第四節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量及其概率密度定義

設(shè)

X

是隨機(jī)變量,若存在一個(gè)非負(fù)其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型r.v.

，f(x)是它的概率連續(xù)型r.v.的概念可積函數(shù)

f(x),

使得密度函數(shù)(p.d.f.)，簡(jiǎn)記為d.f.第1頁(yè)，共44頁(yè)。xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義第2頁(yè)，共44頁(yè)。①受眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求（3）X的分布函數(shù)F（x）故至少要進(jìn)行4次獨(dú)立測(cè)量才能滿足故至少要進(jìn)行4次獨(dú)立測(cè)量才能滿足誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米的形狀不變化，只是位置不同曲線y=f(x)以x軸為漸近線k位進(jìn)行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作分布函數(shù)與密度函數(shù)度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X的d.度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X的d.服從的r.p.d.f.

f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能

在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處，f(x)描述了X在

x

附近單位長(zhǎng)度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.否作為連續(xù)性r.v.的d.f.第3頁(yè)，共44頁(yè)。積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線段質(zhì)量長(zhǎng)度密度的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo)第4頁(yè)，共44頁(yè)。注意:對(duì)于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是隨機(jī)變量

X

的一個(gè)可能的取值命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強(qiáng)調(diào)概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實(shí)上第5頁(yè)，共44頁(yè)。對(duì)于連續(xù)型r.v.

Xbxf(x)a第6頁(yè)，共44頁(yè)。xf(x)a第7頁(yè)，共44頁(yè)。例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其d.f.為(1)求常數(shù)c(3)

已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管,每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立,求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率.(2)

計(jì)算第8頁(yè)，共44頁(yè)。解(1)令c=1000(2)

第9頁(yè)，共44頁(yè)。(3)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三個(gè)電子管中損壞的個(gè)數(shù)為Y設(shè)A

表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)第10頁(yè)，共44頁(yè)。求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F（x）（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2

例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：第11頁(yè)，共44頁(yè)。第12頁(yè)，共44頁(yè)。(1)均勻分布常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布若X的d.f.

為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作第13頁(yè)，共44頁(yè)。X

的分布函數(shù)為第14頁(yè)，共44頁(yè)。xf(x)abxF(x)ba第15頁(yè)，共44頁(yè)。即X落在(a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān),只與其長(zhǎng)度成正比.這正是幾何概型的情形.進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí),若在小數(shù)點(diǎn)后第k

位進(jìn)行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機(jī)變量應(yīng)用場(chǎng)合第16頁(yè)，共44頁(yè)。例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計(jì)時(shí)精度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X的d.f.并計(jì)算誤差的絕對(duì)值不超過(guò)0.004秒的概率.解

X等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則第17頁(yè)，共44頁(yè)。(2)指數(shù)分布若X

的d.f.為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)第18頁(yè)，共44頁(yè)。1xF(x)0xf(x)0第19頁(yè)，共44頁(yè)。對(duì)于任意的0<a<b,應(yīng)用場(chǎng)合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問(wèn)題中的通話時(shí)間無(wú)線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第20頁(yè)，共44頁(yè)。若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”事實(shí)上命題第21頁(yè)，共44頁(yè)。解(1)例4

假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為

t

的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的概率分布;設(shè)備已正常運(yùn)行８小時(shí)的情況下,再正常運(yùn)行10小時(shí)的概率.第22頁(yè)，共44頁(yè)。即(2)由指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”第23頁(yè)，共44頁(yè)。(3)正態(tài)分布若X的d.f.為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布第24頁(yè)，共44頁(yè)。N(-3,)第25頁(yè)，共44頁(yè)。f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱,即在x=

時(shí),f(x)取得最大值在x=±

時(shí),曲線

y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(+x)=f(-x)第26頁(yè)，共44頁(yè)。第27頁(yè)，共44頁(yè)。

f(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同的,對(duì)應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)前者取第28頁(yè)，共44頁(yè)。固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同.例8設(shè)測(cè)量的誤差X~N(7.曲線y=f(x)的圖形呈單峰狀度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X的d.發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求對(duì)一般的正態(tài)分布：X~N(,2)例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X)則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱例8設(shè)測(cè)量的誤差X~N(7.在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，曲線y=f(x)以x軸為漸近線固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同.一次試驗(yàn)中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)若X~Ｅ(),則f(x)的性質(zhì)Show[fn1,fn3]大小幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比第29頁(yè)，共44頁(yè)。正態(tài)變量的條件若r.v.

X①受眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負(fù)影響可以疊加則稱X為正態(tài)r.v.第30頁(yè)，共44頁(yè)。可用正態(tài)變量描述的實(shí)例極多：各種測(cè)量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生的考試成績(jī)；第31頁(yè)，共44頁(yè)。一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門(mén)的表供查.——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)第32頁(yè)，共44頁(yè)。第33頁(yè)，共44頁(yè)。-xx第34頁(yè)，共44頁(yè)。對(duì)一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換第35頁(yè)，共44頁(yè)。例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X)解第36頁(yè)，共44頁(yè)。例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一第37頁(yè)，共44頁(yè)。解二圖解法由圖0.3第38頁(yè)，共44頁(yè)。例7

3原理設(shè)

X~N(,2),求解一次試驗(yàn)中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間可能性很小由3原理知，當(dāng)?shù)?9頁(yè)，共44頁(yè)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點(diǎn)z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)第40頁(yè)，共44頁(yè)。例8

設(shè)測(cè)量的誤差X~N(7.5,100)(單位:米)問(wèn)要進(jìn)行多少次獨(dú)立測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米的概率大于0.9?解第41頁(yè)，共44頁(yè)。設(shè)A

表示進(jìn)行n次獨(dú)立測(cè)量至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米n>3故至少要進(jìn)行4次獨(dú)立測(cè)量才能滿足要求.第42頁(yè)，共44頁(yè)。例9：某儀器需安裝一個(gè)電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時(shí)即可。現(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802)。問(wèn)應(yīng)選擇哪個(gè)廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時(shí)，又如何？解：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和Y