四邊形知識點經典總結四邊形知識點經典總結四邊形知識點經典總結xxx公司四邊形知識點經典總結文件編號：文件日期：修訂次數：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度四邊形知識點：關系結構圖：二、知識點講解：1．平行四邊形的性質（重點）：ABCD是平行四邊形2.平行四邊形的判定（難點）：.3.矩形的性質：因為ABCD是矩形(4)是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸．4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一個角是直角的平行四邊形；

(2)有三個角是直角的四邊形；

(3)對角線相等的平行四邊形；

(4)對角線相等且互相平分的四邊形．四邊形ABCD是矩形.5.菱形的性質：因為ABCD是菱形6.菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.7.正方形的性質：ABCD是正方形 8.正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.名稱定義性質判定面積平

行

四

邊

形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。對邊平行；②對邊相等；

③對角相等；

④鄰角互補；

⑤對角線互相平分；⑥是中心對稱圖形①定義；

②兩組對邊分別相等的四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形；

④兩組對角分別相等的四邊形；

⑤對角線互相平分的四邊形。S=ah(a為一邊長，h為這條邊上的高)矩

形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形除具有平行四邊形的性質外，還有：①四個角都是直角；②對角線相等；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。①有三個角是直角的四邊形是矩形；②對角線相等的平行四邊形是矩形；③定義。S=ab(a為一邊長，b為另一邊長)菱

形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。除具有平行四邊形的性質外，還有①四邊形相等；②對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。①四條邊相等的四邊形是菱形；②對角線垂直的平行四邊形是菱形；③定義。①S=ah(a為一邊長，h為這條邊上的高)；

②(b、c為兩條對角線的長)正

方

形有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質：①四個角是直角，四條邊相等；②對角線相等，互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個角是直角的菱形是正方形；③定義。①(a為邊長)；

②(b為對角線長)三．精典例題解答：

1．已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF。

求證：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。

證明：（1）∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE

又ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，AD∥BC∴∠DAF=∠BCE

在△ADF與△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS）

（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB

例1圖例2圖2．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F是直線AC上的兩點，并且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴OA=OC，OB=OD

又∵AE=CF

∴OA+AE=OC+CF即OE=OF

∴四邊形BFDE是平行四邊形3．如圖，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C’處，折痕DE交BC于點E，連結。

求證：四邊形是菱形。

證明：根據題意可知

則，，

∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED

∴CD=CE∴∴四邊形為菱形

例3圖4．把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H（如圖）。試問線段HG與線段HB相等嗎請先觀察猜想，然后再證明你的猜想。

解：HG=HB。

證法1：連結AH，

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠B=∠G=90°

由題意知AG=AB，又AH=AH

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）

∴HG=HB

證法2：連結GB

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠ABC=∠AGF=90°

由題意知AB=AG

∴∠AGB=∠ABG

∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB

∴HG=HB

5．如圖，正方形ABCD繞點A逆時針旋轉n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點O。

（1）以圖中已標有字母的點為端點連結兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結的兩條線段相

交且互相垂直，交說明這兩條線段互相垂直的理由；

（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為，求旋轉的角度n。

解：（1）我連結的兩條相交且互相垂直的線段是____AO____和____DE____。

理由如下：

∵在Rt△ADO與Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，

∴Rt△ADO≌Rt△AEO

∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）

∴AO⊥DE（等腰三角形的三線合一）

注：其它的結論也成立如GD⊥BE。

（2）∵四邊形AEOD的面積為

∴三角形ADO的面積=

∵AD=2

∴

∴∠DAO=30°

∴∠EAB=30°即旋轉的角度是30°

例5圖例6圖6．四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG。

（1）求證：AE=CG；

（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，并證明你的猜想。證明：（1）如圖，

∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE

∴△ADE≌△CDG

∴AE=CG

（2）猜想：AE⊥CG。

證明：如圖，設AE與CG交點為M，AD與CG交點為N

∵△ADE≌△CDG

∴∠DAE=∠DCG

又∵∠ANM=∠CND

∴△AMN∽△CDN

∴∠AMN=∠ADC=90°

∴AE⊥CG7．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形并給出證明。

證明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠DAC

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線

∴∠MAE=∠CAE

∴

又∵AD⊥BC，CE⊥AN

∴∠ADC=∠CEA=90°

∴四邊形ADCE為矩形

（2）當時（答案不唯一），四邊形ADCE是正方形。

證明：∵AB=AC，AD⊥BC于D

∴

又

∴DC=AD

由（1）四邊形ADCE為矩形

∴矩形ADCE是正方形

例8圖8．將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到處，折痕為EF。

（1）求證：△ABE≌△AD′F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形證明你的結論。

證明：（1）由折疊可知：，，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD

∴∠B=∠D′，AB=AD′

∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3

∴∠1=∠3

∴△ABE≌△AD′F

（2）四邊形AECF是菱形。

由折疊可知：AE=EC，∠4=∠5

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC

∴∠5=∠6

∴∠4=∠6

∴AF=AE

∵AE=EC

∴AF=EC

又∵AF∥EC

∴四邊形AECF是平行四邊形

∵AF=AE∴四邊形AECF是菱形。

9．如下圖，已知P正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．

（1）求證：BP=DP；

（2）若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP若是，請給予證明；若不

是，請用反例加以說明；

（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在四邊

形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論．

思路分析：（1）解法一：在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP．

解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP．

（2）不是總成立．當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，點P旋轉到BC邊上時，

DP>DC>BP，此時BP=DP不成立．

說明：未用舉反例的方法說理的不得分．

（3）連接BE、DF，則BE與DF始終相等．

在圖中，可證四邊形PECF為正方形，

在△BEC與△DFC中，可證△BEC≌△DFC．

從而有BE=DF

10．為創建綠色校園，學校決定對一塊正方形的空地進行種植花草，現向學生征集設計圖案．圖案要求只能用圓弧在正方形內加以設計，使正方形和所畫的圖弧構成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．種植花草部分用陰影表示．請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的的設計圖案．

提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種．

解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一．

11．如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動。

（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍。

（2）設，用t表示△AMN的面積。

（3）求△AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時△AMN的形狀。

解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P。

由已知：，。

∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，

∴∠PAN=∠D=30°。

在Rt△APN中，，

即點N到AB的距離為。

∵點N在AD上，，點M在AB上，，

∴x的取值范圍是。

（2）根據（1），。

（3）∵，∴當t=0時，即x=10時，有最大值25。

當x=10時，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。

此時，△AMN為等腰三角形。

12．（08通州22改編）如圖，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，點M是邊AD上一點，且DM=2cm，點E、F分別是邊AB、BC上的點，EM、CD的延長線交于G，GF交AD于O，設AE=CF=x，

（1）試用含x的代數式表示△CGF的面積；

（2）當GF⊥AD時，求AE的值。

解：（1）∵在平行四邊形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6

∵