疊加、疊乘、迭代遞推、代數轉an一、疊加 類型一形如a ＝a+f(n)，其中f(n)為關于n的多項式或指數形（an） （2n－1解：∵an1=an∴an1=an＋（2n－1）∴a2－a1=1、a3－a2=3、 an－an1∴an=a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an1 [1＋(2n－3)](n－1)=(2

n∈N練：⑴.已知數列｛an｝,a1=1,n∈N，an1=an＋3n，求通項公式an⑵.已知數列｛a

｝a

an

n(n1)，n∈N

an二、疊乘類型二：形如an1

f(nf(n

(mnb)(mnc)

或an1=kn（k≠0）或an1=kmn(k≠ 0＜m且m≠ 2：已知數列｛an｝a1=1，an＞0,(n＋1)an12－nan2＋an1an=0an解：∵(n＋1)an12－nan2＋an1an ∴[(n＋1)an1－nan](an1＋an0 an ∴an1＋an (n＋1)an1－nan∴an1 n1∴aanan1an2a21

n1n2n311aanaa

n

n an

(n∈N*),na na

是{a

}n項和,a

⑵.已知數列｛a｝滿足a =3na(n∈N*)，且a=1，求a an1f(an)f(an)an的函數.——3：已知數列｛an，a1=1,n∈N，an12an＋3n,an．解：∵an1=2an＋3n an=2an1＋3n-1=2(2an2＋3n-2)＋3n-1=22(2an3＋3n-3)＋2·3n-2＋3n-3343534＋…＋232333433＋…＋23n1

3n

3n2132

23:⑴.若數列｛a

｝中，a

=3

=a2（n∈N

ann ⑵.｛anSS=2a1n，n∈N,a．n 類型四：形如anan1=panqan1（pq0．且an0的數列，——p=－q

11

p≠－q

q

1p4：若數列

｝

=

nan

an

an又a110,an0∴11

∴11

∵1

∴數列{a

}112∴1=1＋1n ∴a=2 n 4f(n

2x，數列{3

n

}滿足

1

=1，a=3f

)anan1＝panq,pq≠0，p、q為常數．p＝1時，為等差數列；p≠1xan1+x=pan+q+ +x=p(a

qx)xq

∴x

+x=

+x

p1

{an

}ap1a5：已知數列{aaana

}中，a

=1，an

+1，n=1、2、3、…an

+1a

—2 —2

又∵a

－2=- ∴數列a

－2}首項為-112∴an－2=-

an=2

n∈N練習5：⑴.已知a1=1，an=2an1+ (n=2、3、4…)，求數列{an}的通項⑵.已知數列

｝a

1

=

a

annan1＝panf(n)，p≠0p為常數，f(n)n的函數．p＝1時，則an1＝an+f(n)即類型一．np≠1時，f(n)n的多項式或指數形式（an）或指數和多項式的混—— 例6：已知數列{a}滿足a=1，a =2a＋n2，n∈N求a．解：令a +x[a(n+1)2+b( 即 =2a+(2a–ax)n2+(2b-2ax–bx)n+2c–ax–bx– 2aax

a

2

a2b2axbx2caxbxcx

b2

x=1bc ax 2 ∴ +(n+1)2+2(n+1)+3=2(a+n2+2n+ ∵ 令b=a+n2+2n+3則 = b n∴b=7×2n

nan2+2n37×2n

n∴a=7×2n1－(n2+2n+3nn∈Nf(n)n的指數形式（anpapa7（3）a1=1，an2an13n1，(n2、3、4…)，求數列{anan 解:∵a=2 +3

∴令a+x×3n=

n1)得a=2

n x=- ∴a－3n= －3n1 又∵ n∴數列a3n}是首項為-2,2nn a3n=-2·2 a3n-2nn n例8：數列{a}中,a=5且a +3n-1(n=2 n解 a

+3n-

13(a

1)32

2

2

{

2}1 a a

5 2=

2+(n1)

2+(n1)=n+ a=(n1)3n 8．6:⑴.已知數列{an}a1=1,an1=3an+nnN;求{an} ⑵設a為常數，且a 3n1－2 (n∈N n≥1，an

1[3n+(-1)n12n]+(-1)n2na 類型七：形如 =p +qa(pq≠0，p、q為常數且p2+4q 例9:已知數列{an}中a11,a22且an2an1

nN;求{an}解:令an2+xan1=(1+x)an1+2a an2+xan1=(1+x)(an1令x=2 x2+x–2= x=1或-1

2an1n當x=1時,an2+an1=2(an1+an 從而a2+a1=1+2=∴數列an1an}32的等比數列 +a=3

當x=-2時,an2-2an1=-(an1-2an) 而a2-2a1= an1-2an=0 na=2 n

n7：⑴已知aan}

=2,a2

5,3

53

23

,(n1、2、3、……),⑵已知數列：1、1、2、3、5、8、13、……五、數列的簡單應用能的.現拋擲,根據其點數決定棋子是否移動,若投出的點數是奇數,則棋子不D⑴投了三次,棋子恰巧在頂點B的概率是多少C⑵投了四次,棋子都不在頂點B的概率是多少 ⑶投了四次,棋子才到達頂點B的概率是多少？分析：考慮最后一次投分為兩種情況解：∵事件投一 棋子不動的概率為1；事件投一 棋子動且2B111 ⑴．投了三次,棋子恰巧在頂點B分為兩種情B點．設投了i次，棋子恰好在頂點B的概率為pi，則棋子不在頂點B的概率(1-p)所以投了i+1 棋子恰好在頂點B的概率 ii1、2、3、4、

pi1=pi×2+(1-pi)×∴ =1+1i

∵p=11= ∴

= ∴p= B設投了i次，棋子都不在頂點B的概率為pi,則投了i+1次，棋子都B的概率為：p

p

p ×(1﹣ i=1234 即55

6

又∵= 5 ×(1﹣)

∴

= 6BPP=11×p=1×(5)3

（略11：用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊；第二層aibiaibi的關系式，通過方程(組)b9=0b0 a1=2b0+1，a2=2b1+1，……ai=2bi1+ … … bi1=ai+b … …

bi1-bi=2bi1+

bi2bi1 1 bi+2=2(bi1+ ∴b9+2=(2)(b0+2 ∴b0+2=

∴b0⑵.nnn3個點的.若開始時球在甲中．若傳了n次球，球在甲手中的概率為an；球在乙bn.(n1、2、3、4、a5b5分別是多nanbn小參考答練：⑴.an(3

=1(3n- ⑵.

=nn

2：⑴.a

=n- ⑵.an3：⑴.a

=32n3

⑵.a

=2[2n2+(-1)n134：an

n

5an=

⑵an=2n1練習6：⑴可得

(略

n1+2(n+1)+4=3(an+2n+4n

an=4

- n 7：⑴an=3

3n1，⑵由已知得an2=an1+a a 5[(1 5)n-(1

5)n 練習8：⑴∵an2=an1+