《圓》知識點點的軌跡三種位置關系垂徑定理圓心角定理圓周角定理圓的內接四邊形定理

第1頁/共32頁《圓》知識點點的軌跡第1頁/共32頁1點的軌跡

圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；

2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；

3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線集合：軌跡：第2頁/共32頁點的軌跡圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長2三種位置關系點與圓直線與圓圓與圓第3頁/共32頁三種位置關系點與圓直線與圓圓與圓第3頁/共32頁3點與圓的位置關系點在圓內d<r點C在圓內點在圓上d=r點B在圓上點在此圓外d>r點A在圓外第4頁/共32頁點與圓的位置關系點在圓內d<r點C4直線與圓的位置關系直線與圓相離d>r無交點直線與圓相切d=r有一個交點直線與圓相交d<r有兩個交點第5頁/共32頁直線與圓的位置關系直線與圓相離d>r無交點5圓與圓的位置關系外離（圖1）無交點d>R+r外切（圖2）有一個交點d=R+r相交（圖3）有兩個交點R-r<d<R+r內切（圖4）有一個交點d=R-r內含（圖5）無交點d<R-r第6頁/共32頁圓與圓的位置關系外離（圖1）無交點6垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。第7頁/共32頁垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧第7頁7圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等。

第8頁/共32頁圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等8圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所對的圓心角和圓周角∴∠AOB=2∠ACB圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對的圓周角∴∠C=∠D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形即：在△ABC中，∵OC=OA=OB∴△ABC是直角三角形或∠C=90°注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。第9頁/共32頁圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的9要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.第10頁/共32頁要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；10如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對的弦相等B.這兩個圓心角所對的弧相等C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等D.以上說法都不對第11頁/共32頁如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對11.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．要點詮釋：

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.第12頁/共32頁.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的12弧長、扇形面積公式（1）弧長公式：（2）扇形面積公式：第13頁/共32頁弧長、扇形面積公式（1）弧長公式：第13頁/共32頁13側面展開圖（1）圓柱側面展開圖

=（2）圓錐側面展開圖

=第14頁/共32頁側面展開圖（1）圓柱側面展開圖第14頁/共32頁14垂徑定理及應用

已知，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=3，在過點P的所有的⊙O的弦中，弦長為整數的弦的條數為()

A.2

B.3

C.4

D.5

第15頁/共32頁垂徑定理及應用已知，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=315思路點撥：在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短的弦是經過這一點與直徑垂直的弦.知道這些，就可以利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍.

解：作圖，過點P作直徑AB，過點P作弦，連接OC

則OC=5，CD=2PC

由勾股定理，得

∴CD=2PC=8，又AB=10

∴過點P的弦長的取值范圍是

弦長的整數解為8，9，10，根據圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數的弦共4條.第16頁/共32頁思路點撥：在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短16已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離

第17頁/共32頁已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，C17思路點撥：⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.

解：(1)如圖，當⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OM⊥AB于點M，并延長

MO，交CD于N點.分別連結AO、CO.

又∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.

∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6

=14(cm)

第18頁/共32頁思路點撥：⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線18(2)如圖所示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓

心O的同側)時

同理可證：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行線AB、CD間的距離是14cm或2cm.

總結升華：解這類問題時，要依平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.

總升華：解這類問題時，要依平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.

第19頁/共32頁(2)如圖所示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即19如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心，其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．

第20頁/共32頁如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心，其20思路點撥：本題是垂徑定理的應用.

解：如圖，連接OC

設彎路的半徑為R，則OF=(R-90)m

∵OE⊥CD

∴CF=CD=×600=300(m)

根據勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3002+(R-90)2解得R=545

∴這段彎路的半徑為545m．

總結升華：構造直角三角形，利用垂徑定理、勾股定理，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．

第21頁/共32頁思路點撥：本題是垂徑定理的應用.

解：如圖，連接OC

21舉一反三

【變式1】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．

第22頁/共32頁舉一反三

【變式1】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，22

思路點撥：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m，是否需要采取緊急措施，要求出DE的長，因此要先求半徑R．

解：不需要采取緊急措施

設OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18

R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324

解得R=34(m)

連接OM，設DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+(34-x)2

x2-68x+256=0

解得x1=4，x2=64(不合題意，舍)

∴DE=4

∴不需采取緊急措施．

第23頁/共32頁思路點撥：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m，是否需要采23圓周角與的應用第24頁/共32頁圓周角與的應用第24頁/共32頁24.如圖，在⊙O中，，求∠A的度數.

第25頁/共32頁.如圖，在⊙O中，，求∠A的度數.

25思路點撥：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

解：

.

第26頁/共32頁思路點撥：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心26已知，如圖，⊙O上三點A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，試求⊙O的直徑長.

第27頁/共32頁已知，如圖，⊙O上三點A、B、C，∠ACB=60°，AB=m27

解：如圖所示，作⊙O的直徑AC′，連結C′B

則∠AC′B=∠C=60°

又∵AC′是⊙O的直徑，

∴∠ABC′=90°

即⊙O的直徑為.第28頁/共32頁解：如圖所示，作⊙O的直徑AC′，連結C′B

則∠28如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠1+∠2=___________.

第29頁/共32頁如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠1+∠29

思路點撥：如圖，連接OE，則

第30頁/共32頁思路點撥：如圖，連接OE，則

第330再見第31頁/共32頁再見第31頁/共32頁31感謝您的觀看！第32頁/共32頁感謝您的觀看！第32頁/共32頁32《圓》知識點點的軌跡三種位置關系垂徑定理圓心角定理圓周角定理圓的內接四邊形定理

第1頁/共32頁《圓》知識點點的軌跡第1頁/共32頁33點的軌跡

圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；

2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；

3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線集合：軌跡：第2頁/共32頁點的軌跡圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長34三種位置關系點與圓直線與圓圓與圓第3頁/共32頁三種位置關系點與圓直線與圓圓與圓第3頁/共32頁35點與圓的位置關系點在圓內d<r點C在圓內點在圓上d=r點B在圓上點在此圓外d>r點A在圓外第4頁/共32頁點與圓的位置關系點在圓內d<r點C36直線與圓的位置關系直線與圓相離d>r無交點直線與圓相切d=r有一個交點直線與圓相交d<r有兩個交點第5頁/共32頁直線與圓的位置關系直線與圓相離d>r無交點37圓與圓的位置關系外離（圖1）無交點d>R+r外切（圖2）有一個交點d=R+r相交（圖3）有兩個交點R-r<d<R+r內切（圖4）有一個交點d=R-r內含（圖5）無交點d<R-r第6頁/共32頁圓與圓的位置關系外離（圖1）無交點38垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。第7頁/共32頁垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧第7頁39圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等。

第8頁/共32頁圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等40圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半即：∵∠AOB和∠ACB是所對的圓心角和圓周角∴∠AOB=2∠ACB圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對的圓周角∴∠C=∠D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB是直徑推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形即：在△ABC中，∵OC=OA=OB∴△ABC是直角三角形或∠C=90°注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。第9頁/共32頁圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的41要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.第10頁/共32頁要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；42如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對的弦相等B.這兩個圓心角所對的弧相等C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等D.以上說法都不對第11頁/共32頁如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對43.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．要點詮釋：

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.第12頁/共32頁.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的44弧長、扇形面積公式（1）弧長公式：（2）扇形面積公式：第13頁/共32頁弧長、扇形面積公式（1）弧長公式：第13頁/共32頁45側面展開圖（1）圓柱側面展開圖

=（2）圓錐側面展開圖

=第14頁/共32頁側面展開圖（1）圓柱側面展開圖第14頁/共32頁46垂徑定理及應用

已知，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=3，在過點P的所有的⊙O的弦中，弦長為整數的弦的條數為()

A.2

B.3

C.4

D.5

第15頁/共32頁垂徑定理及應用已知，點P是半徑為5的⊙O內一點，且OP=347思路點撥：在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短的弦是經過這一點與直徑垂直的弦.知道這些，就可以利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍.

解：作圖，過點P作直徑AB，過點P作弦，連接OC

則OC=5，CD=2PC

由勾股定理，得

∴CD=2PC=8，又AB=10

∴過點P的弦長的取值范圍是

弦長的整數解為8，9，10，根據圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數的弦共4條.第16頁/共32頁思路點撥：在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短48已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離

第17頁/共32頁已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，C49思路點撥：⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.

解：(1)如圖，當⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OM⊥AB于點M，并延長

MO，交CD于N點.分別連結AO、CO.

又∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.

∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6

=14(cm)

第18頁/共32頁思路點撥：⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線50(2)如圖所示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓

心O的同側)時

同理可證：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行線AB、CD間的距離是14cm或2cm.

總結升華：解這類問題時，要依平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.

總升華：解這類問題時，要依平行線與圓心間的位置關系，分類討論，千萬別丟解.

第19頁/共32頁(2)如圖所示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即51如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心，其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．

第20頁/共32頁如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心，其52思路點撥：本題是垂徑定理的應用.

解：如圖，連接OC

設彎路的半徑為R，則OF=(R-90)m

∵OE⊥CD

∴CF=CD=×600=300(m)

根據勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3002+(R-90)2解得R=545

∴這段彎路的半徑為545m．

總結升華：構造直角三角形，利用垂徑定理、勾股定理，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．

第21頁/共32頁思路點撥：本題是垂徑定理的應用.

解：如圖，連接OC

53舉一反三

【變式1】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．

第22頁/共32頁舉一反三

【變式1】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，54

思路點撥：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m，是否需要采取緊急