期中復習講義（北師大版）2020-2021學年北師大數學五年級下冊期中章節復習精編講義第二單元《長方體（一）》知識點一：長方體的認識1長方體和正方體的各部分名稱：在長方體或正方體中，圍成的長方形或正方形叫作長方體或正方體的面；面和面相交的邊叫作棱；棱和棱相交的點叫作頂點。2長方體和正方體的特征3長方體和正方體的異同點4長方體和正方體的關系：正方體可以看成是長、寬、高都相等的特殊的長方體5長方體和正方體特征的應用：判斷所給圖形能否組成長方體，可以根據長方體的特征一組一組地進行尋找，看看能否找到3組相對應的面。知識點二：展開與折疊1正方體展開圖的特點（1）沿著正方體的棱剪開，可以把正方體展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是正方體的展開圖。在展開圖中，正方體的6個面是相連的，相對的面完全隔開。（2）將展開圖沿虛線（折痕）向內折，能重新折疊成正方體。（3）正方體的展開圖是由6個大小、形狀完全相同的正方形組成的組合圖形。（4）正方體的展開圖，可分四個類型“一四一”型：中間四個正方形相連，兩側各一個“二三一”型：中間三個正方形相連，兩側分別是兩個和一個“二二二”型：中間兩個正方形相連，兩側各兩個“三三”型：兩側各三個2長方體展開圖的特點：長方體相對的面大小、形狀完全相同，并且相對的面完全隔開；長方體上、下兩個面的面積相等，長和寬分別是長方體的長和寬；前、后兩個面的面積相等，長和寬分別是長方體的長和高；左、右兩個面的面積相等，長和寬分別是長方體的寬和高。3長方體和正方體與展開圖之間的對應關系（1）長方體和正方體的每一個面都與其他四個面相鄰，但只有一個相對的面，所以只要找到一組相對的面，也就同時確定了它們與其他四個面的相鄰關系，從而能夠通過想象把展開圖還原成立體圖形。（2）判斷一個圖形折疊后相對應的面，可以根據長方體、正方體展開圖的特點，先確定一個面為下面，再想象折疊的過程，從而找出相對的面，也可以用實物折一折，直觀地找一找。知識點三：長方體的表面積1長方體表面積的計算方法：2正方體表面積的計算方法：知識點四：露在外面的面1正方體組合體露在外面的面積的計算方法：計算堆放在墻角的小正方體露在外面的面積時，要先數出露在外面的面的總個數，再用一個面的面積乘以露在外面的面的總個數。2堆放在一起的正方體露在外面的面的個數：數堆放在一起的小正方體露在外面的面的個數時，要先觀察小正方體的擺放特點，再從中找出露在外面的面的個數間存在的規律。能力達標百分訓練一、精挑細選（共5題；每題3分，共15分）1用一根長（）cm的鐵絲正好圍成長6cm、寬5cm、高2cm的長方體框架。A262兩個正方體拼成一個長方體，其表面積與原來兩個正方體表面積之和相比是：A增加了B減少了C不變3下圖（）是下面正方體的展開圖。B117C52D60D無法確定ABCD4下面每個圖片都是由6個大小相同的正方形組成的，其中不能折成正方體的是（）。ABCD5把長方體的長、寬、高都擴大3倍，長方體的表面積擴大（）倍。A3B6C9二、判斷正誤（共5題；每題2分，共10分）6至少用8個同樣的小正方體，才能拼成一個較大的正方體。（）D27的正方體，表面涂滿了紅，現將這個大正方體切成了27個邊長為1cm的小正方體。其中三個面涂紅的小正方體有8個，一個面涂紅的小正方體也有8個。（）8如果長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍，則它的表面積擴大到原來的4倍。（）9至少要用4個棱長1厘米的小正方體才可以拼成一個較大的正方體。（）10一個正方體的棱長擴大到原來的2倍，表面積就擴大到原來4倍。（）三、仔細想，認真填（共10題；每空1分，共15分）11一個無蓋長方體紙盒，長、寬、高分別是3分米、4分米、5分米。這個紙盒的表面積是________平方分米。12如圖，如果每個小方塊的棱長是1米，則這堆小方塊露在外面的面積是________米2。13用鐵絲焊接成一個長10厘米，寬8厘米，高4厘米的長方體框架，至少需要鐵絲________厘米。14把一個長10分米，寬8分米，高6分米的長方體截成兩個同樣的長方體，則表面積最多增加________分米2。長的長方體木料，橫截面是一個正方形，如果把這根木料截去80cm，那么表面積減少320cm2，原來這根木料的表面積是________cm2，體積是________cm3。16（如圖）6個棱長都是10cm的正方體紙箱堆放在墻角處，露出________個面，露在外面的面積是________平方厘米。17如圖，用棱長1cm的小正方體拼成棱長3cm的大正方體，把大正方體的表面涂上顏，三面涂的小正方體有________塊，兩面涂小正方體有________塊。18把一個長10厘米，寬8厘米，高5厘米的大長方體切成兩個小長方體，這兩個小長方體表面積的和最多增加________平方厘米。19一個正方體的底面周長是40厘米，如果把它的高增加3厘米，則表面積比原來增加________平方厘米。20把一個棱長8厘米的正方體表面積涂上紅，再切成棱長2厘米的小正方體，其中兩面涂的有________個，一面涂的有________個，一面都不涂的有________個。四、綜合提升（共2題；共12分）215分一些棱長為4厘米的小正方體如圖堆放在墻角處。（1）這個物體露在外面的面有________個。（2）所有露在外面的面的面積是________平方厘米。227分用若干個棱長為2厘米的小正方體可以拼成長方體：按這種方式繼續擺下去：（1）第1個長方體的表面積是________平方厘米。（2）第9個長方體由________個小正方體拼成，它的表面積是________平方厘米。（3）如果擺成的長方體的表面積是280平方厘米，這個長方體排在第________個。（4）第n個長方體的表面積是________平方厘米。（用含有字母的式子表示）五、計算能手（共1題；共6分）236分計算下面長方體的體積和正方體的表面積。（1）（2）六、解答問題（共7題；共42分）2410分下面是一個正方體的不同展開圖。（1）請用相同的數字標出相對的面。（2）如果圖①，那么這個正方體的表面積是多少？255分有一個正方體木塊,把它分成兩個長方體木塊后,表面積增加了24cm2,這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米265分一根長2米的通風管，橫截面是長為1分米，寬為6厘米的長方形，制作10根這樣的通風管至少需要鐵皮多少平方分米275分5個棱長都是10cm的正方體紙箱堆放在墻角處（如下圖）。露在外面的面積是多少平方厘米？285分兩個相同的正方體木塊，拼成一個長方體，棱長之和減少了24cm，這兩個正方體木塊原來棱長總和是多少？296分把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的面積之和少多少平方厘米？306分如圖，一個棱長為5的正方體，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一個底面是1的正方形，高為2的長方體洞，求挖后此形體的表面積是多少？一、精挑細選1C解：（652）×4=13×4=52（cm）所以用一根長52cm的鐵絲正好圍成長6cm、寬5cm、高2cm的長方體框架。故答案為：C。【分析】長方體的棱長之和=（長寬高）×4，本題代入數值計算即可得出答案。2B解：兩個正方體拼成一個長方體，其表面積與原來兩個正方體表面積之和相比是減少了。故答案為：B。【分析】兩個正方體拼成一個長方體，其表面積會比原來兩個正方體表面積之和少了兩個正方形的面。3CA：彩正方形和圓點是相對面，不是這個正方體展開圖；B：彩正方形和圓點是相對面，不是這個正方體展開圖；C：彩正方形和圓點是相鄰面，是這個正方體的展開圖；D：有4個彩正方形與圓點是相鄰面，不是這個正方體的展開圖。故答案為：C。【分析】觀察原圖，有一個正方形面與圓點的面是相鄰的，根據每項中的圖形選擇展開圖即可。4C解：其中不能折成正方體的是C。故答案為：C。【分析】正方體的表面展開圖要熟記并且認真觀察，可得C折疊后有2面重合，少一個表面。5C解：長方體的表面積：（長×寬長×高寬×高）×2；長方體的長、寬、高都擴大3倍后的表面積：（長×3×寬×3長×3×高×3寬×3×高×3）×2；=（長×寬×9長×高×9寬×高×9）×2；=（長×寬長×高寬×高）×9×2；和原表面積相比，表面積擴大9倍。故答案為：C。【分析】長方體的長、寬、高都擴大3倍，長方體的表面積擴大3×3倍，體積擴大3×3×3倍。二、判斷正誤6正確解：至少用8個同樣的小正方體，才能拼成一個較大的正方體，說法正確。故答案為：正確。【分析】用小正方體拼大正方體，大正方體棱長上小正方體的個數為2、3、4、……，小正方體的個數為：2×2×2、3×3×3、4×4×4、……。7錯誤一個棱長為3cm的正方體，表面涂滿了紅，現將這個大正方體切成了27個邊長為1cm的小正方體。其中三個面涂紅的小正方體有8個，一個面涂紅的小正方體有6個，原題說法錯誤。故答案為：錯誤。【分析】此題主要考查了立體圖形的切拼，根據切割特點，只有在頂點上的小正方體才有三個面露在外面，所以三面涂紅的小正方體處在8個頂點上，三面涂紅的小正方體有8個，兩個面涂有紅的有12個，一個面涂有紅的有6個，六個面都沒涂的有1個，據此判斷。8正確解：長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，如果長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍，則它的表面積是：（2長×2寬＋2長×2高＋2寬×2高）×2=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2×4，表面積擴大到原來的4倍。故答案為：正確。【分析】如果長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍，則它的表面積擴大到原來的4倍。9錯誤解：至少要用8個棱長1厘米的小正方體才可以拼成一個較大的正方體，所以說法錯誤。故答案為：錯誤。【分析】用小正方體搭建一個大正方體，若大正方體每條棱上的小正方體個數是2（3、4、……），則要用小正方體的個數為2×2×2（3×3×3、4×4×4,、……），本題據此進行判斷。10正確解：設正方體的棱長為1cm，則（2×2×6）÷（1×1×6）=24÷6=4所以一個正方體的棱長擴大到原來的2倍，表面積就擴大到原來4倍，說法正確。故答案為：正確。【分析】正方體的表面積=棱長×棱長×6，設正方體的棱長為1cm，根據正方體的表面積公式分別計算出擴大后喝擴大前正方體的表面積，再相除即可得出答案。三、仔細想，認真填1182解：3×4（3×54×5）×2=12（1520）×2=1235×2=1270=82（平方分米）所以這個紙盒的表面積是82平方分米。故答案為：82。【分析】長方體的表面積=（長×寬長×高寬×高）×2，本題中長方體無蓋，即需要少計算一個長×寬的面，據此進行計算即可。1215解：（645）×（1×1）=15×1=15（平方米）所以這堆小方塊露在外面的面積是15平方米。故答案為：15。【分析】從正面看露在外面的面是6個，從上面看露在外面的面是4個，從右面看露在外面的面是5個，用露在外面的面的個數之和乘以1個小正方體1個面的面積，即可得出答案。1388解：（1084）×4=22×4=88（厘米）所以至少需要鐵絲88厘米。故答案為：88。【分析】長方體的棱長之和=（長寬高）×4，本題據此公式即可得出至少需要鐵絲的厘米數。14160解：從長上截，表面積增加8×6×2=48×2=98（平方分米）；從寬上截，表面積增加10×6×2=60×2=120（平方分米）；從高上截，表面積增加10×8×2=80×2=160（平方分米）所以表面積最多增加160平方分米。故答案為：160。【分析】從長上截，表面積增加2個寬×高面的面積；從寬上截，表面積增加2個長×高面的面積；從高上截，表面積增加2個長×寬面的面積，計算并比較大小即可得出答案，15802；200解：2m=200cm橫截面邊長：320÷4÷80=1（cm）；表面積：1×1×21×200×4=2800=802（cm2）體積：1×1×200=200（cm3）故答案為：802；200。【分析】這是一個特殊的長方體，橫截面是正方形，另外四個面是完全相同的長方形。截去80cm后，表面積減少的是80cm長方體的四個側面的面積，用表面積減少的部分除以4求出一個側面的面積，再除以80即可求出橫截面邊長。然后根據長方體表面積和體積公式分別計算表面積和體積即可。1613；1300解：露出了13個面；10×10×13=100×13=1300（平方厘米）。故答案為：13；1300。【分析】通過數一數，數出來露出了13個面；露出外面的面積=每個面的面積×數量；其中每個面的面積=棱長×棱長。178；12如圖，用棱長1cm的小正方體拼成棱長3cm的大正方體，把大正方體的表面涂上顏，三面涂的小正方體有8塊，兩面涂小正方體有：（3-2）×12=1×12=12（個）。故答案為：8；12。【分析】觀察圖可知，三面都涂的位于8個頂點處；兩面涂的在每條棱上（除去頂點處的小正方體），據此列式解答。1816010×8×2=80×2=160（平方厘米）故答案為：160。【分析】這兩個小長方體表面積的和最多增加兩個原長方體的前面的面積。19120棱長：40÷4=10（厘米）表面積增加：10×3×4=120（平方厘米）故答案為：120。【分析】棱長=底面周長÷4，表面積增加的數量=棱長×增加的高度×4。2024；24；8解：把一個棱長8厘米的正方體表面積涂上紅，再切成棱長2厘米的小正方體，其中兩面涂的有24個，一面涂的有24個，一面都不涂的有8個。故答案為：24；24；8。【分析】每條棱長上可以截出4個小正方體。每條棱上中間兩個小正方體都是兩面涂的，因此兩面涂的共12×2=24個；每個面中間會有4個小正方體是一面涂的，所以一面涂的共有6×4=24個；每個頂點處共有8個小正方體是三面涂的。一共切成了64個小正方體，所以沒有涂的有64-24-24-8=8（個）。四、綜合提升21（1）17（2）272（1）這個物體露在外面的面有：656=17（個）（2）所有露在外面的面的面積是：4×4×17=16×17=272（平方厘米）故答案為：（1）17；（2）272【分析】（1）從前面看，露在外面的面是6個正方形面，從上面看，露在外面的面是5個正方形面，從右面看，露在外面的面是6個正方形面，用加法即可求出這個物體露在外面的總面數；（2）根據題意，先求出一個面的面積，然后乘露在外面的面的數量，即可得到所有露在外面的面的面積之和，據此列式解答22（1）40（2）10；168（3）16（4）16n24（1）第1個長方體的表面積是（4×16）×（2×2）=10×4=40（平方厘米）（2）91=10（個），第9個長方體的表面積：（4×96）×（2×2）=42×4=168（平方厘米）（3）解：設這個長方體排在第n個，（4n6）×（2×2）=280（4n6）×4=280（4n6）×4÷4=280÷44n6=704n6-6=70-64n=644n÷4=64÷4n=16（4）第n個長方體的表面積是16n24（平方厘米）。故答案為：（1）40；（2）10；168；（3）16；（4）16n24。【分析】第n個長方體的表面積是：（4n6）個小正方體的面；小正方體的一個面的面積為：2×2=4（平方厘米），也就是第n個長方體的表面積是16n24平方厘米，據此規律解答：（1）第1個長方體的表面積是（4×16）×（2×2），據此列式解答；（2）第1個長方體由2個小正方體拼成，第2個長方體由3個小正方體拼成，則第9個長方體由個91=10小正方體拼成，要求表面積，依據公式：（4×96）×（2×2），據此列式解答；（3）根據題意，可以列方程解答，設排在第n個，依據公式：（4n6）×（2×2）=280，據此列方程解答；（4）觀察可知，第n個長方體的表面積是16n24平方厘米。五、計算能手23（1）解：16×8×5=640立方分米（2）解：20×20×6=400×6=2400平方厘米【分析】長方體體積=長×寬×高，正方體表面積=棱長×棱長×6，根據公式分別計算即可六、解答問題24（1）（2）解：84÷14=06（分米）06×06×6=216（平方分米）答：這個正方體的表面積是216平方分米。【分析】（1）做這類題的方法就是平面圖上標上數字，然后親自動手折一折，即可看出答案；（2）圖①的周長共14個小正方體的棱長，圖①的周長÷14=小正方體的棱長，正方體表面積=棱長×棱長×6，據此解答。25解：24÷2×6=72cm224÷2×6=12×6=72（平方厘米）答：這個正方體木塊原來的表面積是72平方厘米【分析】根據題意，一個正方體木塊，把它分成兩個長方體木塊后，表面積增加了兩個底面積，用增加的面積÷2=正方體的底面積，然后用底面積×6=正方體的表面積，據此列式解答26解：2米=20分米，6厘米=06分米，（1×20×206×20×2）×10=（4024）×10=64×10=640（平方分米）答：制作10根這樣的通風管至少需要鐵皮640平方分米。【分析】通風管由4個面組成，橫截面的長×通風管的長×2橫截面的寬×通風管的長×2=制作1根通風管需要的鐵皮面積，制作1根通風管需要的鐵皮面積×10=制作10根通風管需要的鐵皮面積，計算時注意單位統一。27解：觀察幾何體得：從上面可以看到4個正方形面，從前面可以看到3個正方形面，從右面可