4.4線性時變系統的能控性及能觀性4.4.1線性時變系統的能控性判據考慮連續時間線性時變系統其中x為n維狀態向量，u為p為輸入；Td為時間t的定義區間；t0為初始時刻，t>t0；A(x)、B(x)分別為n×n,n×p時變矩陣.4.4線性時變系統的能控性及能觀性4.4.1線性時變系統

定理4.4.1線性時變系統在定義時間區間[t0,t1]內，狀態完全能控的充要條件是Gram矩陣非奇異。式中為時變系統狀態轉移矩陣。定理4.4.1線性時變系統在定義時間區間[t0,t1]內推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續可微的，在時間區間[t0,t1]上，若有則系統是狀態完全能控的，其中分塊矩陣,推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續可例4.4.1.(1)

例4.4.1.(1)秩為3，所以系統是完全能控秩為3，所以系統是完全能控推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)在時間區間Td上是n-1次連續可微的,若對初始時刻t0∈Td,存在有限時刻t1∈Td，t1>t0,使得則系統在時刻t0是狀態完全能控的,其中分塊矩陣,推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)在時間區間Td上是例4.1.1.(2)試判斷線性時變連續系統例4.1.1.(2)試判斷線性時變連續系統解：首先計算進而，可以找到，使有解：首先計算進而，可以找到，使有據秩判據可知，系統在時刻完全能控.據秩判據可知，系統在時刻完全能控.4.4.2線性時變系統能觀性的判據定理4.4.2線性時變系統定義在時間區間[t0,t1]內，狀態完全能觀測的充分必要條件是Gram矩陣為非奇異。4.4.2線性時變系統能觀性的判據定理4.4.2線推論(秩判據）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續可微的條件在時間區間[t0,t1]內，又有則系統是狀態完全能觀測的。其中分塊矩陣，推論(秩判據）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續可例4.4.2例4.4.2

其秩等于3，所以系統是狀態完全能觀的。

推論（秩判據）：對連續時間線性時變連續系統，若A(t)、C(t)陣均是n-1階連續可導的函數矩陣，則系統在時刻t0狀態完全能觀的充分條件為存在一個有限時刻使

推論（秩判據）：對連續時間線性時變連續系統，若A(t)、C(例4.4.2.（2）已知線性時變連續系統為

,

分析系統在時的能觀性

解首先計算例4.4.2.（2）已知線性時變連續系統為,于是

可見系統在時刻狀態完全能觀測。

于是可見系統在時刻狀態完全能觀4.5能控性與能觀性的對偶關系4.5.1能控性與能觀性的對偶關系對偶系統4.5能控性與能觀性的對偶關系4.5.1能控性與能觀性的對偶系統結構圖

由圖可見，互為對偶的兩系統輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應矩陣轉置。

對偶系統結構圖由圖可見，互為對偶的兩系統輸入端與輸4.5.2對偶原理系統和是互為對偶的兩個系統，則的能控性等價于的能觀測性；的能觀測性等價于的能控性。或者說，若是狀態完全能控的(完全能觀測的)，則是狀態完全能觀測的(完全能控的)。

4.5.2對偶原理系統系統狀態完全能控的充要條件和系統狀態完全能觀的充要條件相同；系統狀態完全能觀的充要條件與系統完全能觀的充要條件相同。（對偶原理）

系統狀態完全能控的充要條件和系統狀態完全能觀對偶原理在現代控制理論的研究中具有重要意義,其使得系統的狀態觀測及估計等問題和系統的控制問題互相轉化、借鑒,例如,最優估計問題就可借鑒最優控制問題的結論而獲得解決。對偶原理在現代控制理論的研究中具有重要意義,其使得系4.5.3兩個系統的傳遞函數矩陣的關系

4.5.3兩個系統的傳遞函數矩陣的關系4.4線性時變系統的能控性及能觀性4.4.1線性時變系統的能控性判據考慮連續時間線性時變系統其中x為n維狀態向量，u為p為輸入；Td為時間t的定義區間；t0為初始時刻，t>t0；A(x)、B(x)分別為n×n,n×p時變矩陣.4.4線性時變系統的能控性及能觀性4.4.1線性時變系統

定理4.4.1線性時變系統在定義時間區間[t0,t1]內，狀態完全能控的充要條件是Gram矩陣非奇異。式中為時變系統狀態轉移矩陣。定理4.4.1線性時變系統在定義時間區間[t0,t1]內推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續可微的，在時間區間[t0,t1]上，若有則系統是狀態完全能控的，其中分塊矩陣,推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)都是n-1次連續可例4.4.1.(1)

例4.4.1.(1)秩為3，所以系統是完全能控秩為3，所以系統是完全能控推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)在時間區間Td上是n-1次連續可微的,若對初始時刻t0∈Td,存在有限時刻t1∈Td，t1>t0,使得則系統在時刻t0是狀態完全能控的,其中分塊矩陣,推論（秩判據）：假設矩陣A(t)和B(t)在時間區間Td上是例4.1.1.(2)試判斷線性時變連續系統例4.1.1.(2)試判斷線性時變連續系統解：首先計算進而，可以找到，使有解：首先計算進而，可以找到，使有據秩判據可知，系統在時刻完全能控.據秩判據可知，系統在時刻完全能控.4.4.2線性時變系統能觀性的判據定理4.4.2線性時變系統定義在時間區間[t0,t1]內，狀態完全能觀測的充分必要條件是Gram矩陣為非奇異。4.4.2線性時變系統能觀性的判據定理4.4.2線推論(秩判據）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續可微的條件在時間區間[t0,t1]內，又有則系統是狀態完全能觀測的。其中分塊矩陣，推論(秩判據）：如果矩陣A(t)和C(t)滿足n-1次連續可例4.4.2例4.4.2

其秩等于3，所以系統是狀態完全能觀的。

推論（秩判據）：對連續時間線性時變連續系統，若A(t)、C(t)陣均是n-1階連續可導的函數矩陣，則系統在時刻t0狀態完全能觀的充分條件為存在一個有限時刻使

推論（秩判據）：對連續時間線性時變連續系統，若A(t)、C(例4.4.2.（2）已知線性時變連續系統為

,

分析系統在時的能觀性

解首先計算例4.4.2.（2）已知線性時變連續系統為,于是

可見系統在時刻狀態完全能觀測。

于是可見系統在時刻狀態完全能觀4.5能控性與能觀性的對偶關系4.5.1能控性與能觀性的對偶關系對偶系統4.5能控性與能觀性的對偶關系4.5.1能控性與能觀性的對偶系統結構圖

由圖可見，互為對偶的兩系統輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應矩陣轉置。

對偶系統結構圖由圖可見，互為對偶的兩系統輸入端與輸4.5.2對偶原理系統和是互為對偶的兩個系統，則的能控性等價于的能觀測性；的能觀測性等價于的能控性。或者說，若是狀態完全能控的(完全能觀測的)，則是狀態完全能觀測的(完全能控的)。

4.5.2對偶原理系統系統狀態完全能控的充要條件和系統狀態完全能觀的充要條件相同；系統狀態完全能觀的充要條件與系統完