關于空間向量的數乘運算公開課第1頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五回顧aOb結論：空間任意兩個向量都可平移到同一個平面內，成為同一平面內的向量.因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關結論仍適用于它們.ba第2頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五一、空間向量的數乘：

2、空間向量的數乘的性質（1）當時，與同向（2）當時，與反向1、定義：實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘（3）當時，第3頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五3、空間向量的數乘的運算律（3）數乘結合律：（1）數乘分配律1：（2）數乘分配律2：第4頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五1、定義：如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量二、空間中的共線向量

（或平行向量）（3）非零共線向量的傳遞性：（1）零向量與任一向量共線，第5頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五第6頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五（4）空間共線向量定理：對空間任意兩個向量有且只有一個實數，使思考1：為什么要強調思考2：這個定理有什么作用？1、判定兩個向量是否共線2、判定三點是否共線第7頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五OABPa若P為A,B中點,則向量參數表示式推論:如果為經過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數t,滿足等式其中向量叫做直線的方向向量.若則A、B、P三點共線。第8頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五A、B、P三點共線結論1:第9頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五三、共面向量:1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量既可能共面，也可能不共面dbac第10頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五由平面向量基本定理知，如果，是平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使如果空間向量與兩不共線向量，共面，那么可將三個向量平移到同一平面，則有那么什么情況下三個向量共面呢？第11頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五反過來，對空間任意兩個不共線的向量，，如果，那么向量與向量,有什么位置關系？C第12頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五2.共面向量定理：如果兩個向量

，不共線，

則向量與向量，共面的充要條件是存在實數對x,y使推論:空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對x,y使C第13頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五對空間任一點O,有填空：1-x-yxyC③

式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線的向量唯一確定.③由此可判斷空間任意四點共面第14頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五共面向量定理的剖析

如果兩個向量a，b不共線,★

向量c與向量a，b共面存在唯一的一對實數x，y，使

c＝xa＋yb★

c＝xa＋yb向量c與向量a，b共面(性質)(判定)P、A、B、C四點共面結論2:第15頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五解析：由共面向量定理知，要證明P、A、B、C四點共面，只要證明存在有序實數對（x,y）使得例1.已知A、B、C三點不共線，對于平面ABC外的任一點O，確定在下列各條件下，點P是否與A、B、C一定共面？第16頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五第17頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五練習3.下列說法正確的是：(A)平面內的任意兩個向量都共線(B)空間的任意三個向量都不共面(C)空間的任意兩個向量都共面(D)空間的任意三個向量都共面第18頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例2(課本例)如圖，已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O引向量,

,

,,求證：⑴四點E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.

第19頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例2(課本例)已知ABCD，從平面AC外一點O引向量求證：①四點E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.證明：∵四邊形ABCD為①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。第20頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例2(課本例)已知ABCD，從平面AC外一點O引向量求證：①四點E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG。證明：由面面平行判定定理的推論得：②由①知第21頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五AMCGDB例3:如圖,已知空間四邊形ABCD中，向量若M為BC的中點，G為ΔBCD的重心，試用表示下列向量：第22頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例4平行六面體中,點MC=2AM,A1N=2ND,設AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要結合圖形,充分運用空間向量加法和數乘的運算律即可.ABCDA1B1D1C1MN第23頁，共25頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五解:連AN,則MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例4平行六面體中,點MC=2A