3.1兩種證券投資組合的均值-方差3.1.1投資組合設有兩種風險資產證券，

記為A和B，

11/24/20221第一頁，共六十七頁。3.1兩種證券投資組合的均值-方差注：權重為正數，意味著投資者買入該資產。如果是賣空，投資于資產的權重是負數。

例如：假設你借100股某公司的股票，市場價格為10元，那么將股票賣出，可獲得1000元現金。一段時間之后，該股票的價格5元，你在市場上購買100股，支付現金500，兩者之間的差額為500元，你可以獲利。11/24/20222第二頁，共六十七頁。舉例說明

1.如果你有資金1000元，投資于證券的金額為400元，投資于證券的金額為600元，則有11/24/20223第三頁，共六十七頁。舉例說明2.假設你有資金1000元，賣空證券獲現金600元，共有1600元，投資于證券，于是對于資產

則有11/24/20224第四頁，共六十七頁。投資組合的期望收益與方差設證券A的收益率為RA，證券B的收益率RB是隨機變量，假設我們已知RA和RB的概率分布，

稱11/24/20225第五頁，共六十七頁。投資組合的期望收益與方差則期望收益11/24/20226第六頁，共六十七頁。投資組合的期望收益與方差11/24/20227第七頁，共六十七頁。3.1.2聯合線假設由式（3.1.1）（1）如果我們假設

和的相關系數為零，

由式（3.1.2）11/24/20228第八頁，共六十七頁。3.1.2聯合線設自有資金1000元，

賣空證券收入為500元，

將這兩種資金(共1500元)投資于證券，

計算得代入式（3.1.3）和式（3.1.4）得11/24/20229第九頁，共六十七頁。3.1.2聯合線表3.1不同投資組合的期望收益和收益方差1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的數據在

的坐標系之下畫出一條曲線稱為證券A和證券B的聯合線。11/24/202210第十頁，共六十七頁。3.1.2聯合線圖3.1證券A和B的聯合線賣空B投資于A同時投資于A和B賣空A投資于B11/24/202211第十一頁，共六十七頁。3.1.2聯合線假設相關系數不為零，（2）假設RA和RB完全正相關,在（RB，RA）坐標系內，是一條斜率為正的一條直線，即如果11/24/202212第十二頁，共六十七頁。3.1.2聯合線圖3.2證券A和證券B收益率完全正相關時的示意圖11/24/202213第十三頁，共六十七頁。3.1.2聯合線當RA和RB完全正相關時，相關系數由式(3.1.2)，

11/24/202214第十四頁，共六十七頁。3.1.2聯合線表3.2不同wA值的期望收益率和收益率方差3.000.2200.05002.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.125011/24/202215第十五頁，共六十七頁。正相關時的聯合線11/24/202216第十六頁，共六十七頁。3.1.2聯合線（3）假設RA和RB完全負相關,在（RB，RA）坐標系內，是一條斜率為負的一條直線，即得解得11/24/202217第十七頁，共六十七頁。3.1.2聯合線于是得此直線的方程為

圖3.3證券A和證券B收益率完全負相關情況下的示意圖11/24/202218第十八頁，共六十七頁。3.1.2聯合線當RA和RB完全負相關時，

相關系數為-1，此時

3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.1300.12500.6670.0800.00000.2500.0550.0850-0.500.0100.1750表3.3不同wA值的收益率期望和方差11/24/202219第十九頁，共六十七頁。6248101214160246810121418完全負相關的情況11/24/202220第二十頁，共六十七頁。6248101214160246810121418圖3.43種不同情況下的聯合線11/24/202221第二十一頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析設有兩種證券A和B，

證券A的期望收益記為

證券B的期望收益記為

設設投資于證券A的資金權重為

投資于證券B的權重記為

滿足投資組合

的期望收益記為

則有投資組合的收益率

的方差

11/24/202222第二十二頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析由式(3.1.9)和式(3.1.10)解得代入式(3.1.10)，得整理后，可得11/24/202223第二十三頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析若RA和RB不完全相關，

則于是式(3.1.12)的右端作為

的二次函數恒大于零，

可以寫成

的形式。

代入式（3.1.12），得易見方程(3.1.13)在

平面上的圖形是雙曲線，

由于

它只有開口向右的一支。

11/24/202224第二十四頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析（1）若RA和RB完全正相關，

可見方程(3.1.14)的圖形是從

出發的兩條射線，

其中的一條是

11/24/202225第二十五頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析另一條是（2）如果RA和RB完全負相關，

此時

也是兩條射線，

這兩條射線從出發指向右方，

11/24/202226第二十六頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析其中一條通過點

其方程為

另一條通過點

其方程為

11/24/202227第二十七頁，共六十七頁。3.1.1兩種投資組合均值-方差分析（3）如果RA和RB無關，

此時方程(3.1.12)變為

方程(3.1.20)是一條經過

和的雙曲線，其頂點為

對應于此頂點的投資組合，方差最小，

其方差

而其期望收益介于μA和μB之間。

11/24/202228第二十八頁，共六十七頁。圖3.5不同情況下投資組合均值與方差的關系11/24/202229第二十九頁，共六十七頁。3.2均值—方差分析及兩基金分離定理11/24/202230第三十頁，共六十七頁。3.2.1投資組合的期望收益和方差設市場只有n種風險資產，

僅有兩個時刻，

時刻0代表今天，時刻1代表明天，

其單期收益為

記為收益率向量。設稱w為投資組合，

其中wi是第i種資產Xi上的投資比例，滿足

這里沒有

的限制，

說明市場有做空機制。

11/24/202231第三十一頁，共六十七頁。3.2.1投資組合的期望收益和方差以表示第i種資產收益的期望值，

為期望收益向量。

若w為投資組合，

滿足

投資組合的收益率

也是隨機變量，

其期望值

稱為投資組合的期望收益。11/24/202232第三十二頁，共六十七頁。3.2.1投資組合的期望收益和方差設是n維向量，

記稱n階矩陣

為方差－協方差陣。

如果

為可逆矩陣，

為正定矩陣，

投資組合

的收益率

的方差為

用矩陣表示

11/24/202233第三十三頁，共六十七頁。3.2.1投資組合的期望收益和方差有效投資組合的假設條件(1)僅存在無風險利率Rf,可以無限制借貸，

(2)假設市場上的投資者的效用函數都是均值方差效用函數，

(3)假定市場無摩擦，即無任何交易成本，無稅收，資產數量單位無限可分,

(4)假定市場的參與者都有相同的預期。

11/24/202234第三十四頁，共六十七頁。3.2.2有效投資組合定義3.1

如果一個投資組合對確定的方差具有最大的期望收益，或者對于確定的期望收益，有最小的方差，這樣的投資組合稱為“均值——方差”有效的投資組合。定義3.2如果一個投資組合對確定的期望收益有最小的方差，那么稱該投資組合為最小方差投資組合。11/24/202235第三十五頁，共六十七頁。可行資產組合均方有效前沿最小方差資產組合注：陰影部分代表資產組合的可行區域，AB弧表示的邊界為有效資產組合集，它也稱為資產組合的‘有效前沿“，而可行區域的整個邊界（AB弧和AC弧）即為最小方差資產組合集。結論：均方有效的資產組合也是最小方差資產組合，但其逆不對。11/24/202236第三十六頁，共六十七頁。3.2.3求最小方差投資組合的

數學模型及其求解求最小方差投資組合可歸結為如下最優模型的求解問題。

11/24/202237第三十七頁，共六十七頁。3.2.3求最小方差投資組合的

數學模型及其求解模型（3.2.4）是具有等式約束的二次規劃問題，可以用Lagrange乘數法求解，令

最優解的一階條件為

11/24/202238第三十八頁，共六十七頁。3.2.3求最小方差投資組合的

數學模型及其求解假設

可逆，

由方程（3.2.5a）得到最優解:

將式（3.2.6）代入式（3.2.5c），得將式（3.2.6）代入式（3.2.5c）得11/24/202239第三十九頁，共六十七頁。其中

(3.2.8a)因為

可逆，

又所以

由（）及（）得

（3.2.8b)代入（）式，得

(3.2.9a)11/24/202240第四十頁，共六十七頁。3.2.4均值－方差分析對一般n種資產的情形

收益水平

的最小方差投資組合的方差為

再將

和代入得11/24/202241第四十一頁，共六十七頁。3.2.4均值－方差分析0在最小方差組合的方差—均值空間是拋物線，

其頂點是

圖3.6最小方差組合的收益均值與方差的關系11/24/202242第四十二頁，共六十七頁。3.2.4均值－方差分析討論最小方差投資組合的期望收益和其標準差之間的關系

將方程（3.2.9b）改寫為

由（3.2.10）可見，在標準差－均值空間種的圖形是雙曲線，

11/24/202243第四十三頁，共六十七頁。3.2.4均值－方差分析0圖3.7最小方差組合的期望收益與標準差的關系全局最小方差資產組合11/24/202244第四十四頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理討論全體最小方差組合構成的集合的性質：

任何一個最小方差投資組合都可以用兩個特殊的最小方差投資組合的凸組合表示。這條性質稱為兩基金分離定理。

由式（3.2.6）得11/24/202245第四十五頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理其中，假設

顯然，

而且由式（3.2.8b）得11/24/202246第四十六頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理令則所以具有如下性質：

因為

所以對于權系數

相應的資產組合的收益率

11/24/202247第四十七頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理由（3.2.9a）知，

是全局最小方差投資組合,

稱wd為分散化資產組合，

對應的期望收益率為將代入式（3.2.9a）得

由圖3.6可見，

相應于期望收益率

的最小方差投資組合是所有有效投資組合中方差最小的一個，稱它為全局最小方差投資組合。

11/24/202248第四十八頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理同樣，

將

代入式（3.2.9a）可得

因此

是相應于期望收益率

的最小方差投資組合。

定理3.1（兩基金分離定理）：

任意最小方差投資組合都可以唯一的表示為全局最小方差投資組合和可分散化資產組合

的組合，即11/24/202249第四十九頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理這里

從定理3.1可見，對于任意的

相應的最小方差資產組合可以表示成相應于和的最小方差投資組合和的組合。稱

和為共同基金。

11/24/202250第五十頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理兩資產組合

和期望收益之差因為

所以與之差的符號取決于A的符號。

（1）如果全局最小方差的資產組合的收益率為正，則

在相應的雙曲線的上半葉上。

（2）如果則相反，在允許賣空的情況下，這種情況也可能出現。11/24/202251第五十一頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理注1

對于任意兩個不同期望收益水平的最小方差資產組合和他們與

和有相同的分離作用，

即可表示為

和的組合。

11/24/202252第五十二頁，共六十七頁。注1證明：由兩基金分離定理，

和可由和表示如下由式（3.2.18a）和式（3.2.18b），將和解出，得

11/24/202253第五十三頁，共六十七頁。注1證明：由將（）和（）代入，得顯然

這說明

可用

和的組合來表示。

11/24/202254第五十四頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理注2

對任意的投資組合w,有

設和是兩個最小方差組合，

則11/24/202255第五十五頁，共六十七頁。注2證明：這證明了第一個結論。

將式（）代入式（），得

由前段證明可知

11/24/202256第五十六頁，共六十七頁。注2證明：11/24/202257第五十七頁，共六十七頁。3.2.5兩基金分離定理若是一個最小方差資產組合，

其方差不是全局最小值，

則存在最小方差資產組合

使稱和為零

相關（即協方差為零）的有效投資組合。11/24/202258第五十八頁，共六十七頁。3.3具有無風險資產的均值-方差分析11/24/202259第五十九頁，共六十七頁。3.3.1具有無風險資產的有效投資組合假定市場存在n種風險資產

及無風險資產

無風險資產的收益率是一常數，設為

以w表示風險資產組合的權系數，

是投資于無風險資產的權系數，

表示投資于n+1種資產的投資組合的期望收益，

則即11/24/202260第六十頁，共六十七頁。3.3.1具有無風險資產的有效投資組合當投資者在市場上可以獲得無風險資產時，資產組合問題在兩方面發生了變化。（1）與只有風險資產的預算約束不同的是，若投資者在無風險資產的投