徐芝綸編彈性力學(xué)簡(jiǎn)潔教程第四版,所有章節(jié)課后包含詳解徐芝綸編彈性力學(xué)簡(jiǎn)潔教程第四版,所有章節(jié)課后包含詳解40/40徐芝綸編彈性力學(xué)簡(jiǎn)潔教程第四版,所有章節(jié)課后包含詳解彈性力學(xué)簡(jiǎn)潔教程〔第四版〕課后習(xí)題解答徐芝綸第一章緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【剖析】均勻的各項(xiàng)異形體就是知足均勻性假定，

但不知足各向同性假定；

非均勻的各向異性體，就是不知足均勻性假定，但知足各向同性假定。【解答】均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土。1-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件可否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基可否作為理想彈性體？【剖析】可否作為理想彈性體，

要判斷可否知足四個(gè)假定：

連續(xù)性，完整彈性，均勻性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土構(gòu)件和土質(zhì)地基能夠作為理想彈性體；巖質(zhì)地基不可以夠作為理想彈性體。

一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和【1-3】五個(gè)根本假定在成立彈性力學(xué)根本方程時(shí)有什么作用？【解答】〔1〕連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個(gè)物體的體積都被構(gòu)成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何縫隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就能夠當(dāng)作是連續(xù)的。所以，成立彈性力學(xué)的根本方程時(shí)就能夠用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完整彈性假定：假定物體是完整彈性的，即物體在對(duì)應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完整恢還原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與惹起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即二者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變聽從胡克定律，進(jìn)而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個(gè)物體是由同一資料構(gòu)成的，引用這一假定后整個(gè)物體的所有各局部才擁有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，因此物體的彈性常數(shù)不隨地點(diǎn)坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是細(xì)小的。亦即，假定物體受力此后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體本來的尺寸，并且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在成立物體變形此后的均衡方程時(shí)，就能夠方便的用變形從前的尺寸來取代變形此后的尺寸。在觀察物體的位移與形變的關(guān)系時(shí)，它們的二次冪或乘積相對(duì)于其自己都能夠略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性的微分方程。1-4】應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么差別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。【解答】應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定是：看作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)〔即正面時(shí)〕，這個(gè)面上的應(yīng)力〔不論是正應(yīng)力仍是切應(yīng)力〕以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。看作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)〔即負(fù)面時(shí)〕，該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。由以下列圖能夠看出，正面上應(yīng)力重量與面力重量同號(hào)，負(fù)面上應(yīng)力重量與面力重量符號(hào)相反。正的應(yīng)力

正的面力【1-5】試比較彈性力學(xué)和資料力學(xué)中對(duì)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定。【解答】資料力學(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號(hào)以使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正，彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?/p>

反之為負(fù)。作用于負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。【1-6】試舉例說明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變。【解答】正的應(yīng)力包含正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包含正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從雙方面解答。正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸狀況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，惹起軸向伸長(zhǎng)變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的切應(yīng)變：在以下列圖應(yīng)力狀態(tài)狀況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，惹起直角減小，故為正的切應(yīng)變。1-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。【解答】正的體力、面力正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。【解答】xfxfyfxfxfyfyfyfxyOz【1-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力yz的協(xié)力與z面上切應(yīng)力zy的協(xié)力能否相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為L(zhǎng)1MT2，單位為N/m2。所以，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dx×dy×dz，那么y面上切應(yīng)力yz的協(xié)力為：yzdxdz(a)z面上切應(yīng)力的協(xié)力為：zyzydxdy(b)由式〔a〕(b)

可見，兩個(gè)切應(yīng)力的協(xié)力其實(shí)不相等。【剖析】作用在兩個(gè)互相垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的協(xié)力不相等，點(diǎn)的協(xié)力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。

但對(duì)某第二章

平面問題的根本理論【2-1】試剖析說明，在不受任何面力作用的空間體表面鄰近的薄層中

(圖

2-14)

其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的狀況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面鄰近的薄層中，能夠以為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有zxzyz0，只存在平面應(yīng)力重量x,y,xy，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)。能夠以為此問題是平面應(yīng)力問題。【2-2】試剖析說明，在板面上到處受法向拘束且不受切向面力作用的等厚度薄片中〔2-15〕，當(dāng)板邊上只受x，y向的面力或拘束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)靠近于平面應(yīng)變的狀況。【解答】板上到處受法向拘束時(shí)z0，且不受切向面力作用，那么xzyz0(相應(yīng)zxzy0)板邊上只受x，y向的面力或拘束，所以僅存zO在x,y,xy，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)靠近于平面應(yīng)變的狀況。y2-3】在圖2-3的微分體中，假定將對(duì)形心的力矩平很條MC0改為對(duì)角點(diǎn)的力矩均衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？【解答】將對(duì)形心的力矩均衡條件MC0，改為分別對(duì)四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的均衡條件，為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。MA0ydx1dx(xxdx)dy1dy(xyxydx)dy1dxydy1dy2x2x2(a)dy)dx1dxfxdxdy1dyfxdxdy1dx(yy(yxyxdy)dx1dy0y2y22MB0(xxdx)dy1dy(yxyxdy)dx1dy(yydy)dx1dxx2yy2(b)xdy1dyydx1dxfxdxdy1dyfydxdy1dxxydy1dx02222MD0(yydy)dx1dxxydy1dxxdy1dyyxdx1dyy22(c)xdx1dxxdx)dy1dyfxdxdy1dyfydxdy1dx(x02x222ME0(yydy)dx1dxxdy1dyyxdx1dyydx1dxy222(d)dydydx(xxdx)dy1(xyxydx)dy1dxfxdxdy1fydxdy10x2x22略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量〔亦即令d2xdy,dxd2y都趨于0〕，并將各式都除以dxdy后歸并同類項(xiàng)，分別獲得xyyx。【剖析】由本題可得出結(jié)論：微分體對(duì)任一點(diǎn)取力矩均衡獲得的結(jié)果都是考證了切應(yīng)力互等定理。2-4】在圖2-3和微分體中，假定考慮每一面上的應(yīng)力重量不是均勻散布的，考證將導(dǎo)出什么形式的均衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長(zhǎng)dx,dy都是微量，所以能夠假定在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽視了二階以上的高階微量，而看作是線性散布的，如圖〔b〕所示。為計(jì)算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個(gè)單位。OxOxyxAyxDyxAyxDxyAyAyDxyDyAyDxyDxAxDxyAxAxDAfxDAfxDBfyCBfyCxyBxCxyCxyBxCxyCxBxByByCyByCyyxByxyyxByxCC(a)(b)各點(diǎn)正應(yīng)力：(x)Ax；(y)Ay(x)Bxxdy；(y)Byydyyy(x)Dxxdx；(y)Dyxdxxx(x)Cxxdxxy；(y)Cyydxyyxyxy各點(diǎn)切應(yīng)力：(xy)Axy；(yx)Ayx(xy)Bxyxydy；(yx)Ayxyxdyyy(xy)Dxyxydx；(yx)Dyxyxdxxx(xy)Cxyxydxxydy；(yx)Cyxyxdxyxdyxyxy由微分單元體的均衡條件Fx0,Fy0,得121212

xxxdydy1y2yxyx+yxdxdx1x2yyydxdx1x2

xxdxxxdxxdydyxxyyxyyxdyyxyxdxyxdydxfxdxdy0yxyyydyyydxydydxyxy1xyxy+xydydy1xy+xydxxy+xydyxydxdyfydxdy02y2xyx以上二式分別睜開并約簡(jiǎn)，再分別除以dxdy，就獲得平面問題中的均衡微分方程：xyxfx0;yxyfy0xyyx【剖析】由本題能夠得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的均衡微分方程合用于隨意的應(yīng)力散布形式。2-5】在導(dǎo)出平面問題的三套根本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些根本假定？這些方程的合用條件是什么？【解答】(1)在導(dǎo)出平面問題的均衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的根本假定是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的合用條件。在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的根本假定是：連續(xù)性，完整彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。相同，理想彈性體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件。【思慮題】平面問題的三套根本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假定？2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的狀況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)〔靠近平面應(yīng)力問題〕總比鋼圓筒〔靠近平面應(yīng)變問題〕的變形大。試依據(jù)相應(yīng)的物理方程來解說這類現(xiàn)象。【解答】體力相同狀況下，兩類平面問題的均衡微分方程完整相同，故所求的應(yīng)力重量相同。由物理方程能夠看出，兩類平面問題的物理方程主要的差別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。因?yàn)镋為GPa級(jí)其他量，而泊松比取值一般在〔0，〕，故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項(xiàng)，比較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1/E要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)12/E。所以，平面應(yīng)力問題狀況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大。【2-7】在常體力，所有為應(yīng)力界限條件和單連體的條件下，對(duì)于不一樣資料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力重量x，y和xy均相同。試問其他的應(yīng)力，應(yīng)變和位移能否相同？【解答】(1)應(yīng)力重量：兩類平面問題的應(yīng)力重量x，y和xy均相同，但平面應(yīng)力問題zyzxz0，而平面應(yīng)變問題的xzyz0,zxy。〔2〕應(yīng)變重量：應(yīng)力重量求應(yīng)變重量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變重量xzyz0,xy相同，而x,y,z不相同。〔3〕位移重量：因?yàn)槲灰浦亓恳繎?yīng)變重量積分來求解，故位移重量對(duì)于兩類平面問題也不一樣。【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí)AB界限上的x,y,xyO

xA之間的關(guān)系式xyxn【解答】由題可得：glcos,mcos90osinyBfxAB0,fyAB0圖2-16將以上條件代入公式〔2-15〕，得：xABcosyxsin0,ysin(xy)ABcos0ABAB(x)AByxABtanyABtan22-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的所有界限條件。在其端部小界限上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件。oh1xqFNh/2xgbMh/2h2FSq1lyyh2b圖2-17圖2-18【剖析】有拘束的界限上可考慮采納位移界限條件，假定為小界限也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大界限上應(yīng)精準(zhǔn)知足公式〔2-15〕。【解答】圖2-17：上〔y=0〕左(x=0)右〔x=b〕l0-11m-100fxs0gyh1gyh1fysgh100代入公式〔2-15〕得①在主要界限上x=0，x=b上精準(zhǔn)知足應(yīng)力界限條件：x0xb

g(yh1),xyx0g(yh1),xyxb0;0;②在小界限y0上，能精準(zhǔn)知足以下應(yīng)力界限條件：yy0gh,xyy00③在小界限yh2上，能精準(zhǔn)知足以下位移界限條件：uyh0,vyh022這兩個(gè)位移界限條件能夠應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件來取代，當(dāng)板厚=1時(shí)，可求得固定端拘束反力分別為：Fs0,FNgh1b,M0因?yàn)閥h2為正面，故應(yīng)力重量與面力重量同號(hào)，那么有：bdxgh1b0yyh2bxdx00yyh2bdx00xyyh2⑵圖2-18①上下主要界限y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精準(zhǔn)知足公式〔2-15〕lmfx(s)fy(s)yh-10q02yh1-q1002(y)y-h/2q，(yx)y-h/20，(y)yh/20，(yx)yh/2q1②在x=0的小界限上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有h/2(xy)x0dxFSh/2h/2x)x0dxFN(h/2h/2x)x0ydxM(h/2③在x=l的小界限上，可應(yīng)用位移界限條件uxl0,vxl0這兩個(gè)位移界限條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件來取代。第一，求固定端拘束反力，按面力正方向假定畫反力，以下列圖，列均衡方程求反力：Fx0,FNFNq1lFNq1lFNFNF0,FFql0FqlFMySSSFSSMA0,MM'FSl1ql21q1lh0Mq1lhMFSlql22222因?yàn)閤=l為正面，應(yīng)力重量與面力重量同號(hào)，故h/2x)xldyFNq1lFN(h/2h/2q1lhql2(x)xlydyMMFSlh/222h/2xy)xldyFSqlFS(h/2qoFNMxox【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個(gè)問題中AAqbb/2OA邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件，并比較二者的面力是不是是b/2FN2bhh2靜力等效？Mqb12【解答】因?yàn)閔?l，OA為小界限，故其上可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件：(a)上端面OA面上面力fx0,fyxqyhb,1ybab因?yàn)镺A面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)圖2-19相反，有bdxbbxqbyfydxqdx0y000b2bxdxbbxbqb20yfyxdxqxdxy000b212(對(duì)OA中點(diǎn)取矩)bdx00yxy0(ｂ)應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反，面力主矢y向?yàn)檎骶貫樨?fù)，那么bdxFNqb0y2y0bqb2y0xdxM0y12bdx00xyy0綜上所述，在小界限OA上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件相同，故這兩個(gè)問題是靜力等效的。【2-11】查驗(yàn)平面問題中的位移重量能否為正確解答的條件是什么？【解答】〔1〕在地區(qū)內(nèi)用位移表示的均衡微分方程式〔2-18〕；〔2〕在

s

上用位移表示的應(yīng)力界限條件式〔

2-19〕；〔3〕在

su上的位移界限條件式〔

2-14〕；對(duì)于平面應(yīng)變問題，需將E、μ作相應(yīng)的變換。【剖析】此問題同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)，位移重量一定知足的條件。【2-12】查驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力重量能否為正確解答的條件是什么？【解答】〔1〕在地區(qū)A內(nèi)的均衡微分方程式〔2-2〕；〔2〕在地區(qū)A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式〔2-21〕或〔2-22〕；3〕在界限上的應(yīng)力界限條件式〔2-15〕，此中假定只求解所有為應(yīng)力界限條件的問題；4〕對(duì)于多連體，還需知足位移單值條件。【剖析】此問題同時(shí)也是按應(yīng)力爭(zhēng)解平面問題時(shí)，應(yīng)力重量一定知足的條件。【補(bǔ)題】查驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變重量能否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式〔2-20〕【2-13】查驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)能否為正確解答的條件是什么？【解答】〔1〕在地區(qū)A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式〔2-25〕；2〕在界限S上的應(yīng)力界限條件式〔2-15〕，假定所有為應(yīng)力界限條件；3〕假定為多連體，還需知足位移單值條件。【剖析】此問題同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。【2-14】查驗(yàn)以下應(yīng)力重量是不是圖示問題的解答：qqaaqbx

h/2

xOOh/2bqyqyll?h圖2-20圖2-212〔a〕圖2-20，sx=y2q，yxy0。b【解答】在單連體中查驗(yàn)應(yīng)力重量是不是圖示問題的解答，一定知足：〔1〕均衡微分方程〔2-2〕；〔2〕用應(yīng)力表示的相容方程〔2-21〕；〔3〕應(yīng)力界限條件〔2-15〕。〔1〕將應(yīng)力重量代入均衡微分方程式，且fxfy0xyx0yxy0明顯知足xyyx〔2〕將應(yīng)力重量代入用應(yīng)力表示的相容方程式〔2-21〕，有22=2q等式左=x2y2xy0=右b2應(yīng)力重量不知足相容方程。所以，該組應(yīng)力重量不是圖示問題的解答。〔b〕圖2-21，由資料力學(xué)公式，MFsS*xIy，xybI(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的2qx32解答:x3y，xy-3qx3(h24y2)。又依據(jù)均衡微分方程和界限條件得出：lh4lh3qxyxy3qx。試導(dǎo)出上述公式，并查驗(yàn)解答的正確性。ylh2q2l2lh3【解答】〔1〕推導(dǎo)公式在散布荷載作用下，梁發(fā)生曲折形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對(duì)中性軸〔Z軸〕h3的慣性矩I，應(yīng)用截面法可求出隨意截面的彎矩方程和剪力方程12M(x)qx3,Fxqx2。6l2l所以截面內(nèi)隨意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：Mxx3yxy2q3Ilh3Fsx4y23qx2h24y2xy1h24.3。2bhlh依據(jù)均衡微分方程第二式〔體力不計(jì)〕。yxy0yx得：y3q.xy2qxy3A2lhlh3依據(jù)界限條件yyh/20得Aq.x2l故y3q.xy2qxy3q.x2lhlh32l將應(yīng)力重量代入均衡微分方程〔2-2〕第一式：左6q.x2y6qx2y0右知足lh3lh3第二式自然知足將應(yīng)力重量代入相容方程〔2-23〕2212q.xy12q.xy左y2xy0右x2lh3lh3應(yīng)力重量不知足相容方程。故，該重量組重量不是圖示問題的解答。2-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的均勻值。【解答】〔1〕確立最大最小切應(yīng)力發(fā)生地點(diǎn)隨意斜面上的切應(yīng)力為nlm21，用關(guān)系式l2m21消去m，得nl1l2l2l41/41/2l22212121由上式可見當(dāng)1l20時(shí)，即l1時(shí)，n為最大或最小，為nmax12。所以，22min2切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸〔即應(yīng)力主向〕成45°的斜面上。〔2〕求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力n的值任一斜面上的正應(yīng)力為nl2122最大、最小切應(yīng)力作用面上l1/2，帶入上式，得n證畢。

111221222【2-16】設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力重量，試求1,2,1(a)x100,y50,xy1050;(b)x200,y0,xy400;(c)x2000,y1000,xy400;(d)x1000,y1500,xy500.【解答】由公式〔2-6〕2及tan1xarctan1x1xyxy21，得122xyxyxy21100501005022150(a)222105001arctan1501003516'10502000200022512(b)12224003121arctan512200arctan3757'40020001000200010002105212(c)22240020521arctan105220008232'40010001500100015002691(d)122225001809arctan6911000arctan0.6183143'5002-17】設(shè)有隨意形狀的等待厚度薄板，體力能夠不計(jì)，在所有邊界上〔包含孔口界限上〕受有均勻壓力q。試證sx=sy=-q及xyOx0fyq能知足均衡微分方程、相容方程和應(yīng)力界限條件，也能知足位移單值條xfxA件，因此就是正確的解答。q

y【解答】〔1〕將應(yīng)力重量xyq,xy0，和體力重量yfxfy0分別帶入均衡微分方程、相容方程xxyfx0xy〔a〕yxyfy0yx20〔b〕xy明顯知足〔a〕〔b〕〔2〕對(duì)于細(xì)小的三角板A，dx，dy都為正當(dāng)，斜邊上的方向余弦lcosn,x,mcosn,y，將xy-q,xy0，代入平面問題的應(yīng)力界限條件的表達(dá)式〔2-15〕，且fx-qcosn,x,fyqcosn,y，那么有xcos,qcos,,ycos,qcos,nxnxnyny所以xq,yq。對(duì)于單連體，上述條件就是確立應(yīng)力的所有條件。〔3〕對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件能否知足。該題為平面應(yīng)力狀況，第一，將應(yīng)力重量代入物理方程〔2-12〕，得形變重量，x(1)q,y(E1)q,xy0E將〔d〕式中形變重量代入幾何方程〔2-8〕，得u(-1)v(-1)vu=Eq,=Eq,0xyxy前兩式積分獲得〔1〕〔-1〕u=f1(y),v=qyf2(x)qxEE此中f1y,f2x分別隨意的待定函數(shù)，能夠經(jīng)過幾何方程的第三式求出，

〔d〕〔e〕〔f〕將式〔f〕代入式〔e〕的第三式，得df1(y)df2(x)dydx等式左側(cè)不過y的函數(shù)，而等式右側(cè)不過x的函數(shù)。所以，只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)，于是有df1(y),df2(x)dydx積分后得fyyu,f2xxv100代入式〔f〕得位移重量u(1)qxyu0E〔g〕(1)qyvxv0E此中u0,v0,為表示剛體位移量的常數(shù)，需由拘束條件求得從式〔g〕可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，知足位移單值條件。因此，應(yīng)力重量是正確的解答。【2-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F〔圖2-22〕，體力能夠不計(jì)。試依據(jù)資料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力y0，而后證明這些表達(dá)式知足均衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式能否就表示正確的解答。【解答】〔1〕矩形懸臂梁發(fā)生曲折變形，隨意橫截面上的彎矩方程M(x)Fx，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為h/2xOh/23/121FlIzh，依據(jù)資料力學(xué)公式y(tǒng)彎應(yīng)力xM(x)y12F3xy；Izh該截面上的剪力為FsxF，剪應(yīng)力為xyFs(x)S*Fhybh/2yy6Fh2y2bIz1h3/1222h34取擠壓應(yīng)力y0〔2〕將應(yīng)力重量代入均衡微分方程查驗(yàn)第一式：左122Fy123Fy0右hh第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力重量知足均衡微分方程。〔3〕將應(yīng)力重量代入應(yīng)力表示的相容方程左2(xy)0右知足相容方程〔4〕觀察界限條件①在主要界限yh/2上，應(yīng)精準(zhǔn)知足應(yīng)力界限條件(2-15)lmfxfyyh0-100上2yh上01002代入公式〔2-15〕，得yy-h/20,xyyh/20;yyh/20,yx0yh/2②在次要界限x=0上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件，代入應(yīng)力重量主矢主矩h/2x)x0dy0x向面力主矢(h/2h/2(x)x0ydy0面力主矩h/2h/2h/26F3(h2y2)dyFy向面力主矢(xy)x0dyh/2h/2h4知足應(yīng)力界限條件③在次要界限上，第一求出固定邊面力拘束反力，按正方向假定，即面力的主矢、主矩，F(xiàn)N0,FSF,MFl其次，將應(yīng)力重量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷能否與面力主矢與主矩等效：

FNMFSh/2x)xldyh/212F0FN(h3lydyh/2h/2h/2x)xlydyh/212Fly2dyFlM(h3h/2h/2h/2xy)xldyh/26Fh2y2dyFFS(h34h/2h/2知足應(yīng)力界限條件，所以，它們是該問題的正確解答。【2-19】試證明，假如體力固然不是常量，但倒是有勢(shì)的力，即體力重量能夠表示為fxV,fyV，此中V是勢(shì)函數(shù)，那么應(yīng)力重量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為xy222x=y2V,y=x2V,xy，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。xy【解答】〔〕將fx,fy帶入均衡微分方程〔2-2〕1xyxfx0xyxV0xyxyx〔a〕Vyxyfy0yxy0yxyxy將〔a〕式變換為(x(y為了知足式〔b〕，能夠取

xy

yxV)0y〔b〕xyV)0y222xVy2,yVx2,xyxy222即x2V,yx2V,xyxyy〔2〕對(duì)體力、應(yīng)力重量fx,fy,x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得fx2V,fy2Vxx2yy22x42V,2x42V〔c〕x2x2y2x2y2y4y2242V242Vy,yx2x4x2y2x2y2y2將〔c〕式代入公式〔2-21〕得平面應(yīng)力狀況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程2(1)fxfy〔2-21〕xyxy42V42V42V42V(12V2Vx2y2x2y4y2x4x2x2y2y2)2y2x整理得：4244(1)2V2V〔d〕x4x2y2y4x2y2即平面應(yīng)力問題中的相容方程為(1)2V將〔c〕式代入公式〔2-22〕或?qū)ⅰ瞕〕式中的替代為1，的平面應(yīng)變狀況下的相容方程：444122V2V〔e〕x42y41x2y2x2y2即4122V。1證畢。第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為何在主要界限〔大界限〕上一定知足精準(zhǔn)的應(yīng)力界限條件式〔2-15〕，而在小界限上能夠應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件〔即主矢量、主矩的條件〕來代替？假如在主要界限上用三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件取代式〔2-15〕，將會(huì)發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)識(shí)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使界限條件完整獲得知足，常常比較困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部界限上的應(yīng)力界限條件供給很大的方便。將物體一小局部界限上的面力換成散布不一樣，但靜力等效的面力〔主矢、主矩均相同〕，只影響近處的應(yīng)力散布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響能夠忽視不計(jì)。假如在占界限絕全局部的主要界限上用三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件來取代精準(zhǔn)的應(yīng)力界限條件〔公式2-15〕，就會(huì)影響全局部地區(qū)的應(yīng)力散布，會(huì)使問題的解答精度缺少。3-2】假如在某一應(yīng)力界限問題中，除了一個(gè)小界限條件，均衡微分方程和其他的應(yīng)力界限條件都已知足，試證：在最后的這個(gè)小界限上，三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件必定是自然知足的，固而能夠不用校核。【解答】地區(qū)內(nèi)的每一細(xì)小單元均知足均衡條件，應(yīng)力界限條件實(shí)質(zhì)上是界限上微分體的均衡條件，即外力〔面力〕與內(nèi)力〔應(yīng)力〕的均衡條件。研究對(duì)象整體的外力是知足均衡條件的，其他應(yīng)力界限條件也都知足，那么在最后的這個(gè)次要界限上，三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件是自然知足的,因此能夠不用校核。3-3】假如某一應(yīng)力界限問題中有m個(gè)主要界限和n個(gè)小界限，試問在主要界限和小界限上各應(yīng)知足什么種類的應(yīng)力界限條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在m個(gè)主要界限上，每個(gè)界限應(yīng)有2個(gè)精準(zhǔn)的應(yīng)力界限條件，公式〔2-15〕，共2m個(gè)；在n個(gè)次要界限上，假如能知足精準(zhǔn)應(yīng)力界限條件，那么有2n個(gè)；假如不可以知足公式〔2-15〕的精準(zhǔn)應(yīng)力界限條件，那么能夠用三個(gè)靜力等效的積分界限條件來取代2個(gè)精準(zhǔn)應(yīng)力界限條件，共3n個(gè)。【3-4】試觀察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3-8所示的矩形板

Ox和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計(jì))?h【解答】⑴相容條件:ly圖3-8不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)ay3總能知足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).⑵求應(yīng)力重量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得x6ay,y0,xyyx0⑶觀察界限條件上下界限上應(yīng)力重量均為零，故上下界限上無面力.左右界限上；當(dāng)a>0時(shí)，觀察x散布狀況，注意到xy0，故y向無面力左端:fx(x)x06ay0yhfyxy0x0右端:fxxxl6ay(0yh)fy(xy)xl0應(yīng)力散布以下列圖，當(dāng)l?h時(shí)應(yīng)用圣維南原理能夠?qū)⑸⒉嫉拿媪Γ刃橹魇福骶豋Axfxfxy主矢的中心在矩下界限地點(diǎn)。即本題狀況下，可解決各樣偏愛拉伸問題。偏愛距e：ee因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷PP載p的偏愛距e：ppe0eh/6(x)Abh2/6bh同理可知，當(dāng)a<0時(shí)，能夠解決偏愛壓縮問題。【3-5】取知足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：⑴xax2y,⑵bxy2,⑶cxy3,試求出應(yīng)力Oh/2h/2(l?h)重量〔不計(jì)體力〕，畫出圖3-9所示彈性體界限上ly的面力散布，并在小界限上表示出頭力的主矢量圖3-9和主矩。【解答】〔1〕由應(yīng)力函數(shù)ax2y，得應(yīng)力重量表達(dá)式x0,y2ay,xyyx2ax(lxmyx)sfx(s)觀察界限條件，由公式〔2-15〕(mylxy)sfy(s)①主要界限，上界限yh上，面力為2fx(yh)2axfy(yh)ah22②主要界限，下界限hy，面力為2fx(yh)2ax,fy(yh)ah22③次要界限，左界限x=0上，面力的主矢，主矩為h/2x向主矢：Fx(x)x0dy0h/2y向主矢：Fyh/2xy)x0dy(0h/2主矩：Mh/2(x)x0ydy0h/2次要界限，右界限x=l上，面力的主矢，主矩為yxx向主矢：Fxh/2x)xldy0ahxy(h/2Oxh/2h/2y向主矢：Fy(xy)xldyh/2(2al)dy2alhah2alh/2h/2y2al主矩：M(x)xlydy0h/2彈性體界限上面力散布及次要界限面上面力的主矢，主矩以下列圖bxy2將應(yīng)力函數(shù)代入公式〔2-24〕，得應(yīng)力重量表達(dá)式x2bx，y0，xyyx2by觀察應(yīng)力界限條件，主要界限,由公式〔2-15〕得在yhfxyhbh,fyyh2主要界限，上界限上，面力為202在yhfxyhbh,fyyh，下界限上，面力為2022在次要界限上，散布面力可按(2-15)計(jì)算，面里的主矢、主矩可經(jīng)過三個(gè)積分界限條件求得：在左界限x=0，面力散布為fxx00,fyx02by面力的主矢、主矩為hx向主矢：Fx20dy0hxx2hhy向主矢：Fy2dy22bydy0hxyxhx0202主矩；Mh/2(x)x0ydy0h/2在右界限x=l上，面力散布為fxxl2bl,fyxl2by面力的主矢、主矩為h/2h/2x向主矢：Fxh/2xxldyh/22bldy2blhy向主矢：Fy'h/2h/2h/2xyxdy2bydy0lh/2h/2ydyh/20主矩：M'xxl2blydyh/2h/2彈性體界限上的面力散布及在次要上面力的主矢和主矩以下列圖ah2alahOxxyxyy3〕cxy3將應(yīng)力函數(shù)代入公式〔2-24〕，得應(yīng)力重量表達(dá)式x6cxy,y0,xyyx3cy2觀察應(yīng)力界限條件，在主要界限上應(yīng)精準(zhǔn)知足式〔2-15〕①上界限yh上，面力為2fxyh3ch2,fyyh0242②下界限y=h上，面力為2fxyh3ch2,fyyh0242次要界限上，散布面力可按〔2-15〕計(jì)算，面力的主矢、主矩可經(jīng)過三個(gè)積分界限求得：③左界限x=0上，面力散布為fxx00,fyx03cy2面力的主矢、主矩為x向主矢：Fxh/2dy0h/2xx0y向主矢：Fyh/2h/22dy1ch3h/2xyx0dy3cyh/24h/2ydy0主矩：Mxx0-h/2④右界限xl上，面力散布為fxxl6cly,fyxl3cy2面力的主矢、主矩為x向主矢Fxh/2dyh/26clydy0h/2xxlh/2h/2h/221ch3y向主矢：Fyh/2yxldyh/23cydy4主矩：Mh/2ydyh/26cly2dy1clh3h/2xxlh/22彈性體界限上的面力散布及在次要界限上面力的主矢和主矩，以下列圖【3-6】試觀察應(yīng)力函數(shù)F222h3xy(3h4y)，h/2Oh/2能知足相容方程，并求出應(yīng)力重量〔不計(jì)體力〕，畫出圖3-9所示矩形體界限上的面力散布〔在小界限上畫出頭yl力的主矢量和主矩〕，指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。圖3-9【解答】〔1〕將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程〔2-25〕444x422y2y40，明顯知足x〔2〕將代入式〔2-24〕，得應(yīng)力重量表達(dá)式12Fxyy0,3F4y2xh3,xyyx(1h2)2h〔3〕由界限形狀及應(yīng)力重量反推界限上的面力：①在主要界限上〔上下界限〕上，yh，應(yīng)精準(zhǔn)知足應(yīng)力界限條件式〔2力yyh/20,yxyh/20x(l?h)2-15〕，應(yīng)所以，在主要界限h上，無任何面力，即fxyhyy0,fy22②在x=0，x=l的次要界限上，面力分別為：x0:fx0,fy3F1-4y22hh2

h2

0xl:fx12Fly3F4y23,fy2h1hh2所以，各界限上的面力散布以下列圖：③在x=0，x=l的次要界限上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上x=l上h/2h/2x向主矢：FN=fxdy0,FNfxdy01h/22h/2h/2h/2y向主矢：FS=fydyF,FSfydyF1h/22h/2h/2fxydy0,M2h/2主矩：M1=fxydyFl-h/2h/2所以，能夠畫出主要界限上的面力，和次要界限上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)所以，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。qx2y3yqy2y3y【3-7】試證(4331)(23)能知足相容方程，并觀察它在4hh10hh圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題〔設(shè)矩形板的長(zhǎng)度為l，深度為h，體力不計(jì)〕。h/2Oh/2

x【解答】(1)將應(yīng)力函數(shù)代入式〔2-25〕

y

(l?h)l4424qyx40，y4，h3

圖3-9412qy24qy22y2h3h3x2代入〔2-25〕，可知應(yīng)力函數(shù)知足相容方程。〔2〕將代入公式〔2-24〕，求應(yīng)力重量表達(dá)式:2fxx6qx2y4qy33qyx2h3h35hy2fyyq4y33y1)yx2(h3h2xyyx26qx(h2y2)xyh34觀察界限條件，由應(yīng)力重量及界限形狀反推面力：①在主要界限yh2-15〕〔上面〕，應(yīng)精準(zhǔn)知足應(yīng)力界限條件〔2hhfxyyxyh/20,fyy2yyh/2q2在主要界限yh下面，也應(yīng)當(dāng)知足2152fxyh/2yx0,fyyh/2yyh/20yh/2在次要界限x上，散布面力為0fxx0xx03qy4qy3,fyx0xyx005hh3應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件:h/2h/2FNh/2fxdyh/2h/2

3qy4qy35hh3dy0FSh/2fydy0h/2fxh/2Mh/2ydyh/2④在次要界限xl上，散布面力為

3qy4qy35hh3ydy0fxxlxx6ql2y4qy33qylh3h35hfyxlxy6qlh2y2xl34h應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件:FNh/2h/26ql2y4qy33qyfx(xl)dyh/233dy0h/2hh5h6ql22h/2h/2hFsfy(xl)dyh/2h34ydyqlh/26ql2y33qy12h/2h/24qyM'fx(xl)ydyh/233ydyqlh/2hh5h2綜上，可畫出主要界限上的面力散布和次要界限上面力的主矢與主矩，如圖qqoqlx1ql2y2(a)(b)所以，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上界限受向下均布荷載q的問題。【3-8】設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為ρ，在一邊側(cè)面上受均布剪力oq〔圖3-10〕，試求應(yīng)力重量。bx【解答】采納半逆法求解。hq由資料力學(xué)解答假定應(yīng)力重量的函數(shù)形式。g假定應(yīng)力重量的函數(shù)形式。y(h?b)依據(jù)資料力學(xué)，曲折應(yīng)力y主要與截面的彎矩相關(guān)，剪應(yīng)力xy主要與圖3-10截面的剪力相關(guān)，而擠壓應(yīng)力x主要與橫向荷載相關(guān)，本題橫向荷載為零，那么x0(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式將x0，體力fx0,fyg，代入公式〔2-24〕有2xy2fxx0對(duì)y積分，得yfx〔a〕yfxf1x〔b〕此中fx,f1x都是x的待定函數(shù)。〔3〕由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將〔b〕式代入相容方程〔2-25〕，得d4fxd4f1x〔c〕ydx4dx40在地區(qū)內(nèi)應(yīng)力函數(shù)一定知足相容方程，〔c〕式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個(gè)根〔全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)知足它〕，可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都一定為零，即d4fxd4f1x0dx40,dx兩個(gè)方程要求fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2〔d〕fx中的常數(shù)項(xiàng)，f1x中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力重量。將〔d〕式代入〔b〕式，得應(yīng)力函數(shù)yAx3Bx2CxDx3Ex2〔e〕〔4〕由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力重量2xy2fxx0〔f〕2y2fyy6Axy2By6Dx2Egy(g)x23Ax2xy2BxC(h)xy觀察界限條件利用界限條件確立待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要界限x0上〔左〕：xx00,(xy)x00將〔f〕，〔h〕代入0，自然知足0(xy)x0C0〔i〕主要界限xb上，0，自然知足b(xy)xbq，將〔h〕式代入，得(xy)xb3Ab22BbCq〔j〕在次要界限y0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件：b(y)y0dxb6Dx2Edx3Db22Eb0〔k〕00bb2Db3Eb2(y)y0xdx6Dx2Exdx0〔l〕00b(yx)yb3Ax2Ab3Bb200dx2BxCdxCb0〔m〕0由式〔i〕，(j)，〔k〕，〔l〕，〔m〕聯(lián)立求得Aq,Bq,CDE0b2b代入公式〔g〕，(h)得應(yīng)力重量x0,y2qx13xgy,xyqx3x2bbbb【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h，寬度為b，h?b，在ox雙側(cè)面上遇到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)b/2b/2AxyBx3y求解應(yīng)力重量。qqh【解答】按半逆解法求解。⑴將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程〔2-25〕明顯知足。y(h?b)⑵由公式〔2-24〕求應(yīng)力重量表達(dá)式，體力為零，有圖3-11222x20，yx26Bxy，xyyxy

A3Bx2xy⑶觀察界限條件：在主要界限xb2上，精準(zhǔn)知足公式〔2-15〕xxb/20,(xy)xb/2q第一式自然知足，第二式為A3Bb2q(a)4②在主要界限x=b/2上，精準(zhǔn)知足式(2-15)xxb/20,xyxb/2q第一式自然知足，第二式為A3Bb2q(b)4③在次要界限y=0上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件:b/2dx0知足b/2yy0b/2xdx0知足b/2yy0b/2b/21Bb3dxA3Bx2dxAb0〔c〕b/2yxb/2y04聯(lián)立〔a〕〔c〕得系數(shù)2qA2,Bb2代入應(yīng)力重量表達(dá)式，得x0,y12qqx2b2xy,xy11222b【3-10】設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端遇到集中力和力矩作用，體力能夠不計(jì)，l?h〔圖3-12〕，試用應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力重量。

AxyBy2Cy3Dxy3求解【解答】采納半逆解法求解〔1〕將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程〔2-25〕，明顯知足〔2〕由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力重量，代入公式(2-24)x2B6By6Dxyy0(a)xyyxA3Dy2觀察界限條件①主要界限yh/2上，應(yīng)精準(zhǔn)知足應(yīng)力界限條件yyh/20，知足xyyh/20,得A3Dh20〔b〕4②在次要界限x=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件FNh/20dyFNh/22B6CydyFNBh/2xxh/22hh/2ydyMh/22B6CyydyMC2Mh/2xx0h/23hh/2dyFsh/2A3Dy2dyFsAh1Dh3Fs〔c〕h/2xyxh/204聯(lián)立方程〔b〕〔c〕得A3Fs,D2Fs2hh3最后一個(gè)次要界限xl上，在均衡微分方程和上述界限條件均已知足的條件下是必然知足的，故不用在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式〔a〕，得應(yīng)力重量xFN12My12Fsxyhh33h0xy3FS14y22hh【3-11】設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。【解答】采納半逆解法求解(1)查驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否知足相容方程〔2-25〕設(shè)應(yīng)力函數(shù)=Ax3Bx2yCxy2Dy3，不論上式中的系數(shù)怎樣取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能知足相容方程〔2-25〕由式〔2-24〕求應(yīng)力重量由體力重量fx0,fyg，將應(yīng)力函數(shù)代入公式〔2-24〕得應(yīng)力重量：2x2fxx2Cx6Dy〔a〕y2yy2fyy6Ax2Bygy〔b〕2xyxy2Bx2Cy〔c〕〔3〕觀察界限條件：由應(yīng)力界限條件確立待定系數(shù)。①對(duì)于主要界限y0，其應(yīng)力界限條件為：(y)y00，(yx)y00〔d〕將式〔d〕代入式〔b〕，〔c〕，可得A0，B=0〔e〕②對(duì)于主要界限yxtan〔斜面上〕，應(yīng)力界限條件：在斜面上沒有面力作用，即fxfy0，該斜面外法線方向余弦為，lsin，mcos.由公式〔2-15〕，得應(yīng)力界限條件sin(x)yxtancos(yx)yxtansin(xy)yxtancos(y)yxtan將式〔a〕、〔b〕、〔c〕、〔e〕代入式〔f〕，可解得

0〔f〕0Cgcot,Dgcot2〔g〕23將式〔e〕、〔g〕代入公式〔a〕、〔b〕、〔c〕，得應(yīng)力重量表達(dá)式：xyxy

gxcot2gycot2gygycot【剖析】本題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式，事實(shí)上，也可經(jīng)過度綱剖析法確立應(yīng)力函數(shù)的形式。按量綱剖析法確立應(yīng)力函數(shù)的形式：

三角形懸臂梁內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力與

，x，y和

g相關(guān)。因?yàn)閼?yīng)力重量的量綱是

L1MT

2，而

x,y的量綱是

L，

g的量綱是

L1MT

2，又是量綱—的數(shù)目，所以，應(yīng)力重量的表達(dá)式只可能是

x和

y的純一項(xiàng)式，即應(yīng)力重量的表達(dá)式只可能是

A

gx,B

gy

這兩種項(xiàng)的聯(lián)合，此中

A，B是量綱一的量，只與

相關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力重量的長(zhǎng)胸懷綱高二次，即為x和y的純?nèi)问剑士杉俣☉?yīng)力函數(shù)的形式為Ax3

Bx2y

Cxy2

Dy3

。【3-12】設(shè)圖

3-5

中簡(jiǎn)支梁只受重力作用，而梁的密度為

，試用§

3-4

中的應(yīng)力函數(shù)〔e〕求解應(yīng)力重量，并畫出截面上的應(yīng)力散布圖。【剖析】與§3-4節(jié)例題對(duì)比，本題多了體力重量fx0,fyg。去除了上界限的面力。依照§3-4，應(yīng)力重量的函數(shù)形式是由資料力學(xué)解答假定的。【解答】按半逆解法求解。〔1〕由§3-4可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為x2323Fy2Ay5By4Hy3Ky2可2(AyByCyD)x(EyGy)6，由§3-410知，必定知足相容方程〔2-25〕。〔2〕應(yīng)力重量的表達(dá)式：xx2(6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K〔a〕2yAy3By2CyDgy〔b〕xyx(3Ay22ByC)(3Ey22FyG)〔c〕【注】y項(xiàng)多了-gy這些應(yīng)力重量是知足均衡微分方程和相容方程的。所以，假如能夠適中選擇常數(shù)A、B、、K，使所有的界限條件都被知足，那么應(yīng)力重量式〔a〕、〔b〕、〔c〕就是正確的解答。〔3〕考慮對(duì)稱性因?yàn)閥z面是梁和荷載的對(duì)稱面，所以應(yīng)力散布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于yz面。這樣x和y是x的偶函數(shù)，而xy是x的奇函數(shù)，于是由式〔a〕和式〔c〕可見EFG0〔d〕〔4〕觀察界限條件：①在主要界限yh2上，應(yīng)精準(zhǔn)知足應(yīng)力界限條件〔2-15〕，(y)yh20,(yx)yh20將應(yīng)力重量式〔b〕、〔c〕代入，并注意到EFG0，可得：h3Ah2BhCDgh08422h3Ah2hDgh08BC2422hBC)0x(3Ah4x(3Ah2hBC)04聯(lián)立此四個(gè)方程，得：A2g,B0,C3g,D0〔e〕h22將式〔d〕、〔e〕代入式〔a〕、〔b〕、〔c〕x6gx2y4gy36Hy2K〔f〕hhy2gy3gy〔g〕2h6gxy23g〔h〕xyh22x②觀察次要界限條件因?yàn)閱栴}的對(duì)稱性，只要考慮此中的一邊，如右側(cè)。右界限xl上，fx0，不論y取任何值(h2yh2)，都有x0。由〔f〕式可見，這是不行能的，除非,H,K均為零。所以，只好用應(yīng)力x的主矢、主矩為零，即/2h/2/2h/2

(x)xldy0〔i〕(x)xlydy0〔j〕將〔f〕式代入式〔i〕得h/262gx2y42gy36Hy2Kdy0h/2hh積分后得K=0〔k〕將式〔f〕代入式〔i〕，得h/262gl2y42gy36Hy2Kydy0h/2hh積分后得Hg(l21)2〔l〕h10將〔k〕、〔l〕代入式〔f〕，得6g24g3l21〔m〕x2xyh2y6g(2)yhh10觀察右界限上切應(yīng)力重量xy的界限條件：右界限上fyglh，那么xy的主矢為h/2dyh/262gxy23gxdyh/2xyxlh/2h2xl可知知足應(yīng)力界限條件。將式〔g〕，〔h〕，〔m〕略加整理，得應(yīng)力重量的最后解答：62gx2y42gy36g(l2X2hhhy22gy3gyh2xy62gxy23gxh2〔5〕應(yīng)力重量及應(yīng)力散布圖

glhfy)y10(n)h322梁截面的寬度取為1個(gè)單位，那么慣性矩I，靜矩是Shy。1282依據(jù)資料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為Mxghl2x2,Fsxghx2那么式〔n〕可寫成：Mx2gy(4y3)xyIh25y2y2y(14h2)FsxSxybI【剖析】比較彈性力學(xué)解答與資料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力xy完整相同，正應(yīng)力x中的第一項(xiàng)與資料力學(xué)結(jié)果相同，第二項(xiàng)為彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)；y表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)力，而資料力學(xué)假定為零。對(duì)于l>>h的淺梁，修正項(xiàng)很小，可忽視不計(jì)。【3-13】圖3-14所示的懸臂梁，長(zhǎng)度為l，高度為h，l?h，在上界限受均布荷載q，試查驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)Ay5Bx2y3Cy3Dx2Ex2y能否成為此問題的解？如能夠，試求出應(yīng)力重量。【解答】用半逆解法求解。〔1〕相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式〔2-25〕，得120Ay24By0要使知足相容方程，應(yīng)使A1B〔a〕5〔2〕求應(yīng)力重量，代入式〔2-24〕x20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2y6Cyy2By32D2Ey10Ay32D2Ey〔b〕xy6Bxy22Ex30Axy22Ex〔3〕觀察界限條件①在主要界限yh2上，應(yīng)精準(zhǔn)到知足應(yīng)力界限條件(y)yh20,即-10Ah32DEh0〔c〕8(y)yh2q,即10Ah32DEhq〔d〕8(yx)yh20,即30Axh22Ex0〔e〕4聯(lián)立式〔a〕、〔c〕、〔d〕、〔e〕，可得：q3,Dq3q,BqA4,E3〔f〕5h4hh②在次要界限x0上，主矢和主矩都為零，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力界限條件：h/2(x)x0dy0知足條件h/2(x)x