-.z.電力生產最優化問題摘要本文解決的是發電機使用的非線性最優化問題。為滿足每日電力需求，且總本錢最小，可把每天分為七個時間段，要計算一天的最小本錢即是分別求出每個時間段的最小本錢，從而累加得出一天的最小總本錢。我們采用了LINGO軟件實現整個流程，最終求出七個時段總本錢的最優解，即每天使用發電機的總本錢的最小值，并進展了誤差分析，模型的評價與推廣。對于問題一：對數據進展初步分析和處理后，考慮到數據的復雜性及多樣性，我們應用普遍的分段思想以及最優化思想，建立二次規劃模型。將每天分為7個時段，通過利用第i時段型號j發電機的使用數量及其功率，并應用LINGO程序，最終分別計算出每個時段使用發電機所花費的本錢最小值，然后累加得每天使用發電機的總本錢的最小值，最終結果如下表：0—66—99—1212—1414—1818—2222—24型號1發電機使用數量0255110型號2發電機使用數量4444444型號3發電機使用數量3848886型號4發電機使用數量0333130時段最小本錢17662027040019782018493024554030780085480一天最小總本錢1468590對于問題二：本問是要在問題一的根底上加以改良，要求在任何時刻，正在工作的發電機組必須留出20%的發電能力余量，即發電機在任何時刻其輸出功率均要滿足要求，在計算電力需求量時，發電機要按80%的輸出功率計算；最終得出此情況下每天最小本錢為1913537元。最后，觀察模型結果可發現，型號2與型號3發電機使用相當頻繁，建議可適當增加此類發電機臺數。關鍵詞：lingo軟件最優化思想二次規劃模型問題重述問題背景：電是我們這個社會不可缺少的資源之一。我們身邊處處都需要電，小到電燈、電扇，大到飛機、衛星。對電力資源的合理利用是目前重要任務之一。在可持續開展的社會中，如何節約資源、提高效率是當前社會面臨的重要問題之一，此題即是要求合理分配發電機使用數量，以減小發電本錢的問題。題目要求：為滿足每日電力需求〔單位為兆瓦〔MW〕〕，可以選用四種不同類型的發電機。每日電力需求如下表1。表1：每日用電需求〔兆瓦〕時段〔0-24〕0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每種發電機都有一個最大發電能力，當接入電網時，其輸出功率不應低于*一最小輸出功率。所有發電機都存在一個啟動本錢，以及工作于最小功率狀態時的固定的每小時本錢，并且如果功率高于最小功率，則超出局部的功率每兆瓦每小時還存在一個本錢，即邊際本錢。這些數據均列于表2中。表2：發電機情況可用數量最小輸出功率〔MW〕最大輸出功率〔MW〕固定本錢〔元/小時〕每兆瓦邊際本錢〔元/小時〕啟動本錢型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600型號381200200037501.82400型號431800350048003.81200只有在每個時段開場時才允許啟動或關閉發電機。與啟動發電機不同，關閉發電機不需要付出任何代價。本文要解決的問題有：問題一：試確定在每個時段應分別使用各型號發電機的數量，以使每天的總本錢最小，并求出最小總本錢。問題二：在現實生活中，用電量不可能恒定不變，所以為了更符合實際，增強方案的可行性，要求發電機要保存一定的發電能力，以應對突發情況。所以假設：在任何時刻，正在工作的發電機組必須留出20%的發電能力余量，以防用電量突然上升。試確定每個時段又應分別使用各型號發電機的數量，以使每天的總本錢最小，并求出此時的最小總本錢。模型的假設假設1：在每個時段開場時才允許啟動或關閉發電機。假設2：發電機工作期間不發生任何故障。假設3：發電機之間的摩擦不消耗功率。假設4：發電機輸出過程其功率始終保持不變。假設5：關閉發電機過程不做任何考慮。假設6：關閉和啟動發電機時均是瞬時完成，不記相應使用的時間。假設7：發電機自身不消耗功率。假設8：在一時段內，每小時所需要的功率相等。符號說明符號符號說明時段，取1、2、3、4、5、6、7發電機型號，取1、2、3、4第i時段型號j發電機使用數量第i時段單個型號j的功率發電機在第i時段的工作時間發電機在第i時段的總本錢每天的總本錢型號j發電機的最小輸出功率型號j發電機的固定本錢型號j發電機工作時的每兆瓦邊際本錢每臺型號j的啟動本錢第i時段j型號發電機的總啟動本錢第i時段每小時所需要的功率模型的建立與求解問題〔一〕1.1模型分析該問題是一個分段求解問題，比擬復雜不易求出準確的最優解，故只能近似求出其最優解來。我們把每天分為7個時段，通過求每個時段發電機使用的總本錢來求每天的總本錢，即為各各時段總本錢之和。然后要確定發電機在每個時段所使用的發電機的型號以及所使用的數量和輸出的實際功率，而每個時段的總本錢是由三個局部組成的，分別為：固定本錢、啟動本錢、邊際本錢。據此對每個時段建立模型及其相應的約束條件，又各各時段中假設已經啟動的發電機就不用再啟動，所以無需相應的額外啟動本錢，故第1時段與后6個時段計算情況不同，所以我們要分時段來求各時段的啟動本錢。1.2模型的建立確定目標函數我們確定的目標函數是為了解決電力生產優化問題。在滿足需求量的情況下，為了使每天發電本錢最低，則需要每個時段有最小本錢，所以我們建立如下目標函數為了解決問題，我們進一步研究每個時段的最小本錢，由于本錢由啟動本錢、固定本錢、邊際本錢組成，所以我們經分析可得出第i時段的總本錢為：因為代表第i時段j型號發電機的總啟動本錢，在第1是時段時，開多少發電機，就需要多少次啟動本錢。而從第二次開場，如果比上一時間段開機少，本時段就不需要此啟動本錢；如果開機比上一時段多，則只需要計算多出發電機的啟動本錢。所以，我們最終得出第i時段j型號的啟動本錢公式為：確定約束條件ⅰ.因為代表第i時段型號j發電機使用數量，所以應小于等于本型號發電機總的數量，且為整數，即：〔為整數〕ⅱ.同時由于代表第i時段單個型號j的功率，所以的大小應該介于最小輸出功率與最大輸出功率之間，即：ⅲ.發電機的發電量要滿足電量需求，而代表第i時段每小時所需要的功率，所以每小時發電量要大于等于，即：1.2.3〔必須取整數〕1.3模型的求解.首先，我們分析題目得到，總本錢由啟動本錢、固定本錢、邊際本錢組成。啟動本錢：分析易知，啟動本錢只與本型號發電機的數量有關，與其輸出功率無關。其值為：各型號發電機數量與其各自的啟動本錢之積的求和。固定本錢：因為當發電機接入電網時，其輸出功率不應低于其最小輸出功率，而發電機功率大于等于最小功率時有固定的每小時本錢〔即固定本錢〕，所以固定本錢與其輸出功率大小無關，只與本型號啟動的發電機數量有關。其值為：各型號發電機數量與其固定本錢、工作時間之積的求和。邊際本錢：如果發電機輸出功率高于最小功率，則超出局部的功率每兆瓦每小時還存在一個本錢，即邊際本錢，此局部本錢不僅與發電機數量有關，還與發電機輸出功率有關。其值為：各型號發電機數量乘以工作時間乘以各自邊際本錢乘以超出功率。所以，經過上述分析，我們應用LINGO程序進展編程〔程序見附錄〕計算，最終得出每時段各型號發電機的使用數量及其各自的功率。由各型號發電機使用數量及各自功率可求出各時段內的最小本錢及一天的最小總本錢，具體的數據見表一：表一：問題一求解結果0—66—99—1212—1414—1818—2222—24型號1發電機數量0255110型號1發電機功率--17501750172012001750--型號2發電機數量4444444型號2發電機功率1500150015001500150015001500型號3發電機數量3848886型號3發電機功率2000200012002000200020002000型號4發電機數量0333130型號4發電機功率--21671816180018002083--時段最小本錢17662027040019782018493024554030780085480一天最小總本錢1468590注：表中"--〞表示發電機數量為0時，討論功率沒意義。1.4問題一的結果分析對表一進展深入觀察可知：型號2、型號3發電機使用頻率相當高，且多為滿功率工作，而型號1發電機雖然有10臺，但其使用數量不多，所以建議對型號2、型號3進展定時維修，或增配型號2及型號3發電機數量，可適當減少型號1發電機的數量，以降低本錢。經過對結果數據的再分析、再檢驗，結合網上的調查情況與相關資料，我們的結果確實較為符合實際情況，有較大的參考價值，比擬優越。問題〔二〕2.1模型的討論根據對問題一的分析，我們已經根本理清了計算發電本錢的思路。在本問中，我們只需對問題一加以約束、改良，就可以得出結果。本問所加要求為：在任何時刻，正在工作的發電機組必須留出20%的發電余量，以防止突然上升。我們對此問題進展平安性較高的保守計算：在計算電力需求量時，由于發電機在*些時候可能保存了20%的發電能力，所以此時發電機要按80%的輸出功率計算；而在考慮本錢及限制條件時，又因為發電機在*些時候可能會全力發動，所以此時發電機要按100%的輸出功率計算，而其余的求解思路與問題一一致。2.2模型建立確定目標函數我們確定的目標函數是為了解決電力生產優化問題。在滿足需求量的情況下，為了使每天發電本錢最低，則需要每個時段有最小本錢，所以我們建立如下目標函數為了解決問題，我們進一步研究每個時段的最小本錢，由于本錢由啟動本錢、固定本錢、邊際本錢組成，所以我們經分析可得出第i時段的總本錢為：因為代表第i時段j型號發電機的總啟動本錢，在第1是時段時，開多少發電機，就需要多少次啟動本錢。而從第二次開場，如果比上一時間段開機少，本時段就不需要此啟動本錢；如果開機比上一時段多，則只需要計算多出發電機的啟動本錢。所以，我們最終得出第i時段j型號的啟動本錢公式為：確定約束條件ⅰ.因為代表第i時段型號j發電機使用數量，所以應小于等于本型號發電機總的數量，且必須為整數，即：〔必須為整數〕ⅱ.由于代表第i時段單個型號j的功率，所以的大小應該介于最小輸出功率與最大輸出功率之間。然而，本文中因為發電機可能會保存20%的發電能力，所以，為了平安起見，在發電機以80%的發電能力工作時，其80%的輸出功率也應大于等于最小輸出功率，即：ⅲ.發電機的發電量要滿足電量需求，而代表第i時段每小時所需要的功率，所以每小時發電量要大于等于。然而，本文中因為發電機可能會保存20%的發電能力，所以，為了平安起見，在發電機以80%的發電能力工作時，其每小時發電量也應要大于等于，即：綜上所述，得到問題二的最優化模型〔必須取整數.〕2.3模型的求解本問求解過程與問題一類似，只需注意以下幾點：因為工作的發電機組必須留出20%的發電余量，所以限制條件中的發電量需求條件、輸出功率條件均有所改變，按最新修改的問題二最優化模型，利用LINGO軟件重新編程〔程序見附錄〕計算，最終得出每時段各型號發電機的使用數量及其功率。由各型號發電機使用數量及其功率可求出各時段內的最小本錢及一天的最小總本錢，具體數據見表二。表二：問題二求解結果0—66—99—1212—1414—1818—2222—24型號1發電機數量0678481型號1發電機功率--17501750175017501656937型號2發電機數量4444444型號2發電機功率1250150015001500150015001390型號3發電機數量5848888型號3發電機功率2000200015002000200020002000型號4發電機數量0333110型號4發電機功率--25002333300022502250--時段最小本錢230500360000258870247800317720388820109827一天最小總本錢1913537注：表中"--〞表示發電機數量為0時，討論功率沒意義。2.4模型二的分析對表二進展深入觀察可知：型號2、型號3發電機使用頻率相當高，且多為滿功率工作。所以建議對型號2、型號3進展定時維修，或增配型號2及型號3發電機數量。通過與表一比照分析得：型號1發電機在問題二的前提下使用數量得以提高。本模型中，在計算電力需求量時，由于發電機在*些時候可能保存了20%的發電能力，所以此時發電機要按80%的輸出功率計算；而在考慮本錢及限制條件時，又因為發電機在*些時候可能會全力發動，所以此時發電機要按100%的輸出功率計算。分析易知，這樣分析，平安性大大提高。本模型對題目要求〔發電機保存20%發電能力〕考慮周到，大大提高了模型的平安性，雖然短期內本錢略有所加，但從長遠角度來看，還是大大降低了發電廠的本錢，增加了收益。模型的誤差分析此題主要是一個有關分段求最優解的問題，因此其最終解是一個近似值，存在一定的誤差，前面對于模型的假設可知，發電機自身不消耗功率那是不可能的，其之間由于有摩擦力以及要散熱等都需要消耗功率，另外，發電機輸出過程其功率始終保持不變也是理想情況下才存在的，所以也有一定的誤差，還有在開啟以及關閉發電機時不僅有功率損耗方面的誤差，而且還有時間方面的誤差，這些都會對模型的建立有一定程度上的影響。模型評價1.模型的優點1.1本文采用了最優化的算法。在滿足使用的前提下，運用最優化算法，使每個時間段使用的發電機數量最少以到達提高效率，降低本錢的目的。1.2分七個時間段，每個時間段的計算公式相當類似，計算時只需改變其中的幾個常數及變量范圍即可，簡單方便。1.3本文解答的第二問中，運用了最平安保守的計算體系，提高了本算法的可行性，使之更加符合實際，有較大的調整空間。從長遠角度看，也降低了本錢，增加收益。1.4我們建立的數學模型，求出了第一天內發電機使用方案。通過我們求得各時段各型號發電機使用的數量分析看來，在后來的時間24：00與00：00的交替過程中，只須改變幾臺發電機的開關情況。第二天就可以依然按著前一天的方案方案繼續工作，這樣就構成了一個循環，無論使用方案時間多長都可以實現。1.5本文采用了lingo程序編程。利用lingo程序方便解決線性規劃問題的優點，來得出各時段各型號發電機使用的數量以使其本錢最低。1.6有順序，有步驟地給出優化方案，把復雜的問題簡單明朗化，顯得通俗易懂。2.模型的缺乏2.1本文的算法雖然原理較為簡單，但是運算時間相對而言較長。2.2由于分時段計算，且后一時間段的計算需要依靠前一時間段的計算結果，所以此算法獨立性不強，需要每個時間段的結果必須準確。模型的改良與推廣1、模型的改良：〔1〕建模時沒有考慮發電機啟動機器關閉的時間消耗，假設考慮這些時間消耗將會使費用相應的增加，因此我們可以對該模型啟動以及關閉時間進展縮短；〔2〕所建的模型是針對其輸出功率始終保持不變的，但實際上其在傳送以及散熱等方面都會損耗，因此功率也是不斷變化的，假設考慮這些損耗，將會使計算趨于復雜不易得到近似的最優解，因此應改變發電設施使輸出功率根本保持不變或變化很小。〔3〕由于發電機可能發生故障，所以建議每種型號都備份幾臺，特別是使用頻率高的型號2、型號3發電機。2、模型的推廣：該種分段式求最優解的問題在經濟市場經常出現，如股票的分段漲跌，發電廠電力的配置，銀行不同方式的存利率，以及對不同市場的投資。參考文獻[1]宣明數學建模與數學實驗，**大學2010[2]謝金星優化建模與LINDO/LINGO軟件，清華大學2005[3]宋來忠數學建模與實驗，科學2005附錄問題一程序：!第1時段;model:min=5000**11+2250*6**11+(y11-750)*6*2.7**11+1600**12+1800*6**12+(y12-1000)*6*2.2**12+2400**13+3750*6**13+(y13-1200)*6*1.8**13+1200**14+4800*6**14+(y14-1800)*6*3.8**14;*11*y11+*12*y12+*13*y13+*14*y14>=12000;*11>=0;*11<=10;y11>=750;y11<=1750;*12>=0;*12<=4;y12>=1000;y12<=1500;*13>=0;*13<=8;y13>=1200;y13<=2000;*14>=0;*14<=3;y14>=1800;y14<=3500;gin(*11);gin(*12);gin(*13);gin(*14);end!第2時段;model:min=5000**21+2250*3**21+(y21-750)*3*2.7**21+1600*if(4-*22#ge#0,0,*22-4)+1800*3**22+(y22-1000)*3*2.2**22+2400*if(3-*23#ge#0,0,*23-3)+3750*3**23+(y23-1200)*3*1.8**23+1200**24+4800*3**24+(y24-1800)*3*3.8**24;*21*y21+*22*y22+*23*y23+*24*y24>=32000;*21>=0;*21<=10;y21>=750;y21<=1750;*22>=0;*22<=4;y22>=1000;y22<=1500;*23>=0;*23<=8;y23>=1200;y23<=2000;*24>=0;*24<=3;y24>=1800;y24<=3500;gin(*21);gin(*22);gin(*23);gin(*24);end!第3時段;model:min=5000*if(5-*31#ge#0,0,*31-5)+2250*3**31+(y31-750)*3*2.7**31+1600*if(4-*32#ge#0,0,*32-4)+1800*3**32+(y32-1000)*3*2.2**32+2400*if(8-*33#ge#0,0,*33-8)+3750*3**33+(y33-1200)*3*3.8**33+1200*if(3-*34#ge#0,0,*34-3)+4800*3**34+(y34-1800)*3*3.8**34;*31*y31+*32*y32+*33*y33+*34*y34>=25000;*31>=0;*31<=10;y31>=750;y31<=1750;*32>=0;*32<=4;y32>=1000;y32<=1500;*33>=0;*33<=8;y33>=1200;y33<=2000;*34>=0;*34<=3;y34>=1800;y34<=3500;gin(*31);gin(*32);gin(*33);gin(*34);end!第4時段;model:min=5000*if(5-*41#ge#0,0,*41-5)+2250*2**41+(y41-750)*2*2.7**41+1600*if(4-*42#ge#0,0,*42-4)+1800*2**42+(y42-1000)*2*2.2**42+2400*if(8-*43#ge#0,0,*43-8)+3750*2**43+(y43-1200)*2*1.8**43+1200*if(2-*44#ge#0,0,*44-2)+4800*2**44+(y44-1800)*2*3.8**44;*41*y41+*42*y42+*43*y43+*44*y44>=36000;*41>=0;*41<=10;y41>=750;y41<=1750;*42>=0;*42<=4;y42>=1000;y42<=1500;*43>=0;*43<=8;y43>=1200;y43<=2000;*44>=0;*44<=3;y44>=1800;y44<=3500;gin(*41);gin(*42);gin(*43);gin(*44);end!第5時段;model:min=5000*if(6-*51#ge#0,0,*51-6)+2250*4**51+(y51-750)*4*2.7**51+1600*if(4-*52#ge#0,0,*52-4)+1800*4**52+(y52-1000)*4*2.2**52+2400*if(8-*53#ge#0,0,*53-8)+3750*4**53+(y53-1200)*4*1.8**53+1200*if(3-*54#ge#0,0,*54-3)+4800*4**54+(y54-1800)*4*3.8**54;*51*y51+*52*y52+*53*y53+*54*y54=25000;*51>=0;*51<=10;y51>=750;y51<=1750;*52>=0;*52<=4;y52>=1000;y52<=1500;*53>=0;*53<=8;y53>=1200;y53<=2000;*54>=0;*54<=3;y54>=1800;y54<=3500;gin(*51);gin(*52);gin(*53);gin(*54);end!第6時段;model:min=5000**61+2250*4**61+(y61-750)*4*2.7**61+1600*if(4-*62#ge#0,0,*62-4)+1800*4**62+(y62-1000)*4*2.2**62+2400*if(8-*63#ge#0,0,*63-8)+3750*4**63+(y63-1200)*4*1.8**63+1200*if(3-*64#ge#0,0,*64-3)+4800*4**64+(y64-1800)*4*3.8**64;*61*y61+*62*y62+*63*y63+*64*y64>=30000;*61>=0;*61<=10;y61>=750;y61<=1750;*62>=0;*62<=4;y62>=1000;y62<=1500;*63>=0;*63<=8;y63>=1200;y63<=2000;*64>=0;*64<=3;y64>=1800;y64<=3500;gin(*61);gin(*62);gin(*63);gin(*64);end!第7時段;model:min=5000*if(4-*71#ge#0,0,*71-4)+2250*2**71+(y71-750)*2*2.7**71+1600*if(4-*72#ge#0,0,*72-4)+1800*2**72+(y72-1000)*2*2.2**72+2400*if(8-*73#ge#0,0,*73-8)+3750*2**73+(y73-1200)*2*1.8**73+1200*if(1-*74#ge#0,0,*74-1)+4800*2**74+(y74-1800)*2*3.8**74;*71*y71+*72*y72+*73*y73+*74*y74>=18000;*71>=0;*71<=10;y71>=750;y71<=1750;*72>=0;*72<=4;y72>=1000;y72<=1500;*73>=0;*73<=8;y73>=1200;y73<=2000;*74>=0;*74<=3;y74>=1800;y74<=3500;gin(*71);gin(*72);gin(*73);gin(*74);end問題二程序：!第1時段;model:min=5000**11+2250*6**11+(y11-750)*6*2.7**11+1600**12+1800*6**12+(y12-1000)*6*2.2**12+2400**13+3750*6**13+(y13-1200)*6*1.8**13+1200**14+4800*6**14+(y14-1800)*6*3.8**14;(*11*y11+*12*y12+*13*y13+*14*y14)*0.8=12000;*11>=0;*11<=10;y11>=750/0.8;y11<=1750;*12>=0;*12<=4;y12>=1000/0.8;y12<=1500;*13>=0;*13<=8;y13>=1200/0.8;y13<=2000;*14>=0;*14<=3;y14>=1800/0.8;y14<=3500;gin(*11);gin(*12);gin(*13);gin(*14);end!第2時段;model:min=5000**2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