絕密★啟用前2015年普通高等學校招生全國統一考試文科數學注意事項：1．本試卷分第I卷（選擇題）與第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必先將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上。2．回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷與答題卡一并交回。第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A．，，則B．C．D．2．若a為實數，且，則a=D．4A．-4B．-3C．33．根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論不正確的是A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關4．向量A．-1，，則B．0C．1D．35．設Sn等差數列A．5B．7的前n項與。若a1+a3+a5=3，則S5=C．9D．116．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A．B．C．D．7．已知三點，，，則ΔABC外接圓的圓心到原點的距離為A．B．C．D．8．右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”。執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=A．0B．2C．4D．149．已知等比數列滿足，a3a5=，則a2=A．2B．1C．D．10．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點。若三棱錐O—ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A．36πB．64πC．144πD．256π11．如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠AOB=x。將動點P到A，B兩點距離之與表示為x的函數，則的圖象大致為12．設函數A．，則使得成立的x的取值范圍是B．C．D．第II卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題與選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22題~第24題為選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13．已知函數的圖象過點，則a=_________。14．若x，y滿足約束條件15．已知雙曲線過點，則的最大值為__________。，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為__________。相切，則a=16．已知曲線__________。在點處的切線與曲線三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）ΔABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC。（1）求（2）若；，求。18．（本小題滿分12分）某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖與B地區用戶滿意度評分的頻數分布表。A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組頻數2814106（1）在答題卡上作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖（2）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分滿意度等級低于70分不滿意70分到89分滿意不低于90分非常滿意估計哪個地區的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由19．（本小題滿分12分）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法與理由）；（2）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值。20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，點在C上。（1）求C的方程；（2）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。21．（本小題滿分12分）已知函數（1）討論（2）當。的單調性；有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍。請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫清題號22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F兩點。（1）證明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半徑，且23．（本小題滿分10分），求四邊形EBCF的面積。選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，曲線C1：（t為參數，t≠0），其中0≤α<π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：，C3：。（1）求C2與C3交點的直角坐標；（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求的最大值。24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，證明：（1）若ab>cd；則（2）；是的充要條件。參考答案一．選擇題（1）A（7）B（2）D（8）B（3）D（9）C（4）C（5）A（6）D（12）A（10）C（11）B二．填空題（13）-2（14）8（15）（16）8三．解答題（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得因為平分，所以（Ⅱ）因為，所以由（Ⅰ）知（18）解：（Ⅰ），所以，即通過兩地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區用戶滿意度評分的平均值高于A地區用戶滿意度評分的平均值；B地區用戶滿意度評分比較集中，而A地區用戶滿意度評分比較分散。（Ⅱ）A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大。記表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為不滿意”；記表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”。由直方圖得的估計值為的估計值為所以A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大。（19）解：（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為M，則因為為正方形，所以于是因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為（也正確）（20）解：（Ⅰ）由題意有，解得所以的方程為（Ⅱ）設直線將故代入得于是直線OM的斜率，即所以直線OM的斜率與直線的斜率的乘積為定值。（21）解：（Ⅰ）的定義域為若若，則，所以時，在單調遞增，則當；當時，。所以在在單調遞增，在單調遞減。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在無最大值；當時，取得最大值，最大值為因此令等價于，則在單調遞增，于是，當時，；當時，因此，的取值范圍是（22）解：（Ⅰ）由于又因為從而是等腰三角形，，所以是的平分線分別與AB，AC相切于點E，F，所以，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，故是的垂直平分線.又為的弦，所以在上連結由，則等于的半徑得，所以，因此與都是等邊三角形因為，所以因為，所以，于是所以四邊形的面積為