二項式定理知識點總結二項式定理知識點總結二項式定理知識點總結xxx公司二項式定理知識點總結文件編號：文件日期：修訂次數：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度二項式定理一、二項式定理：（）等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數。對二項式定理的理解：二項展開式有項字母按降冪排列，從第一項開始，次數由逐項減1到0；字母按升冪排列，從第一項開始，次數由0逐項加1到二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數，等式都成立，通過對取不同的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設，則（）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式展開，得到一個多項式；另一方面，也可將展開式合并成二項式二、二項展開式的通項：二項展開式的通項是二項展開式的第項，它體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項（如含指定冪的項、常數項、中間項、有理項、系數最大的項等）及其系數等方面有廣泛應用對通項的理解：字母的次數和組合數的上標相同與的次數之和為在通項公式中共含有這5個元素，知道4個元素便可求第5個元素例1．等于（）A．B。C。D.例2．（1）求的展開式的第四項的系數；

（2）求的展開式中的系數及二項式系數三、二項展開式系數的性質：①對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即②增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數先增后減，且在中間取得最大值。如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大，即偶數：；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并最大，即③二項展開式的各系數的和等于，令，即；④奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，令，即例題：寫出的展開式中：二項式系數最大的項；項的系數絕對值最大的項；項的系數最大的項和系數最小的項；二項式系數的和；各項系數的和多項式的展開式及展開式中的特定項求多項式的展開式，可以把其中幾項結合轉化為二項式，再利用二項式定理展開。例題：求多項式的展開式求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先寫出各個二項式的通項再分析。例題：求的展開式中的系數例題：（1）如果在的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。（2）求的展開式的常數項。【思維點撥】求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數法確定五、展開式的系數和求展開式的系數和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據所求的展開式系數和特征來定例題：已知，求：（1）；（2）；（3）.六、二項式定理的應用：1、二項式定理還應用與以下幾方面：（1）進行近似計算（2）證明某些整除性問題或求余數（3）證明有關的等式和不等式。如證明：取的展開式中的四項即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計算的處理方法當n不是很大，||比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值。例題：的計算結果精確到的近似值是 （）A． B． C． D．整除性問題或求余數的處理方法①解決這類問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式②用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數寫成除數的倍數與某數的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的通常為1，若為其他數，則需對冪的底數再次構造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了③要注意余數的范圍，對給定的整數，有確定的一對整數和，滿足，其中為除數，為余數，，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數，要注意轉換成正數例題：求除以7所得的余數例題：若為奇數，則被9除得的余數是（）A．0B。2C。7例題：當且>1，求證【思維點撥】這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據題目而定綜合測試一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在的展開式中，的系數為 （）A． B． C． D．2．已知，的展開式按a的降冪排列，其中第n項與第n+1項相等，那么正整數n等于 （） A．4 B．9 C．10 D．113．已知（的展開式的第三項與第二項的系數的比為11∶2，則n是 （）A．10 B．11 C．12 D．134．5310被8除的余數是 （） A．1 B．2 C．3 D．75．6的計算結果精確到的近似值是 （）A． B． C． D．6．二項式(nN)的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則此展開式有理項的項數是 （）A．1 B．2 C．3 D．47．設(3x+x)展開式的各項系數之和為t，其二項式系數之和為h，若t+h=272，則展開式的x項的系數是 （）A． B．1 C．2 D．38．在的展開式中的系數為 （）A．4 B．5 C．6 D．79．展開式中所有奇數項系數之和等于1024，則所有項的系數中最大的值是 （） A．330 B．462 C．680 D．79010．的展開式中，的系數為 （）A．－40 B．10 C．40 D．4511．二項式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項的系數之和為7，且系數最大的一項的值為，則x在[0，2π]內的值為 （） A．或 B．或 C．或 D．或12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中,含x4項的系數是等差數列an=3n－5的 （）A．第2項 B．第11項 C．第20項 D．第24項二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結果.13．展開式中的系數是.14．若，則的值為__________.15．若的展開式中只有第6項的系數最大，則展開式中的常數項是

.16．對于二項式(1-x)，有下列四個命題： ①展開式中T=－Cx； ②展開式中非常數項的系數和是1； ③展開式中系數最大的項是第1000項和第1001項； ④當x=2000時，(1-x)除以2000的余數是1． 其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分74分.17．（12分）若展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列．求n的值；（２）此展開式中是否有常數項，為什么18．（12分）已知()n的展開式中前三項的二項式系數的和等于37，求展式中二項式系數最大的項的系數．19．（12分）是否存在等差數列，使對任意都成立若存在，求出數列的通項公式；若不存在，請說明理由．20．（12分）某地現有耕地100000畝，規劃10年后糧食單產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）21.（12分）設f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展開式中，關于x的一次項系數為11，試問：m、n取何值時，f(x)的展開式中含x