數學選修2-2綜合測試題(答案)一、選擇題1．在復平面內，復數zi(12i)對應的點位于（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限πxdx的值等于（A2．定積分2sin2）2π1π11ππ1A．2B．2C．4D．4422xxa3．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數，a，S(x)2xaxC(x)a，其中a0，且a1，下面正確的運算公式是（Ｄ）2①S(xy)S(x)C(y)②S(xy)S(x)C(y)③C(xy)C(x)C(y)④C(xy)C(x)C(y)

C(x)S(y)；C(x)S(y)；S(x)S(y)；S(x)S(y)；Ａ．①③Ｂ．②④Ｃ．①④Ｄ．①②③④4.已知f(x)2x36x2m(m為常數）在[2,2]上有最大值3，那么此函數在[2,2]上的最小值為（A）A.-37B．-29C．-5D．-115.已知函數f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是(C)A．1a2B．3a6Ca3或a6D．1或a2a6．設P為曲線C：yx22x3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為0，，4則點P橫坐標的取值范圍為（），1B．1，0C．01，D．1，227．設曲線yx1在點(3，2)處的切線與直線axy10垂直，則a（）x1A．2B．1C．122D．2f(x)，則當a08．已知可導函數f(x)(xR)的導函數f'(x)滿足f'(x)時，f(a)和eaf(0)（e是自然對數的底數）大小關系為（A）A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)eaf(0)D．f(a)eaf(0)9.給出以下命題：b0，則f(x)>0；⑵2sinxdx4;⑴若f(x)dx0aaaT⑶已知F(x)f(x)，且F(x)是以T為周期的函數，則f(x)dxf(x)dx；0T其中正確命題的個數為(B)A.1B.2C.3D.010.已知函數f(x)x2bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線的斜率為3，數列1f(n)的前n項和為Sn,則S2011的值為（D）A.2008B.2009C.2010D.20112009201020112012二、填空題11、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數是14。12．若函數f(x)4x在區間(m，2m1)上是單調遞增函數，則實數m的取值范圍是．x21答案：1m≤013．已知f(n)111L1(nN)，用數學歸納法證明f(2n)n時，f(2k1)f(2k)等23n2于．答案：11L1k1k2k122214.15.三、解答題2zzi3i（i為虛數單位）．求z．16、已知復數z滿足z2i解．由已知得2zzi1i，z設zxyi,x,yR代人上式得x2y22xi1ix2y21x1所以，解得22x13y2故z13i2217.（1）求證：(1)a2b23ab3(ab);證明：（1）∵a2 b2 2ab,a2323a,b2323b;將此三式相加得2(a2b23)2ab23a23b,∴a2b23ab3(ab).（2）已知a,b,c均為實數，且ax22y,by22z,cz22x，求證：a,b,c中至少有一個大于0.236證明：（反證法）0，則abc0假設a,b,c都不大于0，即a0,b0,c，因為ax22yπ22zπ22xπ,by,cz62π)3π)(z2π)abc(x22y(y22z2x236(x1)2(y1)2(z1)2π30即abc0，與abc0矛盾，故假設錯誤，原命題成立.18、設函數f(x)x3x23x3a(a0)（12分）3（1）如果a1，點P為曲線yf(x)上一個動點，求以P為切點的切線斜率取得最小值時的切線方程；（2）若x[a,3a]時，f(x)0恒成立，求a的取值范圍。解：（1）設切線斜率為k,則kf'(x)x22x3.當x=1時，k有最小值-4。又f(1)292949x1),即12x3y170。（6分）3,所以切線方程為y3若x[a,3a]時，f(x)0恒成立，則：0a3a30a33aa3f(3a)（1）或f(3)(2)或(3)00f(a)0（1），（2）無解，由（3）解得a6，綜上所述。19．設函數f(x)(e1)x,g(x)ex．（e是自然對數的底數）（Ⅰ）判斷函數 H(x) f(x) g(x)零點的個數，并說明理由；（Ⅱ）設數列an滿足：a1(0,1)，且f(an1)g(an),nN,①求證：0an1；②比較an與(e1)an1的大小．解：（Ⅰ）H(x)(e1)ex令H(x)0,x0ln(e1)當x(,x0)時，H(x)0,H(x)在x(,x0)上是增函數當x(x0,)時，H(x)0,H(x)在x(x0,)上是減函數?????．2分從而H(x)maxH(0)(e1)x01ex0(e1)ln(e1)e2????．4分注意到函數k(t)tlntt1在1,上是增函數，從而k(t)k(1)0,又e11從而H(x0)0綜上可知：H(x)有兩個零點．???????????????????．6分（Ⅱ）因為f(an1)g(an),即(e1)an11ean所以an11(ean1)???????????????????．7分e1①下面用數學歸納法證明 an (0,1)．當n1時，a1(0,1)，不等式成立．假設nk時，ak(0,1)那么a11(eak1)ke1Q1eake0eak1e101(eak1)11即ak1(0,1)這表明n k 1時，不等式成立．所以對n N，an (0,1)②因為(e 1)an1 an ean 1 an考慮函數 p(x) ex 1 x (0 x 1) p(x) ex 1 0從而p(x)在(0,1)上是增函數p(x) p(0) 0所以(e 1)an1 an 0即(e1)an1an20．已知函數 f(x) alnx ax 3(a R)．（Ⅰ）當a 1時，求函數 f(x)的單調區間；（Ⅱ）若函數y f(x)的圖像在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為 45，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t[1,2]，函數g(x)x3x2[mf'(x)]在區間(t,3)上總存在2極值？（Ⅲ）當a2時，設函數h(x)p2e(p2)x3，若在區間[1,e]上至少存在一個xx0，使得h(x0)f(x0)成立，試求實數p的取值范圍．解（Ι）由f'(x)a(1x)(x0)知：x當a1時，函數f(x)的單調增區間是(0,1)，單調減區間是(1,)；（Ⅱ）由f'(x)a1得到a2，故f(x)2lnx2x3,f'(x)222，xg(x)x3x2[mf'(x)]x3(2m)x22x,g'(x)3x2(4m)x222因為g(x)在區間(t,3)上總存在極值，且1t2，所以g'(2)0，解得：g'(3)037m9，故當37m9時，對于任意的t[1,2]，函數33g(x)x3x2[mf'(x)]在區間(t,3)上總存在極值。2（Ⅲ）f(x)2lnx2x3，令F(x)h(x)f(x)p2epx2lnxxx①當p0時，由x[1,e]得到pxp0,2e2lnx0,所以在[1,e]上不存在x0，使x得h(x0)f(x0)成立；②當p0時，F'(x)px22xp2ex[1,e]，所以x2，因為2e2x0,px2p0，F'(x)0在[1,e]上恒成立，故F(x)在[1,e]上單調遞增。F(x)maxF(e)p4pep4e，所以p的pe，由題意可知40，解得p1eee2取植范圍是4e,)。(e2121.已知a0，設函數f(x)alnx2ax2a，g(x)1(x2a)2．（I）求函數h(x)f(x)g(x)的最大值；2（II）若e是自然對數的底數，當ae時，是否存在常數k、b，使得不等式f(x)kxbg(x)對于任意的正實數x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，請說明理由．解：（I）∵h(x)alnx1x2(x0)，??????（2分）2∴h(x)ax(xa)(xa)xx．x(0,a)a(a,)h(x)+0-h(x)極大值∴當xa時，函數h(x)取最大值alnaa；??????（4分）2（II）當ae時，h(x)f(x)g(x)的最大值是0，即f(x)g(x)，當且僅當xe時取等號，??????（6分）函數f(x)和g(x)的圖象在xe處有且僅有一個公共點(e,e)，2∵f(x)ee，函數f(x)的圖象在xe處切線斜率是kfe，2x∵g(x)x2e，函數g(x)的圖象在xe處切線斜率是kge，∴f(x)和g(x)的圖象在xe處有公共切線方程為yex3e，2???