第一屆1.求證(21n+4)/(14n+3)對每個自然數n都是最簡分數。2.設√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，試在以下3種狀況下分別求出x的實數(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。acos2x+bcosx+c=0,a,b,c作出一個關于cos2xa=4,b=2,c=-1時cosxcos2x的方程式。均值。ABAM、MB為底作正AMCD、MBEFP、Q，設這兩個外接M、N，(a.)求證AF、BCN點；〔b.)M如何MNS；(c.)MAB之間變動時，求線斷PQ的中點的軌跡。P、Qp，Ap上給定一點，CQ上給定一點，并且pABCD〔ABCDB、DPQ上。其次屆N：N11整除且N/11N的各位數字的平方和。2.x：4x2/(112x))2<2x+9ABCBC，將它分成n等份〔n為奇數ABCtana=4nh/(an2-a).、BAABC。正方體ABCDA”B”C”D〔上底面ABCD，下底面A”B”C”D。X是對角線意一點，Y是B”D”上任意一點。a. 求XY中點的軌跡；b. 求(a)中軌跡上的、并且還滿足ZY=2XZ的點Z的軌跡。面上。令V1為圓錐的體積，V2為圓柱的體積。(a).V1不等于V2；(b).V1/V2的最小值；并在此狀況下作出圓錐頂角的一般。hX點在對稱軸上并使得角BXCAXDX點并計算XX點確實存在。第三屆、b是常數，解方程組x+y+z=a; x2+y2+z2=b2; xy=z2并求z是互不一樣的正數，a、b應滿足什么條件？.求出等號何時成立。解方程cosnx-sinnx=1,n是一個自然數。PABCBCACABAP/PD,BP/PE,CP/PF22。作三角形ABC使得AC=b,AB=AMB=a,其中M是線斷BC求證這個三角形存在的充要條件是btan(a/2)<=cb.又問上式何時等號成立。A、B、CpABCA、B、Cp的B”,C”，A””,B””,C””AA”,BB”,CC”的中點，A””B””C””A”,B”,C”變化時，O的軌跡是什么？46，假設把最終64被。x√(3-x)-√(x+11/2.ABCDA”B”C”D”〔ABCD、A”B”C”D”分別是上下底x沿著正方ABCDABCDAY以同樣的速度沿著正方形YAB”開頭運動。XY的中點的軌跡。cos2x+cos22x+cos23x=1。形成的四邊形有一個內切圓。一個等腰三角形，設Rr，求證這兩個圓的圓心的距離是√(R(R-2r))。5個這樣的球，則它必定是正四周體。5找出以下方程的全部實數根〔其中p是實參數： 2p)+2√(x2-1)=x.ABCPBCX滿足APXP的軌跡。na1a2an，求證：全部邊長都相等。設y是一個參數，試找出方程組xi+xi+2=yxi+1(i=1,...,5) 的全部解x1,...,x5。求證cospi/7-cos2pi/7+cos3pi/7=1/2.五個同學A、B、C、D、E參與競賽，一種猜測說競賽結果的名次照舊是ABCDEDAECB的挨次。實際上是恰好有兩個同學所得的名次與推想的一樣；而且有兩對同學〔4個不同的同學〕的名次像推想中的一樣是相連。試爭論最終的名次如何？6(a)求全部正整數n使得2n-1能被7整除；(b)求證不存在正整數n2n+1能被7整除。+b-c)<=3abc.ABCa、b、cABC的各邊作三角形中又切出一個小三角形，再在每個這樣的小三角形中作內切圓，求這四個內切圓的面積之和〔a,b,c表示。十七個人相互通信，每一個人都和其他人寫信。在他們的信上一共爭論有三爭論的話題是一樣的。他四點兩兩連接的直線作垂線，試求出全部這些垂線的交點的最大數目。D0A、B、C作DD0的平行線，這些線BCCADABD于點A、B、C0ABCD的三分之一；再問假設D0ABC內的任意一點，結果是否照舊成立？7試找出全部位于區間[0,2pi]的x使其滿足2cosx|1sin2x)-√(1-sin2x)|≤√2.如下方程組的系數aij，a11x1+a12x2+a13x3=0 a21x1+a22x2+a23x3=0 a31x1+a32x2+a33x3=0滿足：a. 是正數，其余是負數；b. 每個方程中的系數之和是正的。求證：該方程組的有唯一的解x1=x2=x3=0。ABCD邊距離的k倍。試求出這兩局部的體積比。2，求出這四個數的全部可能值。MABMOA、OB邊引垂線，垂足分別為P、Q。設三角形OPQ的垂心為，求出當M在AB邊上移動HMOABH的軌跡又是什么？n>2個點，任何兩點之間都有線斷相連，這些線斷長度中的n條。8ABCA的人數比既答對A又至少答對其他一題的人數多1。又在全部恰好答對一題的參AB？BC+AC=tanC/2(BCtanA+ACtan等腰三角形。到各頂點距離之和。4x+...+1/sin2nx=cotx-cot2nx.5. ai〔i=1,2,3,4〕是互不一樣的實數，解方程組〔i=1,2,3,4〕|aia1|x1|aia2|x2+|ai-a3|x3+|ai-a4|x4=1。ABCBC、CA、ABK、L、M，求證三角9AD=1,角BAD=A,ABDacosA3sinA.假設四周體有且僅有一邊大于1，求證其體積≤1/8.(cm+1-ck)(cm+2-ck)...(cm+n-ck)可被乘積整除。任意兩個銳角三角形A0B0C0和A1B1C1。考慮全部與三角形A1B1C1A0B0C0ABC〔BCA0，CA邊包含BAB邊包含C0ABC。5.a1,...,a80的實數，令cn=a1n+a2n+...+a8n(n=1,2,3,...)，cn}0，試求出全部使cn＝0n。6.n天內〔n>1〕m塊獎牌。在第一天，頒發了一塊獎牌以及剩下m-1個中的1/7；在其次天頒發了兩塊獎牌以及剩下的1/7；依此類推。在最終一天即第nn塊獎牌全部頒發完畢。問該運動會共進展了幾天，一共頒發了多少塊獎牌？10兩倍。試找出全部的正整數n，其各位數的乘積等于n210n-22。a,b,c是不全為0的實數。x1,x2,...,xn是滿足下述方程組的未知數： axi2+bxi+c=xi+1,對于i=1,2,...,n-1； axn2+bxn+c=x1；假設設M=(b-1)2-4ac，求證：a. 假設M<0，則方程組無解；b. 假設M=0，則方程組恰有一解；c. 假設M>0，則方程組不止有一個解。形的三邊。fa>0及任何x>01/2+√[f(x-f(x)2]求證f是周期函數，并且當a=1時請給出一個格外值函數的例子。6.對任何自然數n，試計算下式的值[(n+1)/2]+[(n+2)/4]+[(n+4)/8]+... [(n+2k)/2k+1]+...其中[x]表示不超過x的最大整數。第十一屆1.對任意正整數n，求證有無窮多個正整數mn4+m不是質數。2.f(x)=cos(a1+x)+1/2cos(a2+x)+1/4cos(a3+x)+...+1/2n-1cos(an+x),f(x1)=f(x2)=x1-x2是π的整數倍。a>0應滿足的充要條件使得存在一個四周體，k個邊長均為a，其余6-k個邊的長度均為1。、B的一點，DCAB作垂線的K2CDDAK3與DBK1、K2、K3AB外還有一條公切線。n>4(n-3)(n-4)/2個凸四邊形，其頂點都是已給點集中的點。88(x1+x2)(y1+y2)-(z1+ ≤z2)211+x1y1-z12x2y2-z22并給出等號成立的充分必要條件。12BMC的內切圓的半徑，q是AB外旁切圓的半徑〔即與AB邊相切，與CA、CB的延長線上相切的圓q1q2分別是ACBCr1r2qrq1q2。0a>b，xnxn-1...x0是數AaBb進制下的表示，則xn-1xn-2...x0表示了A”ab進制下的表示。求證：A”B<AB”。3.實數a0,a1,a2,滿足1=a0<=a1<=a2<=...，并定義bn=∑(1-ak-1/ak)/√akk1n。a.bn<2；b. 成立。試找出全部的正整數n使得集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5} 兩個子集合，每個子集合的元素的乘積相等。BDCABCABC(ABBCCA)26(AD2BD2CD2).并問何時等號成立？70%是銳角三角形。131.En=(a1-a2)(a1-a3)...(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3)...(a2-an)+...+(an-a1)(an-a2)...(an-an-1).求證En>=0n=35成立，而對于其他自然數n>2不成立。Ai時則P1平移PiP1,P2,...,P9之中至少有兩個具有一共同內點。2n3〔n是正整數的整數構成的集合并滿足任何兩個元素互質。假設∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC，則沒有一條閉路徑XYZTX具有最小值；b. 假設∠DAB+∠BCD＝∠CDA+∠ABC，則有無窮多最短路徑XYZTX，它們的長度是2ACsin(k/2)k=∠BAC+∠CAD+∠DAB。S中的每一個點A，S中的恰好m個點與A的距離為單位長。A(aij),i,j1,2,naiji、jaij=0ij列的元素之和大于或等于n。求證：該方陣中全部元n2/2。14集中的元素之和相等。n>4，求證每一個圓內接四邊形都可以分割成n個圓內接四邊形。m,n是任意非負整數，求證下式是一整數。(2m)!(2n)!(2m)!(2n)!m!n!(m+n)!試找出下述方程組的全部正實數解：(x12-x3x5)(x22-x3x5)<=0(x22-x4x1)(x32-x4x1)<=0(x32-x5x2)(x42-x5x2)<=0(x42-x1x3)(x52-x1x3)<=0(x52-x2x4)(x12-x2x4)<=0f、g都是定義在實數上并取值實數的函數，并且滿足方程f(x+y)+f(x-y)=f0且|f(x)|<=1x同樣有|g(x)|<=1。個平面上。15OP1,OP2,...,OP2n+1是平面上的單位向量其中點P1,P2,...,P2n+1都是位于通過點O的一條直線的同一側，求證: |OP1+...+OP2n+1|>=1.都可以再在M中查找到兩點CABCD是不一樣的并且是相互平行的。a、b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一個實根。試找出a2+b2的最小值。短他應當走什么樣的路徑？G是具有下述形式且格外值的函數的集合：=ax+ba,b,x都是實數。并且G具有這些性質：·f,gG，則fg(x)=f(g(x))G；·fG，則f-1(x)=x/a-b/aG；·fG，存在一個實數xf使得f(xf)=xf成立。求證：存在實數M使得f(M)=MGf都成立。a1,a2,...,anq0<q<1n格實數b1,b2,...,bna.ai<bi，i=1,2,...,n；b.q<bi+1/bi<1/q，i=1,2,...,n-1；c.b1+b2+...+bn<(a1+a2+...+an)(1+q)/(1-q).1620個，其次個玩家有109的籌碼。試問，在第一輪玩耍中哪個玩家收到了中間數量的籌碼？DCDAD、DB的幾何平均值的充要條件是sinAsinB<=sin2(C/2).試證明對任意非負整數n，下式都不能被5整除：k0n，符號C(r,s)表示二項式系數r!/(s!(r-s)!)。8x8象棋盤〔黑白相間〕中的線將其分割成p個不相交的長方形，使得每個長方形內的黑白小方格的數目一樣，并且每個長方形中小方格的數量也都不p〔即求出那些長方形的大小。a,b,c,d是任意實數，判定下式的全部可能值：a/(a+b+d)b/(a+b+c)+c/(b+c+d)d/(a+c+d)。P(x)是一個指數d>0的整系數多項式，nP(X)=1或-1的不同整根的個數，則有n<=d+2.171.x1>=x2>=...>=xn,y1>=y2>=...>=yn都是實數，求證假設z1,z2,...,znyi的任意排列則有∑(xi-yi)2 <=∑(xi-zi)2i1n。a1<a2<a3i>=anan=rai+sajr，sj>i。ABCABR,BCP，CAQCBPCAQ30ABRBAR15度。求證角QRPQR=RP。BA的各位數字之B的各位數字之和。判定并證明能否在單位圓上找到1975個點使得任意兩點間的距離為有理數。找出全部兩個變量的多項式P(x,y)使其滿足：nt、x、yP(tx,ty)=tnP(x,y)成立；x、y、z有P(y+z,x)+P(z+x,y)+P(x+y,z)=0;P(1,0)=1。1816，求另外一個對角線的全部可能的長度。=P1(Pi(x)),i=1,2,3,...n，方程Pn(x)=x的全部根都是互不一樣的實數。2的正方體來盡量裝填，使得每個邊都與箱子的邊平行，則恰能裝滿箱子的40％，求全部這種箱子的可能尺寸〔長、寬、高。1976分解成一些正整數之和，求這些正整數乘積的最大值，并加以證明。n是一個正整數，m=2n，aij=0、1或-1〔1<=i<=n,1<=j<=mmx1,x2,...,xmn個方程：+ai2x2+...+aimxm=0,i=1,2,...,n。〔x1,x2,...,xm〕使得|xi|<=m。6.u0,u1,u2,...u0=2,u1=5/2,un+1=un(un-12-2)-u1，n=1,2,...求證[un]=2(2n-(-1)n)/3,其中[x]表示不大于x的最大整數。19點構成一個正十二邊形的定點。為正。求出這種序列最多有幾項。1+knk是正整數，VnVnpqm是不行〔〕f(x)=1-acosx-bsinx-Acos2x-Bsin2xa,b,A,B都是實數常量。f(x)>=0x都成立，a2+b2<=2且A2+B2<=1.a,b是正整數，設a2+b2a+bq，余數是r。試求出全部的正整數對〔a,b〕q2+r=1977。f(n+1)>f(f(n))對全部nf(n)=nn都成立。20mn都是正整數且n>m1978m1978n的十進制表示法的末三位數字一樣m+nmn。P是某球內部一點，A、B、C是球面上三點，且有PA、PB、PC相互垂直，由PAPBPC打算的平行六面體與P點對角相向的頂點為Q點的軌跡。3.兩不交集合{f(1),f(2),f(3),...}和{g(1),g(2),g(3),...}的并集是全部的正整數，其中f(1)<f(2)<f(3)g(1)<g(2)<g(3)<...,且有g(n)=f(f(n))+1對全部n=1,2,3,...f(240)。個小圓，該小圓又分別與AB、AC相切于P、Q兩點。求證：線段PQ的中點恰為ABC內切圓的圓心。{ak}n，有∑ak/k2>= ∑1/k；k1n。19781,2,...,1978。同國家的兩外一名會員編號的兩倍。其次十一屆1.m,n是滿足下述條件的正整數:m/n=1-1/2+1/3-1/4+...-1/1318+1/1319.m1979整除。A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5。這兩個正五邊形的每條邊以及每個AiBj邊都被染上紅色或藍色。又每個邊都被著色〔其頂點即這個棱柱的頂點〕必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。平面上的兩個圓相交，AA動身各自以恒兩點又同時回到了AP使得在任意P點都與這兩動點的距離相等。PQk上的全部R使得(QP+PR)/QR為最大值。ax1,x2,x3,x4,x5滿足以下關系式：x1+2x2+3x3+4x4+5x5=a；x1+23x2+33x3+43x4+53x5=a2；x125x235x345x455x5a3。令A、E是一個正八邊形的兩相對頂點，一只青蛙從A點開頭跳動，除了E點E點時就停頓運動。設an為恰好經過nE點的全部可能線路的個數，求證：a2n-1=0 a2n(2√2)n-1/√2-(2√2)n-1/√2。22D、E、FPBC、CA、AB所引垂線的垂足。試找出BC/PD+CA/PE+AB/PFP點。r1<=r<=n，并考慮集合{1,2,...,n}r元子集，每個子集都有一3.設mn是屬于{1,2,...,1981}的整數并且滿足(n2-mn-m2)2=1m2+n2的最大值。n>2，問nn個連續的正整數構成的集合使得其中的最大元n-1個元素最小公倍數的因子？n為何值時，恰好值存在一個滿足條件的集合？O的等半徑的圓位于一個給定三角形的內部，并且每個圓都相切于這個三角形的兩條邊。求證：這個三角形的內心、外心、O點三點共線。6.函數f(x,yx,y都滿足f(0,y)=y+1,f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,y+1)=f(4,1981)的值。23f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=m,nf(m+n)-f(m)-f(n)=0或1f(1982)。a1,a2,a3ai是角AiMiai的中點，Ti是三角形的內切圓在邊aiSiTi關于內角AiM1S1,M2S2M3S3共點。考慮無限正實數序列{xn}滿足x0=1及x0>=x1>=x2>=...，n>=1使得x02/x1+x12/x2+...+xn-12/xn>=3.999.試查找一個這樣的序列使其滿足x02/x1+x12/x2+...+xn-12/xn<4 對n成立。-+y3=nx,y的一個解，則其至n=2891時再證明這個方程無整數解。ABCDEFACCEMN并且AM/AC=CN/CEB、M、Nr的值。S100的正方形，LSA0A1,A1A2,A0與AnSP，LP1/2Y的距1LXY198。24ff(x(f(y))yf(x)對全部x,y成立，并且當x趨向于無窮大時f(x)0.C1、C2O1、O2A是其中一個交點。這兩個圓的一條公切線切C1C2P1、P2，另外一條公切線分M1、M2P1Q1P2Q2的中點，求證：O1AO2=角M1AM2。a,b,c12abc-ab-bc-caxbc+yca+zabx,y,z是非負整數。AB，設集合E是該三角形的全部邊界點〔即邊AB,BC,CE分拆成兩個不相交的子集合〔，試證明這兩個集合中的至少一個包含有三點構成始終角三角形。個不同的正整數，任何三個都不構成一等茶數列。a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)>=0.并推斷何時等號成立。25求證0<=yz+zx+xy-2xyz<=7/27,x,y，zx+y+z=1.〔a,b〕ab(a+b)7整除,(a+b)7a7b7可77整除。給定平面上的點O、A。平面上的每個點都被染色成有限種顏色中的一個。設XOC(X)OX+(∠AOX)/OX，其中角AOX〔即范圍是[0,2OAXC(X)的圓周上。AB為直徑的圓相切，求證：ABCD為直徑BCAD是平行的。dn邊形〔n>3〕的全部對角線的長度之和，p是它的周長。求證:n-3<2d/p<[n/2][(n+1)/2]-2,其中[x]表示不超過x的最大整數。ad=bc.a+d=2k及b+c=2mkm成立,a=1.26ABADBC=AB.設k<nM={1,2,3,...,n-1}中的每個數都染成藍ki其顏色又與|i-k|的顏色一樣。求證：M中全部數的顏色都一樣。P(x)a0a1xakxk是整系數多項式，設其中系數為奇數的個數為o(P)。i=0,1,2,...，記Qi(x)=(1+x)i。0<=i1<i2<...<ino(Qi1+Qi2+...+Qin)>=o(Qi1).集合M由1985個不同的正整數組成，且每個數都有一個大于23的素因子，求M44次方。ABCACAB,BC分別交于不同K、NABCKBN的外接圓相交于兩個不同的點B、MOMB是直角。x1xn+1xn(xn1/n)構造序列x1,x2,...，x1n都有0<xn<xn+1<1成立。27d2,5,13的正整數，試證明可以在集合{2,5,13,d}a,bab-1不是一個完全平方數。P0s>=4時定義As=As-3，P2,P3,...Pk+1是Pk繞Ak+1順時針旋轉120度得到的點〔k=0,1,2,..。假設P1986=P0A1A2A3是等邊三角形。5x,y,zy<0則執行下述操作：將x,y,z分y5個頂點數中至少有一個是負值。試問能否經過有限步之后操作完畢。A,BXYZOAB重合，現用如下的方式移動三角形XYZ：保持Y、Z始終在多邊形的邊界上、X在多邊形的內部。試求出當Y、ZX點所形成的軌跡。試找出全部定義在非負實數并取值也是非負實數的函數f(2)=0<=x<2f(x)0x,yf(xf(y))f(y)=f(x+y)。成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標軸〔兩個坐標軸中的任何一個〕的直線L1？28pn(k)是集合{1,2,3,n}k個固定點的排列的個數，求證k從0)的求和是n!。[SS到它自身的一一映i稱為是f固定點假設f(i)=i。]ABCABC于L，交ABC的外接圓于N，從L點向AB,AC做垂線，垂足分別是K、MAKNM的面積與三角形ABC的面積相等。3.x1,x2,...,xn是實數并且滿足x12+x22+...+xn2=1k>=2及+anxn|<=(k1)√n/(kn-1)。求證不存在從非負整數到非負整數的函數fn有f(f(n))=n+1987成立。n個點構成的集合滿足任何兩點的距離都是無理數并且任何三點構成一個面積為有理數的非退化的三角形。n20<=k<=√n/3k2+k+n0<=k<=n-2時，k2+k+n都是素數。29R>rP點是小圓上一個固定的點，BP點作BPA〔假設相切A=，AB2+BC2+CA2的全部可能值；試確定BC中點的軌跡。n是正整數，A1,A2,...,A2n+1B的子集，假設Ai2n個元素；任何兩個不同的Ai恰有一個公共元素；nB中01使得每個Ain0的元素。f定義在正整數集上：f(1)=1;f(3)=3;且對每個正整數n有f(2n)=f(n),-f(n)1988并滿足f(n)=n的正整數n的個數。4.試證明滿足1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+...+70/(x-70)>=5/4.的全部實數x的集合是一些互不相交的區間的并集，并且這些區間的長度之和是1988。邊上的高的垂足。三角形△ABD、三角AB,ACK,LABC的面積是三AKL的面積的至少兩倍。a,b都是正整數，且ab+1a2+b2.求證(a2+b2)/(ab+1)是完全平方數。30117A1,A2,...,A117〔即這些子集合互不相交且并集為整個集合Ai17個元素，并且每個Ai之和都相等。銳角△ABC，內角∠A的角平分線交△ABCA_1B1,C1AA1與∠B,∠CA0B0,C0點。的兩倍也是△ABC4倍。nS中PS中的kP等距離。求證：k<1/2+√2n。ABCDAB,AD,BCAB=AD+BCCDhPAP=h+AD，BP=h+BC，求證：1/√h<=1/√AD+1/√BC。試證明對每個正整數n，存在n個連續的正整數使得其中無素數或素數的冪。是{1,2,...,2n}n|xi-xi+1|=ni成立就說這個排列{x1,x2,...,xm}P。試證nP的排列都比不具有的多。第三十一屆。n>=32n-1E。現給Ek個點染〔兩段弧中的某一個〕包n個點，就成這樣的染色方法是“好的”E能保證“好的”k值。試找出全部大于1的正整數n滿足(2n+1)/n2也是整數。f使f(xf(y))=f(x)/yx,y都成立。n0>1，兩個玩家A,Bn1,n2,n3,...：設B已選擇n2k，則A選擇n2k+1滿足 n2k<=n2k+1<=n2k2；n2k+2滿足n2k+1/n2k+2=prp及r>=1成立。假設A1990B1就獲勝。分別求除滿足下n0：(1)A有必勝策略；B有必勝策略；A,B都沒有必勝策略。定。32的內心，∠A,∠B,∠CA”,B”,C”點，求證:11AI·BI·CI8< ≤4 AA”·BB”·CC” 27設n>6a1,a2,...,ak都是小于n的正整數并且與n互素。假設a2-a1=a3-a2=...=ak-ak-1>,求證，n2的冪次方。nSn5個兩兩互素的數。1,2,...,k使得對于每個屬于兩條或兩條以上的邊的頂點，從這個頂點動身的全部邊的標號的最大公約數〔稱為邊對頂點之間最多有1條邊。假設對圖中的任何兩個不同的頂點x,y都有一些頂點vm=yvi,vi+1(0<=i<m)之間都有一條邊，則稱這個圖是連通的。X是△ABC內部中的一個點，試證明∠XAB,∠XBC,∠XCA中至少有一個不大30o。x0,x1,x2,...是有界的假設存在一個常C使得|xi|<Ci成立。33a,b,c1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)abc-1的因子。找出全部定義在實數上并且取值也是實數的函數f使得對全部x,y都有f(x2+f(y))=y+f(x)2。94色的線段，試找出最小的n使得，只要恰好有n條線段被染色，這些染色的線段確定包含一個同色三角形〔即三角形的三邊被染上一樣的顏色。LΓ的一條切線，ML上的一點，試找出全部這樣的點P的軌跡：存在LMQ,R，△PQRΓ。Sx,Sy,SzSyz,zx,xy上|S|2<=|Sx|·|Sy|·|Sz|。其中|A|A的元素個數。[注：一個點到一個平面上正交投影指的是該點到平面作垂線的垂足。]n，S(n)k<=S(n)，n2都可k個完全平方數的和。· n>=4S(n)<=n2-14；b.nS(n)=n2-14；nS(n)=n2-14。34n>1f(x)不能表示成兩個格外數的整系數得多項式的乘積。設D 是銳角三角形ABC 內部一點且∠ADB=∠ACB+90o，AC·BD=AD·BC，計算(AB·CD)/(AC·BD)；ACD,△BCDC處的切線相互垂直。n×n的框上整n2個棋子〔每個小方格上放著一個棋子，玩耍的每一步都是在水平或n值使得玩耍以只留一個棋子在棋盤上而完畢。線當然有m(PQR)=0)。求證對任何點A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。ff(1)=2,f(f(n))=f(n)+nn，f(n<f(n+1))？Ln+kLk。一盞燈只有開或關兩個狀態，初始時刻它們全是開著的，依次執行步驟s0,s1,...,：在步驟siLi-1Li，否則什么都不做。試證明：M(n)M(n)步之后全部的燈都開著；M(n)=n2-1；M(n)=n2-n+1。35是{1,2,...,n}ai+aj≤n〔i,j可〕kai+aj=ak，求證(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。BC的中點，OAMOB⊥BCB,C的任意一點，E,FAB,ACE,Q,F不同并共線。QE=QF。mkf(k)=m；并求出訪得km值。(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整數。S-1的實數集，試找出全部的從S到S的函數f滿足對全部并且對于-1<x<00<x，f(x)/x使嚴格遞增的。A：對任何由素數構成的無限集S，都有36屆A,B,C,DAC,BD為直徑的兩個圓相XYBCZPXYZCP與以ACC,MBPBDB,N。求證：AM,DN,XY三線共點。a,b,cabc=1，試證：11113+ + ≥a3(b+c) b3(c+a) c3(a+b) 2nA1,A2，...,An〔無三點共線〕nr1,r2,...,rnAiAjAkri+rj+rk1≤i<j<k≤n。4.正實數序列x0,x1,...,x1995滿足條件x0=x1995且對于i=1,2,...,1995有xi-1+2/xi-1=2xi+1/xi.試求出全部滿足上述條件的數列中x0的最大值。設G,HAGB=DHE=120o，求證AG+GB+GH+DH+HE≥CF。pAA中元素p整除。37AB=20,BC=1220×12個格子狀的單位小方格，r為一給定的正整數，一個銅幣在此板上每移動一次的規章格的中點間的距離為√rA的小方格內的銅幣經過假設干次B的小方格內。r23的倍數時，此目標無法達成；r=73時，此目標可以達成；r=97時，問此目標能否達成？P為△ABC內一點且∠APB∠ACB=∠APC-∠ABD,E分別是∠APB∠APCAP,BD,CE三線共點。S={0,1,2,3,...}為全部非負整數所成的集合，試找出全部由S對應到S本身的函數f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)。16a-15b都是完全平方數，試求出最小的可表示成這兩個完全平方數之一的可能值。ABCDEFAB平行于EBC平行于FCD平行于AF。令分別表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圓的半徑，并以p證：RA+RC+RE≥p/2。n,p,qn>p+qx0,x1,xn都是整數，x0=xn=01≤i≤n，qi<j且(i,j)≠(0,n)xi=xj。38涂上黑白相間的兩種顏色〔像棋盤一樣mn，考慮一個直角三角形其頂點具有整數坐標，兩腰長分別為mn，且其兩腰都在這些正方格f(m,n)=|S1-S2|，f(m,n)；f(m,n)≤max(m,n)/2m,n都成立；Cf(m,n)。設∠A是△ABC中最小的內角。BC將此三角形的外接圓分成兩個弧。U為AB,ACAU于是正實數滿足|x1+x2+...xn|=1i有|xi|≤(n+1)/2。試證明存在y1,y2,...,yn滿足|y1+2y2+...+nyn|≤(n+1)/2。陣稱為一個n階“銀矩陣”，假設它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且對于每一個i=1,2，...,n，它的第i列與第i行中的全部元素合起來恰好是S中的全部元素。求證：o a.不存在n=1997階的銀矩陣；o 存在n階銀矩陣。(a,b)滿足b2b2aa=b對每個正整數n，將n表示成2的非負整數次方之和，令f(n)為正整數n不同，這兩個表示法就被視為是一樣的。例如，f(4)=44恰有以下四種不同2+2;2+1+1;1+1+1+1n≥3，n2/4n2/4n2/22 <f(2n)< 239AB,DC不平行，ABDC的P點，PABCD的內部。求證ABCD是圓內接四邊形當且僅ABP、CDP的面積相等。個裁判，b≥3是一個奇數。每個裁判可以給參賽k/a≥(b-1)/2b.〔1,n〕的個數。試求出全部正整kn滿足d(n2)=kd(n).(a,b)ab2+b+7a2b+a+b。I是三角形ABC的內心，三角形ABCBC,CA,AB上的切點分K,L,MBMKLM,LKR,SRIS是銳交三角形。stf(t2f(s))=sf(t)2的最小的可能值。40試找出全部這樣的有限集S：S至少包括平面上的3個點；對任何兩個S中不同S的一個對稱軸。n2是一個給定的整數，是找出最小的常量Cx1,...,xn如下不等式成立：∑i<jxixj(xi2xj2)Cxi)4。并推斷何時等號成立。Γ1,Γ2M,N，Γ1Γ2的圓心。Γ1,Γ2的公共ΓA,BMA,MBΓ1E,F。求證：EFΓ2相切。f:R→R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1x,y∈R都R表示實數集。41Γ2MNlΓ1Γ2M較lΓ1AΓ2BMlΓ1CΓ2DCADB相交于ANCDPB