間直線、平面的垂直特級教師優(yōu)秀課件精選精品高中數(shù)學必修2第八章立體幾何初步新人教版空間直線、112教學目標異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的定義；直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定定理，異面

直線所成角、直線和平面所成的角、二面角及其求法；異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理

的綜合應用．教學目標異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的定義；直線教學重點教學難點異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的求解；異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定．找異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角；異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定

理的應用．教學重點教學難點異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角引入空間中兩條直線的位置關系

1.空間兩條直線的位置關系有三種:__________、_________、_________.異面直線平行直線相交直線引入空間中兩條直線的位置關系

1.空間兩條直線的位置關系有2.分類(1)從有無公共點的角度來看，可分為兩類平行直線無公共點(2)從是否共面的角度來看，可分為兩類相交直線共面直線直線平行直線不共面直線:異面直線有且僅有一個公共點:相交直線直線異面直線2.分類(1)從有無公共點的角度來看，可分為兩類平行直線無公直線與直線垂直異面直線a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直線a,b經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,

b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做_________________________

(或夾角).直線與直線垂直異面直線a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.當θ=____時，a與b互相垂直，記作______.

異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：

異面垂直和相交垂直.4.當兩條直線a,b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為________.

所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是________________.

0°<θ≤90°a⊥b90°0°0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.[教材解難]

求異面直線所成的角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法，遇題設中有中點，

常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移

有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉化為相交

直線.

(2)求——轉化為一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的

角.

(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為

所求；若90°<θ≤180°，則180°-θ為所求.[教材解難]

求異面直線所成的角的步驟

(1)找出(或作例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？

(2)求直線BA'與CC'所成的角的大小.

(3)求直線BA'與AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直線分別與直線AA'垂直.

(2)因為ABCD-A'B'C'D'是正方體，所以BB'∥CC,因此∠A'BB'為直線BA'與

CC'所成的角.又因為∠A'BB'=45°,所以直線BA'與CC所成的角等于45°.

(3)如圖8.6-4,連接A'C',因為ABCD-A'B'C'D'是正方體，所以AA'⊥CC'.從

而四邊形AA'C'C是平行四邊形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'為異面直線

BA'與AC所成的角，

連接BC',易知△A'BC'是等邊三角形，所以∠BA'C'=60°.從而異面直線BA'

與AC所成的角等于60°.例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B1,

B1C1的中點，

求異面直線DB1與EF所成的角的大小.

拓展練習例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,并設它們相交于點O，

取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G,

則OG//B1D，EF//A1C1,

∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)

∵GA1=GC1,O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1.

∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點H,

連接HE，則HE∥∴∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角).

方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點H,

連接方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點M,N,連接MN.

∵E,F分別是A1B1,B1C1的中點，∴EF//A1C1,又MN//A1C1,

∴MN//EF.

連接DM,

B1N,

MB1,

DN,則B1N//DM,

∴四邊形DMB1N為平行四邊形，∴MN與DB1必相交，

設交點為P，則∠DPM為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角).方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點M方法四:如圖，在原正方體的右側補上一個與其大小相等的正方體，

連接B1Q，易得B1Q//EF,

∴∠DB1Q就是異面直線DB1與EF所成的角(或其補角).

方法四:如圖，在原正方體的右側補上一個與其大小相等的正方體

方法歸納

求異面直線所成角的步驟

一作:選擇適當?shù)狞c，用平移法作出異面直線所成的角;

二證:證明作出的角就是要求的角；

三計算:將異面直線所成的角放入某個三角形中，利用特殊三角形

求解.

例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，

求證AO1⊥BD.例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴BB1∥DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,∴B1D1//BD.

∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成

的角.連接AB1,

AD1,易證AB1=AD1.

又O1為底面A1B1C1D1的中心，

∴O1為B1D1的中點

∴AO1⊥B1D1,

∴AO1⊥BD.[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是方法歸納

證明直線與直線垂直的方法

①等腰三角形中線即是高線.

②勾股定理.

③異面直線所成的角為直角.方法歸納

證明直線與直線垂直的方法

①等腰三角形中線即是高空間直線、平面的垂直_課件證明:如圖，取AC的中點F,

連接DF,EF,證明:如圖，取AC的中點F,

連接DF,EF,在△PAC中，∵D是PC的中點，F(xiàn)是AC的中點，

∴DF//PA,同理可得EF//BC,

∴∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補角).

在△DEF中，DE=3,

在△PAC中，∵D是PC的中點，F(xiàn)是AC的中點，

∴DF//1.判所下列命題是否正確,正確的在括號內(nèi)畫"√".錯誤的畫“×".

(1)如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也

與已知直線垂直.

(

)

(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行

(

)

1.判所下列命題是否正確,正確的在括號內(nèi)畫"√".錯誤的畫2.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線中.

(1)與直線AB垂直的直線有____條;

(2)與直線AB異面且垂直的直線有____條;

(3)與直線AB和A'D'都垂直的直線有____條;

(4)與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是______.84412.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直

(1)直線BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線AA'和BC"所成的角的大小.

(1)因為BC∥BC，所以∠B'C'A'是異面直線A'C'與BC所成的角

(1)直線BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線AA'4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的中點.AB=BB'=2.

求證BD⊥AC'.4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的引入引入定義畫法直線與平面垂直如果直線l與平面α內(nèi)的__________直線都______，就說

直線l與平面α互相垂直，記作.直線_____.

直線l叫作平

面α的_____，平面α叫作直線l的_____，直線與平面垂

直時，它們唯一的公共點P叫作______.任意一條垂直l⊥a垂線垂面垂足通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,

如圖定義畫法直線與平面垂直如果直線l與平面α內(nèi)的________PO為垂線段，其長度為點P到面α的距離垂線段過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條PO為垂線段，其長度為點P到面α的距離垂線段過一點垂直于已知空間直線、平面的垂直_課件文字語言:如果一條直線與一個平面內(nèi)的_____________________，

則該直線與此平面垂直.

直線與平面垂直的判定定理兩條相交直線垂直圖形語言:如圖所示.文字語言:如果一條直線與一個平面內(nèi)的___________1.直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

2.注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)

條直線”.3.判定定理條件中的“兩條相交直線”是關鍵性詞語，此處強調(diào)“相

交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直.1.直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

2.注意證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,n,

∴直線a⊥α,

∴a⊥m,

a⊥n.

∵b//a,

∴b⊥m,b⊥n.

又m?α,n?α,m,n是兩條相交直線,

∴b⊥α.例3求證:如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那

么另一條直線也垂直于這個平面.

已知:如圖8.6-12，a//b,a⊥α,求證b⊥α.證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,n,例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AC=BC,N是AB的中點.求證:CN⊥平面ABB1A1.例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是AB的中點AB⊥CN,又AA1?平面ABB1A1,

AB?平面ABB1A1,

AA1∩AB=A，所以

CN⊥平面ABB1A1.證明AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是方法歸納