第2章測量誤差分布作者：劉兆平部門：機電設備系主菜單結束2-1第2章測量誤差分布作者通過本章內容的學習，可以讓讀者熟悉誤差分布的基本概念、常見誤差分布特征與處理方法。為學好本課程內容打下重要理論基礎。教學目標主菜單結束2-2通過本章內容的學習，可以讓讀者熟悉誤差分布的基本概念、直方圖的繪制概率密度分布圖誤差分布的特征值常見的誤差分布常用的統計量分布誤差分布的統計檢驗教學重點和難點主菜單結束2-3直方圖的繪制教學重點和難點主菜單結束2-3第一節

測量誤差的統計特性主菜單結束2-4第一節

測量誤差的統計特性主菜單結束2-4一、某鋼球工件直徑重復測量150次的測量點列圖單峰性：數據集中在7.335附近，如不存在系統誤差，其約定真值即為7.335有界性：數據分布在7.085至7.585之間，即可確定誤差分布的大致范圍對稱性：正負誤差的數目大致相同；抵償性：誤差的總和大致趨于零，它是判定隨機誤差最本質的一個統計特征。7.0857.3357.585主菜單結束2-5一、某鋼球工件直徑重復測量150次的測量點列圖單峰性：數據集二、統計直方圖（1）分組數=11，組距=0.05mm；（2）依次定各組的頻數、頻率和頻率密度；（3）以數據為橫坐標，頻率密度為縱坐標，在橫坐標上劃出等分的子區間，劃出各子區間的直方柱，即為所求統計直方圖。77.17.27.37.47.57.60510152025主菜單結束6二、統計直方圖（1）分組數=11，組距=0.05mm；77.

繪制統計直方圖注意事項（1）樣本大小：確定誤差的分布范圍時，取n=50～200確定誤差分布規律時，最好取n=200～1000(２)子區間個數、間距： 當n=50～100時，個數=6～10 當n=100～200時，個數=9～12 當n=200～500時，個數=12～17 當n=500以上時，個數=20可用下列兩個公式之一來計算分組數或間距

或主菜單結束7繪制統計直方圖注意事項（1）樣本大小：(２)子區間個

三、概率密度（分布）圖把各直方柱頂部中點用直線連接起來，便得到一條由許多折線連接起來的曲線。當測量樣本數n無限增加，分組間隔趨于零，圖中直方圖折線變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率（分布）密度曲線，記為。這就是用實驗方法由樣本得到的概率密度分布曲線。77.17.27.37.47.57.60510152025主菜單結束8三、概率密度（分布）圖把各直方柱頂部

概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統計規律。概率密度函數的幾何意義置信區間顯著性水平（又稱顯著度或危險率）置信概率（或置信水平），簡記為符號概率密度的性質有兩個性質主菜單結束9概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統計規律。概率密度函誤差分布的統計方法小結

測量樣本

點列圖

測量樣本

統計直方圖測量總體概率密度函數圖主菜單結束10誤差分布的統計方法小結四、統計分布特征值盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實際使用中更關心代表該誤差分布的若干數字特征量。主菜單結束11四、統計分布特征值盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實際數學期望定義一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統誤差，如果系統誤差可以忽略，則就是被測量的真值三條測量值分布曲線的精密度相同，但正確度不同。數學期望代表了測量的最佳估計值，或相對真值的系統誤差大小主菜單結束12數學期望定義一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真標準偏差二階中心矩，稱為X的標準（偏）差，，的大小表征了隨機誤差的分散程度，即大部分分布在范圍內，可作為隨機誤差的評定尺度定義三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同標準差代表了該測量條件下的測量結果分散性的大小，或是該測量分布的隨機誤差大小主菜單結束13標準偏差二階中心矩，稱為X的標準（偏）差，，的偏態系數定義三階中心矩，將無量綱化，稱為偏態系數，描述了測量總體及其誤差分布的非對稱程度曲線Ⅱ具有正(右)偏態，曲線Ⅰ具有負(左)偏態主菜單結束14偏態系數定義三階中心矩，將無量綱化，稱為偏態系數，峰態系數定義表征了測量總體及其誤差分布的峰凸程度。是將無量綱化，也稱峰度，而是按標準正態分布歸零，即對于正態分布超越系數視為零較尖峭的分布有，較平坦的分布有主菜單結束15峰態系數定義表征了測量總體及其誤差分布的峰協方差定義式中協方差表示了兩變量間的相關程度主菜單結束16協方差定義式中協方差表示了兩變量間的相關程度相關系數定義表示了兩個變量間線性相關的程度越小，X，Y之間線性相關程度越小，取值越大，X，Y之間線性相關程度越大當，X與Y正相關，當，X與Y負相關線性相關正相關負相關線性不相關主菜單結束17相關系數定義表示了兩個變量間線性相關的程度越小，X，數學期望名稱定義方差幾何意義誤差意義偏態系數峰態系數協方差位置特征實際值正確度彌散分散性，精密度不對稱誤差分布不對稱性尖峭誤差分布尖峭程度兩誤差關聯程度統計分布常用的特征值主菜單結束18數學期望名稱定義方差幾何意義誤差意義偏態系數峰態系數協方差位第二節

常見測量誤差分布

本節介紹幾種常見的誤差分布，包括正態分布、均勻分布、三角分布、瑞利分布、反正弦分布、投影分布、分布。

主菜單結束19第二節

常見測量誤差分布本節介紹幾種常見的誤差分布，包括一、正態分布主菜單結束2-20一、正態分布主菜單結束2-20服從正態分布的條件

誤差因素多而小，無一個占優，彼此相互獨立（中心極限定理）。

一般認為，當影響測量的因素在15個以上，且相互獨立，其影響程度相當，可以認為測量值服從正態分布；若要求不高，影響因素則應在5個（至少3個）以上，也可視為正態分布。

主菜單結束21服從正態分布的條件誤差因素多而小，無一個占優，彼此相概率密度函數正態分布的密度函數為測量總體的數學期望，如不計系統誤差，則即為隨機誤差

為測量總體的標準差，也是隨機誤差的標準差

主菜單結束22概率密度函數正態分布的密度函數為測量總體的數學期望，如不（1）單峰性：小誤差出現的概率比大誤差出現的概率大。（2）對稱性：正誤差出現的概率與負誤差出現的概率相等。（3）抵償性：隨測量次數增加，算術平均值趨于零。分布的誤差特性正態分布的這三個特點與誤差大樣本下的統計特性相符。但在理論上，正態分布無界，這也是正態分布與實際誤差有界性不相符之處。

主菜單結束23（1）單峰性：小誤差出現的概率比大誤差出現的概率大。分布的誤正態分布的置信概率

誤差在分布區間的置信概率

式中68.26%95.45%99.73%置信概率正態積分函數，已制成正態積分表

置信因子主菜單結束24正態分布的置信概率誤差在分布區間正態分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5主菜單結束25正態分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.9

(1)經典誤差理論都是建立在正態分布的基礎上。凡是有3、5個以上的、差不多微小的、獨立影響的合成分布都趨近正態分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個事實。正態分布在誤差理論和實踐中的地位(2)許多非正態分布可以用正態分布來表示。(3)正態分布的概率密度函數具有簡單的數學形式和優良的性質。(4)也有不少的誤差分布并不能簡單地用正態分布來描述。因而，現代誤差理論及其實踐需要進一步研究非正態分布的問題。主菜單結束26(1)經典誤差理論都是建立在正態分布的基礎上。凡二、均勻分布若誤差在某一范圍中出現的概率相等，稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布。

概率密度函數

數學期望方差標準方差置信因子

o-aa主菜單結束27二、均勻分布若誤差在某一范圍中出現的概率相等，稱其服從均勻服從均勻分布的可能情形

(1)數據切尾引起的舍入誤差;(2)數字顯示末位的截斷誤差(3)瞄準誤差;(4)數字儀器的量化誤差;(5)齒輪回程所產生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；(6)多中心值不同的正態誤差總和服從均勻分布。主菜單結束28服從均勻分布的可能情形(1)數據切尾引起的舍入誤差;主菜三、三角分布概率密度函數

數學期望標準方差當兩個分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布。主菜單結束29三、三角分布概率密度函數數學期望標準方差當兩個分布范圍相四、反正弦分布概率密度函數

數學期望標準方差a-ao服從反正弦分布的可能情形

度盤偏心引起的測角誤差；正弦（或余弦）振動引起的位移誤差；無線電中失配引起的誤差。主菜單結束30四、反正弦分布概率密度函數數學期望標準方差a-ao服五、瑞利分布概率密度函數

數學期望標準方差服從瑞利分布的可能情形

偏心值在非負值的單向誤差中，由于偏心因素所引起的軸的徑向跳動刻度盤、圓光柵盤的最大分度誤差齒輪和分度盤的最大齒距累積誤差主菜單結束31五、瑞利分布概率密度函數數學期望標準方差服從瑞利分布的可能六、貝塔分布概率密度函數

數學期望標準方差主菜單結束32六、貝塔分布概率密度函數數學期望標準方差主菜單結束32在給定分布界限下通過參數取不同值，貝塔分布可呈對稱分布、非對稱分布、單峰分布、遞增或遞減分布等，可逼近常見的正態、三角、均勻、反正弦、瑞利等各種典型分布。貝塔分布具有可逼近各種實際誤差分布的多態性。貝塔分布在理論上就是有界的。不像正態、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合誤差的基本特性即有界性。

貝塔分布的性質與密度函數圖主菜單結束33在給定分布界限下通過參數取不同值，貝塔分布可呈對稱常見分布的數字特征量名稱正態分布區間半寬度標準差期望等價均勻分布三角分布反正弦分布瑞利分布主菜單結束34常見分布的數字特征量名稱正態分布區間半寬度標準差期望等價均勻第三節常見的統計量分布本節介紹常用的統計量分布，包括t分布F分布，分布。主菜單結束35第三節常見的統計量分布本節介紹常用的統計量分布，包括t分一、

分布定義若為獨立服從同分布的隨機誤差，則稱服從為自由度為的分布。

概率密度函數

數學期望標準方差主菜單結束36一、分布定義若為獨立服從同分布的隨機誤差，二、t分布定義若隨機誤差，隨機誤差，且和相互獨立，則服從的分布稱為自由度為的t分布。

概率密度函數

數學期望標準方差o主菜單結束37二、t分布定義若隨機誤差，隨機誤差，且和相

當自由度足夠大時，t分布趨近于正態分布。t分布在誤差理論和實踐中的應用t分布在研究正態小子樣（測量次數較少時），是一個嚴密而有效的理論分布。正態樣本的算術平均值構成的如下統計量服從自由度為的t分布。其測量算術平均值滿足

t分布的臨界值，滿足主菜單結束38當自由度足夠大時，t分布趨近于正態分布。t分布在誤三、F分布定義若，，則稱服從為自由度為的F分布。

概率密度函數

數學期望標準方差主菜單結束39三、F分布定義若，，則稱服從為自由度為第四節誤差分布的分析與檢驗本節介紹確定誤差分布規律的幾種方法，包括物理來源法，函數關系法以及圖形判斷法。最后介紹有關分布檢驗的知識，包括正態分布統計檢驗（夏皮羅-威爾克檢驗、偏態系數和峰態系數檢驗）和一般分布檢驗（皮爾遜檢驗）。主菜單結束40第四節誤差分布的分析與檢驗本節介紹確定誤差分布規律的幾種一、誤差分布的分析與判斷主菜單結束2-41一、誤差分布的分析與判斷主菜單結束2-41物理來源判斷法根據測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類型

如其測量受到至少有三個以上獨立的、微小而大小相近的因素的影響，則可認為它服從或接近正態分布。測量值在某范圍內各處出現的機會相等，則可認為它服從均勻分布。主菜單結束42物理來源判斷法根據測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類函數關系法

利用隨機變量的函數關系，來判斷誤差屬于何種分布。

若與都在[-a，a]內服從均勻分布，則服從三角分布

若與都服從正態分布，則服從偏心分布(瑞利分布)

若服從均勻分布，則服從反正弦分布主菜單結束43函數關系法利用隨機變量的函數關系，來判斷誤差屬于何種分布。圖形判斷法對重復測量獲得的樣本數據繪出頻率密度直方圖，并與各種常見的概率密度分布曲線相比較，判斷它與何種分布相接近。

主菜單結束44圖形判斷法對重復測量獲得的樣本數據繪出頻率密度直方圖，并與二、誤差分布的統計檢驗主菜單結束2-45二、誤差分布的統計檢驗主菜單結束2-45什么是統計檢驗？

1、概念事先對分布形式作出某種假設然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立2、類型正態分布統計檢驗一般分布檢驗夏皮羅-威爾克檢驗偏態系數檢驗峰態系數檢驗皮爾遜檢驗

主菜單結束46什么是統計檢驗？1、概念事先對分布形式作出某種假設然后利用皮爾遜檢驗()1、提出原假設總體的分布函數未知

某個已知的分布函數

2、計算統計量總體中抽取出一個容量為的樣本把整個數軸分成個區間頻數，樣本的觀察值落在第個區間的個數由計算出總體在各區間內取值的概率主菜單結束47皮爾遜檢驗()1、提出原假設總檢驗(續)3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值。4、作出決策。若，拒絕，則認為。反之，主菜單結束48檢驗(續)3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值

皮爾遜檢驗(分布中含有參數)1、提出原假設總體的分布函數未知

某個已知形式的分布函數，未知參數

2、計算統計量總體中抽取出一個容量為的樣本主菜單結束49皮爾遜檢驗(分布中含有參數)1、提出原假設總體的在下利用樣本給出的極大似然估計把整個數軸分成個區間頻數，樣本的觀察值落在第個區間的個數由計算出總體在各區間內取值的概率3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值。4、作出決策。若，拒絕皮爾遜檢驗(續)主菜單結束50在下利用樣本給出的極大似然估計把整個數軸分成個【例2-1】用阿貝比較儀測量某軸承直徑100次，依次測得，的數據見下所列，的單位0.1。檢驗是否服從正態分布。0-511-1017-3-136471-5-6-313-1-1597-39-83-2-24-30-21-242-5-131-7-10-4-707175100-26386-3-3-10052-804226-11527-1120-1910-1792-514-6-5838-94-5-88-84-13-9-10-102132-46-7主菜單結束51【例2-1】用阿貝比較儀測量某軸承直徑100次，依次測得計算步驟【解】檢驗由于中含有未知參數，故需先進行參數估計。在正態分布下，和的極大似然估計為將取值分成8組，然后計算概率

主菜單結束52計算步驟【解】檢驗由于中含有未知參數，故需先進行參數計算結果頻數70.10710.75-3.751.31150.16016.01-1.010.06130.13313.37-0.370.0890.0989.87-0.870.08100.0989.870.130160.13313.372.630.52210.16016.014.991.5690.10710.75-1.750.281003.82主菜單結束53計算結果頻數70.10710.75-3.751.31150.結論給定顯著性水平，自由度8-2-1=5,由分布表查得臨界值因為所以，接受，故可認為這些測量服從正態分布主菜單結束54結論給定顯著性水平，自由度8-2-1=5,夏皮羅－威爾克檢驗夏皮羅-威爾克檢驗又稱W檢驗時檢驗效果最佳，并且計算簡便。只能用于正態性檢驗主菜單結束55夏皮羅－威爾克檢驗夏皮羅-威爾克檢驗又稱W檢驗W檢驗的實施步驟從總體中抽取出一個容量為的樣本(1)將樣本的觀測值按由小到大排列成為其次序統計量(2)計算檢驗統計量(3)查表。由夏皮羅-威爾克值表查出，為給定的顯著性水平；(4)判斷。若，則拒絕正態性假設主菜單結束56W檢驗的實施步驟從總體中抽取出一個容量為的樣本(1)【例2-2】用夏皮羅-威爾克法檢驗該組數據是否來自正態分布。將某量獨立測得結果按從小到大排列成（n=10）108，109，110，110，110，112，112，116，119，124【解】查夏皮羅-威爾克系數表得出主菜單結束57【例2-2】用夏皮羅-威爾克法檢驗該組數據是否來自正態分布。計算結果計算給定顯著性水平，查表得因為，，故拒絕正態性假設

主菜單結束58計算結果計算給定顯著性水平，查表得因為，偏態系數檢驗(1)給出備擇假設（正偏）或（負偏）

(2)計算檢驗統計量(3)查表。根據顯著性水平和樣本容量，由偏態統計量的分位數表查出(4)判斷。當備擇假設為時，若，則拒絕正態性假設；當備擇假設為時，若，則拒絕正態性假設主菜單結束59偏態系數檢驗(1)給出備擇假設（正偏）或【例2-3】有下列一組測量數據，確定這批數據是否來自正態分布-0.40-1.80-2.140.40-1.400.67-1.40-1.511.40-1.40-1.38-1.401.20-2.14-0.60-2.331.24-0.40-0.32-0.22-1.60-1.40-0.51-0.20-1.40-1.72-1.60-1.20-1.801.20-1.40-0.80-1.72-0.71-1.40-1.20-1.91-0.69-1.60-1.39-2.20-1.40-0.400.40-1.80-1.80-1.600-1.951.20主菜單結束60【例2-3】有下列一組測量數據，確定這批數據是否來自正態分計算結果計算統計量由得因此,選擇備擇假設給定顯著性水平，當n=50時，查表得因為，，故拒絕正態性假設

主菜單結束61計算結果計算統計量由得因此,選擇備擇假設給定顯著性水峰態系數檢驗(1)給出備擇假設（正偏）或（負偏）

(2)計算檢驗統計量(3)查表。根據顯著性水平和樣本容量，由峰態統計量的分位數表查出或(4)判斷。當備擇假設為時，若，則拒絕正態性假設；當備擇假設為時，若，則拒絕正態性假設主菜單結束62峰態系數檢驗(1)給出備擇假設（正偏）或【例2-4】利用某測量儀器進行40次測量，測得與理論值的如下一系列偏差數據,確定這批數據是否來自正態分布0.0380.2400.1240.054-0.061-0.004-0.004-0.0060.0070.0010.0610.0430.0350.163-0.008-0.0100.006-0.008-0.0240.0070.0280.1080.155-0.159-0.0320.003-0.007-0.018-0.008-0.0110.0600.067-0.025-0.096-0.2230.004-0.007-0.007-0.0100.014主菜單結束63【例2-4】利用某測量儀器進行40次測量，測得與理論值的如下計算結果計算統計量由得因此,選擇備擇假設給定顯著性水平，當n=40時，查表得因為，，故拒絕正態性假設

主菜單結束64計算結果計算統計量由得因此,選擇備擇假設給定顯著性水思考與練習題主菜單結束65思考與練習題主菜單結束65第2章測量誤差分布作者：劉兆平部門：機電設備系主菜單結束2-66第2章測量誤差分布作者通過本章內容的學習，可以讓讀者熟悉誤差分布的基本概念、常見誤差分布特征與處理方法。為學好本課程內容打下重要理論基礎。教學目標主菜單結束2-67通過本章內容的學習，可以讓讀者熟悉誤差分布的基本概念、直方圖的繪制概率密度分布圖誤差分布的特征值常見的誤差分布常用的統計量分布誤差分布的統計檢驗教學重點和難點主菜單結束2-68直方圖的繪制教學重點和難點主菜單結束2-3第一節

測量誤差的統計特性主菜單結束2-69第一節

測量誤差的統計特性主菜單結束2-4一、某鋼球工件直徑重復測量150次的測量點列圖單峰性：數據集中在7.335附近，如不存在系統誤差，其約定真值即為7.335有界性：數據分布在7.085至7.585之間，即可確定誤差分布的大致范圍對稱性：正負誤差的數目大致相同；抵償性：誤差的總和大致趨于零，它是判定隨機誤差最本質的一個統計特征。7.0857.3357.585主菜單結束2-70一、某鋼球工件直徑重復測量150次的測量點列圖單峰性：數據集二、統計直方圖（1）分組數=11，組距=0.05mm；（2）依次定各組的頻數、頻率和頻率密度；（3）以數據為橫坐標，頻率密度為縱坐標，在橫坐標上劃出等分的子區間，劃出各子區間的直方柱，即為所求統計直方圖。77.17.27.37.47.57.60510152025主菜單結束71二、統計直方圖（1）分組數=11，組距=0.05mm；77.

繪制統計直方圖注意事項（1）樣本大小：確定誤差的分布范圍時，取n=50～200確定誤差分布規律時，最好取n=200～1000(２)子區間個數、間距： 當n=50～100時，個數=6～10 當n=100～200時，個數=9～12 當n=200～500時，個數=12～17 當n=500以上時，個數=20可用下列兩個公式之一來計算分組數或間距

或主菜單結束72繪制統計直方圖注意事項（1）樣本大小：(２)子區間個

三、概率密度（分布）圖把各直方柱頂部中點用直線連接起來，便得到一條由許多折線連接起來的曲線。當測量樣本數n無限增加，分組間隔趨于零，圖中直方圖折線變成一條光滑的曲線，即測量總體的概率（分布）密度曲線，記為。這就是用實驗方法由樣本得到的概率密度分布曲線。77.17.27.37.47.57.60510152025主菜單結束73三、概率密度（分布）圖把各直方柱頂部

概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統計規律。概率密度函數的幾何意義置信區間顯著性水平（又稱顯著度或危險率）置信概率（或置信水平），簡記為符號概率密度的性質有兩個性質主菜單結束74概率密度曲線完好的描述了隨機誤差的統計規律。概率密度函誤差分布的統計方法小結

測量樣本

點列圖

測量樣本

統計直方圖測量總體概率密度函數圖主菜單結束75誤差分布的統計方法小結四、統計分布特征值盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實際使用中更關心代表該誤差分布的若干數字特征量。主菜單結束76四、統計分布特征值盡管誤差分布反映了該誤差的全貌，但在實際數學期望定義一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統誤差，如果系統誤差可以忽略，則就是被測量的真值三條測量值分布曲線的精密度相同，但正確度不同。數學期望代表了測量的最佳估計值，或相對真值的系統誤差大小主菜單結束77數學期望定義一階原點矩，它表示隨機變量分布的位置特征。它與真標準偏差二階中心矩，稱為X的標準（偏）差，，的大小表征了隨機誤差的分散程度，即大部分分布在范圍內，可作為隨機誤差的評定尺度定義三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同標準差代表了該測量條件下的測量結果分散性的大小，或是該測量分布的隨機誤差大小主菜單結束78標準偏差二階中心矩，稱為X的標準（偏）差，，的偏態系數定義三階中心矩，將無量綱化，稱為偏態系數，描述了測量總體及其誤差分布的非對稱程度曲線Ⅱ具有正(右)偏態，曲線Ⅰ具有負(左)偏態主菜單結束79偏態系數定義三階中心矩，將無量綱化，稱為偏態系數，峰態系數定義表征了測量總體及其誤差分布的峰凸程度。是將無量綱化，也稱峰度，而是按標準正態分布歸零，即對于正態分布超越系數視為零較尖峭的分布有，較平坦的分布有主菜單結束80峰態系數定義表征了測量總體及其誤差分布的峰協方差定義式中協方差表示了兩變量間的相關程度主菜單結束81協方差定義式中協方差表示了兩變量間的相關程度相關系數定義表示了兩個變量間線性相關的程度越小，X，Y之間線性相關程度越小，取值越大，X，Y之間線性相關程度越大當，X與Y正相關，當，X與Y負相關線性相關正相關負相關線性不相關主菜單結束82相關系數定義表示了兩個變量間線性相關的程度越小，X，數學期望名稱定義方差幾何意義誤差意義偏態系數峰態系數協方差位置特征實際值正確度彌散分散性，精密度不對稱誤差分布不對稱性尖峭誤差分布尖峭程度兩誤差關聯程度統計分布常用的特征值主菜單結束83數學期望名稱定義方差幾何意義誤差意義偏態系數峰態系數協方差位第二節

常見測量誤差分布

本節介紹幾種常見的誤差分布，包括正態分布、均勻分布、三角分布、瑞利分布、反正弦分布、投影分布、分布。

主菜單結束84第二節

常見測量誤差分布本節介紹幾種常見的誤差分布，包括一、正態分布主菜單結束2-85一、正態分布主菜單結束2-20服從正態分布的條件

誤差因素多而小，無一個占優，彼此相互獨立（中心極限定理）。

一般認為，當影響測量的因素在15個以上，且相互獨立，其影響程度相當，可以認為測量值服從正態分布；若要求不高，影響因素則應在5個（至少3個）以上，也可視為正態分布。

主菜單結束86服從正態分布的條件誤差因素多而小，無一個占優，彼此相概率密度函數正態分布的密度函數為測量總體的數學期望，如不計系統誤差，則即為隨機誤差

為測量總體的標準差，也是隨機誤差的標準差

主菜單結束87概率密度函數正態分布的密度函數為測量總體的數學期望，如不（1）單峰性：小誤差出現的概率比大誤差出現的概率大。（2）對稱性：正誤差出現的概率與負誤差出現的概率相等。（3）抵償性：隨測量次數增加，算術平均值趨于零。分布的誤差特性正態分布的這三個特點與誤差大樣本下的統計特性相符。但在理論上，正態分布無界，這也是正態分布與實際誤差有界性不相符之處。

主菜單結束88（1）單峰性：小誤差出現的概率比大誤差出現的概率大。分布的誤正態分布的置信概率

誤差在分布區間的置信概率

式中68.26%95.45%99.73%置信概率正態積分函數，已制成正態積分表

置信因子主菜單結束89正態分布的置信概率誤差在分布區間正態分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5主菜單結束90正態分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.9

(1)經典誤差理論都是建立在正態分布的基礎上。凡是有3、5個以上的、差不多微小的、獨立影響的合成分布都趨近正態分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個事實。正態分布在誤差理論和實踐中的地位(2)許多非正態分布可以用正態分布來表示。(3)正態分布的概率密度函數具有簡單的數學形式和優良的性質。(4)也有不少的誤差分布并不能簡單地用正態分布來描述。因而，現代誤差理論及其實踐需要進一步研究非正態分布的問題。主菜單結束91(1)經典誤差理論都是建立在正態分布的基礎上。凡二、均勻分布若誤差在某一范圍中出現的概率相等，稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布。

概率密度函數

數學期望方差標準方差置信因子

o-aa主菜單結束92二、均勻分布若誤差在某一范圍中出現的概率相等，稱其服從均勻服從均勻分布的可能情形

(1)數據切尾引起的舍入誤差;(2)數字顯示末位的截斷誤差(3)瞄準誤差;(4)數字儀器的量化誤差;(5)齒輪回程所產生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；(6)多中心值不同的正態誤差總和服從均勻分布。主菜單結束93服從均勻分布的可能情形(1)數據切尾引起的舍入誤差;主菜三、三角分布概率密度函數

數學期望標準方差當兩個分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布。主菜單結束94三、三角分布概率密度函數數學期望標準方差當兩個分布范圍相四、反正弦分布概率密度函數

數學期望標準方差a-ao服從反正弦分布的可能情形

度盤偏心引起的測角誤差；正弦（或余弦）振動引起的位移誤差；無線電中失配引起的誤差。主菜單結束95四、反正弦分布概率密度函數數學期望標準方差a-ao服五、瑞利分布概率密度函數

數學期望標準方差服從瑞利分布的可能情形

偏心值在非負值的單向誤差中，由于偏心因素所引起的軸的徑向跳動刻度盤、圓光柵盤的最大分度誤差齒輪和分度盤的最大齒距累積誤差主菜單結束96五、瑞利分布概率密度函數數學期望標準方差服從瑞利分布的可能六、貝塔分布概率密度函數

數學期望標準方差主菜單結束97六、貝塔分布概率密度函數數學期望標準方差主菜單結束32在給定分布界限下通過參數取不同值，貝塔分布可呈對稱分布、非對稱分布、單峰分布、遞增或遞減分布等，可逼近常見的正態、三角、均勻、反正弦、瑞利等各種典型分布。貝塔分布具有可逼近各種實際誤差分布的多態性。貝塔分布在理論上就是有界的。不像正態、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合誤差的基本特性即有界性。

貝塔分布的性質與密度函數圖主菜單結束98在給定分布界限下通過參數取不同值，貝塔分布可呈對稱常見分布的數字特征量名稱正態分布區間半寬度標準差期望等價均勻分布三角分布反正弦分布瑞利分布主菜單結束99常見分布的數字特征量名稱正態分布區間半寬度標準差期望等價均勻第三節常見的統計量分布本節介紹常用的統計量分布，包括t分布F分布，分布。主菜單結束100第三節常見的統計量分布本節介紹常用的統計量分布，包括t分一、

分布定義若為獨立服從同分布的隨機誤差，則稱服從為自由度為的分布。

概率密度函數

數學期望標準方差主菜單結束101一、分布定義若為獨立服從同分布的隨機誤差，二、t分布定義若隨機誤差，隨機誤差，且和相互獨立，則服從的分布稱為自由度為的t分布。

概率密度函數

數學期望標準方差o主菜單結束102二、t分布定義若隨機誤差，隨機誤差，且和相

當自由度足夠大時，t分布趨近于正態分布。t分布在誤差理論和實踐中的應用t分布在研究正態小子樣（測量次數較少時），是一個嚴密而有效的理論分布。正態樣本的算術平均值構成的如下統計量服從自由度為的t分布。其測量算術平均值滿足

t分布的臨界值，滿足主菜單結束103當自由度足夠大時，t分布趨近于正態分布。t分布在誤三、F分布定義若，，則稱服從為自由度為的F分布。

概率密度函數

數學期望標準方差主菜單結束104三、F分布定義若，，則稱服從為自由度為第四節誤差分布的分析與檢驗本節介紹確定誤差分布規律的幾種方法，包括物理來源法，函數關系法以及圖形判斷法。最后介紹有關分布檢驗的知識，包括正態分布統計檢驗（夏皮羅-威爾克檢驗、偏態系數和峰態系數檢驗）和一般分布檢驗（皮爾遜檢驗）。主菜單結束105第四節誤差分布的分析與檢驗本節介紹確定誤差分布規律的幾種一、誤差分布的分析與判斷主菜單結束2-106一、誤差分布的分析與判斷主菜單結束2-41物理來源判斷法根據測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類型

如其測量受到至少有三個以上獨立的、微小而大小相近的因素的影響，則可認為它服從或接近正態分布。測量值在某范圍內各處出現的機會相等，則可認為它服從均勻分布。主菜單結束107物理來源判斷法根據測量誤差產生的來源，可以判斷其屬于何種類函數關系法

利用隨機變量的函數關系，來判斷誤差屬于何種分布。

若與都在[-a，a]內服從均勻分布，則服從三角分布

若與都服從正態分布，則服從偏心分布(瑞利分布)

若服從均勻分布，則服從反正弦分布主菜單結束108函數關系法利用隨機變量的函數關系，來判斷誤差屬于何種分布。圖形判斷法對重復測量獲得的樣本數據繪出頻率密度直方圖，并與各種常見的概率密度分布曲線相比較，判斷它與何種分布相接近。

主菜單結束109圖形判斷法對重復測量獲得的樣本數據繪出頻率密度直方圖，并與二、誤差分布的統計檢驗主菜單結束2-110二、誤差分布的統計檢驗主菜單結束2-45什么是統計檢驗？

1、概念事先對分布形式作出某種假設然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立2、類型正態分布統計檢驗一般分布檢驗夏皮羅-威爾克檢驗偏態系數檢驗峰態系數檢驗皮爾遜檢驗

主菜單結束111什么是統計檢驗？1、概念事先對分布形式作出某種假設然后利用皮爾遜檢驗()1、提出原假設總體的分布函數未知

某個已知的分布函數

2、計算統計量總體中抽取出一個容量為的樣本把整個數軸分成個區間頻數，樣本的觀察值落在第個區間的個數由計算出總體在各區間內取值的概率主菜單結束112皮爾遜檢驗()1、提出原假設總檢驗(續)3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值。4、作出決策。若，拒絕，則認為。反之，主菜單結束113檢驗(續)3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值

皮爾遜檢驗(分布中含有參數)1、提出原假設總體的分布函數未知

某個已知形式的分布函數，未知參數

2、計算統計量總體中抽取出一個容量為的樣本主菜單結束114皮爾遜檢驗(分布中含有參數)1、提出原假設總體的在下利用樣本給出的極大似然估計把整個數軸分成個區間頻數，樣本的觀察值落在第個區間的個數由計算出總體在各區間內取值的概率3、在給定顯著性水平下，由分布表查得臨界值。4、作出決策。若，拒絕皮爾遜檢驗(續)主菜單結束115在下利用樣本給出的極大似然估計把整個數軸分成個【例2-1】用阿貝比較儀測量某軸承直徑100次，依次測得，的數據見下所列，的單位0.1。檢驗是否服從正態分布。0-511-1017-3-136471-5-6-313-1-1597-39-83-2-24-30-21-242-5-131-7-10-4-707175100-26386-3-3-10052-804226-11527-1120-1910-1792-514-6-5838-94-5-88-84-13-9-10-102132-46-7主菜單結束116【例2-1】用阿貝比較儀測量某軸承直徑100次，依次測得計算步驟【解】檢驗由于中含有未知參數，故需先進行參數估計。在正態分布下，和的極大似然估計為將取值分成8組，然后計算概率

主菜單結束117計算步驟【解】檢驗由于中含有未知參數，故需先進行參數計算結果頻數70.10710.75-3.751.31150.16016.01-1.010.06130.13313.37-0.370.0890.0989.87-0.870.08100.0989.870.130160.13313.372.630.52210.16016.014.991.5690.10710.75-1.750.281003.82主菜單結束118計算結果頻數70.10710.75-3.751.31150.結論給定顯著性水平，自由度8-2-1=5,由分布表查得臨界值因為所以，接受，故可認為這些測量服從正態分布主菜單結束119結論給定顯著性水平，自由度8-2-1=5,夏皮羅－威爾克檢驗夏皮羅-威爾克檢驗又稱W檢驗