2022-2023學年福建省泉州市惠安縣第四中學高二數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數的導函數滿足對恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出函數g（x）的導數，判斷函數的單調性，從而得出答案．【詳解】令由（x+xlnx）f′（x）<f（x），得（1+lnx）f′（x）f（x）<0，g′（x），則g′（x）<0，故g（x）在遞減；故,即,∴故選：A【點睛】本題考查抽象函數的單調性，構造函數，準確構造新函數是突破，準確判斷單調性是關鍵，是中檔題2.雙曲線﹣y2=1的實軸長為（）A．4 B．2 C． D．1參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求出雙曲線的a=2，即可得到雙曲線的實軸長2a．【解答】解：雙曲線﹣y2=1的a=2，則雙曲線的實軸長為2a=4，故選A．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，考查實軸的概念，考查運算能力，屬于基礎題．3.如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．0參考答案：D【考點】用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角．【分析】以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可得和的坐標，進而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直線方向x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）設異面直線A1E與GF所成角的為θ，則cosθ=|cos＜，＞|=0，故選：D4.函數

是

(

)A.奇函數

B.偶函數

C.既是奇函數又是偶函數

D.非奇非偶函數

參考答案：C5.在中，,,則

（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：C6.如果命題“非p為真”，命題“p且q為假”，那么下列選項一定正確的是（

）

A．q為真

B．q為假

C．p或q為真

D．p或q不一定為真參考答案：D7.命題“對任意的”的否定是（

）A.不存在

B.存在C.存在

D.對任意的參考答案：C8.函數的定義域為（ ）A． B．C． D．參考答案：C略9.設偶函數上遞增，則的大小關系是（

） A． B． C． D．參考答案：B2.設，則的大小關系是A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是

參考答案：12.如圖，有組數據，去掉

組（即填A，B，C，D，E中的某一個）后，剩下的四組數據的線性相關系數最大。

參考答案：D組13.已知實數a，b滿足，，則的最小值為

．參考答案：14.在平面直角坐標系xOy中，給定兩個定點M（﹣1，2）和N（1，4），點P在x軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標是

．參考答案：1【考點】兩直線的夾角與到角問題；直線的斜率．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓．【分析】∠MPN為弦MN所對的圓周角，故當圓的半徑最小時，∠MPN最大，設過MN且與x軸相切的圓與x軸的切點為P，則P點的橫坐標即為所求．【解答】解：過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的中垂線y=3﹣x上，設圓心E（a，3﹣a），∠MPN為弦MN所對的圓周角，故當圓的半徑最小時，∠MPN最大．由于點P在x軸上移動，故當圓和x軸相切時，∠MPN最大，此時，切點P（a，0），圓的半徑為|a|．因為M，N，P三點在圓上，∴EN=EP，∴（a+1）2+（a﹣2）2=（a﹣1）2+（a﹣4）2，整理可得，a2+6a﹣7=0．解方程可得a=1，或a=﹣7（舍去），故答案為：1．【點評】本題主要考查了圓的性質圓外的角小于圓周角在求解角的最值中的應用，屬于基礎題．15.設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則__________．參考答案：由余弦定理得，，又，聯立兩式得，，.16.某少數民族刺繡有著悠久歷史，下圖中的（1）（2）（3）（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成的，小正方形越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形，則f（5）=，f（n）=．參考答案：41,2n2﹣2n+1.【考點】F1：歸納推理．【分析】先分別觀察給出正方體的個數為：1，1+4，1+4+8，…總結一般性的規律，將一般性的數列轉化為特殊的數列再求解．【解答】解：根據前面四個發現規律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）這n﹣1個式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．當n=5時，f（5）=41．故答案為：41；2n2﹣2n+1．17.已知正四棱錐S-ABCD所有棱長均為2,若E為棱SC的中點,則異面直線BE與SA所成角的正切值為______________。參考答案：設正方形ABCD的中心為O，連接EO，OB，則即是異面直線與所成角.易知，所以在中，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．（1）當a=4時，求函數g（x）的極大值；（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的方程；（3）若函數g（x）在上無極值，且g（x）在上的最大值為3，求a的值．參考答案：【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出g（x），求出導函數，根據導函數得出函數的極值即可；（2）求出導函數，根據導函數和切線方程的關系求解即可；（3）求出g'（x）=3x2+1﹣a，函數g（x）在上無極值，得出1﹣a≥0或4﹣a≤0，分類討論即可．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=3x2﹣3，當﹣1＜x＜1時，g'（x）＜0，當x＜﹣1或s＞1時，g'（x）＞0，∴g（x）的極大值為g（﹣1）=2；（2）f'（x）=3x2+1，f'（1）=4，f（1）=2，∴切線l的方程為y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2；（3）g'（x）=3x2+1﹣a，當1﹣a≥0時，g'（x）≥0，g（x）遞增；∴最大值為g（1）=2﹣a=3，a=﹣1；當4﹣a≤0時，g'（x）≤0，g（x）遞減；∴最大值為g（0）=0≠3，綜上a=﹣1．19.(12分)已知橢圓方程為，它的一個頂點為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：（1）設，依題意得

…………2分解得

…….3分橢圓的方程為

………….4分（2）①當AB

………5分②當AB與軸不垂直時，設直線AB的方程為，由已知得

……..6分代入橢圓方程，整理得

………7分

當且僅當時等號成立，此時…10分③當

………..11分綜上所述：，此時面積取最大值……12分20.在兩個正數a，b之間插入一個數x，可使得a，x，b成等差數列，若插入兩個數y，z，可使得a，y，z，b成等比數列，求證：x+1≥．參考答案：【考點】8G：等比數列的性質．【分析】y，z為正數，可得≤，要證明x+1≥．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．根據a，x，b成等差數列，a，y，z，b成等比數列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0，=n＞0，可得2x≥y+z?m3+n3≥m2n+mn2?（m﹣n）2≥0，【解答】證明：∵y，z為正數，∴≤，要證明x+1≥．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差數列，a，y，z，b成等比數列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0，=n＞0，則2x≥y+z?m3+n3≥m2n+mn2．?（m﹣n）2≥0，上式顯然成立，因此：x+1≥．21.已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1與x=2處都取得極值．（Ⅰ）求a，b的值及函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若對x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范圍．參考答案：【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6B：利用導數研究函數的單調性；R6：不等式的證明．【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函數的最大值為f（﹣1），要使不等式恒成立，既要證f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，由題意：即解得∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，∴f（x）的減區間為（﹣1，2）；增區間為（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞增；在（﹣1，2）上單調遞減；在（2，+∞）上單調遞增．∴x∈[﹣2，3]時，f（x）的最大值即為f（﹣1）與f（3）中的較大者.；∴當x=﹣1時，f（x）取得最大值．要使，只需，即：2c2＞7+5c解得：c＜﹣1或．∴c的取值范圍為．22.已知m∈R，設P：和是方程－ax－2＝0的兩個根，不等式|m－5|≤|－|對任意實數a∈[1,2]恒成立；Q：函數f(x)＝3＋