82/82第一章緒論及基本概念一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標：明確材料力學的任務，理解變形體的的基本假設，掌握桿件變形的基本形式。教學內(nèi)容：\o\(○,1)材料力學的特點\o\(○,2)材料力學的任務\o\(○,3)材料力學的研究對象\o\(○,4)變形體的基本假設\o\(○,5)材料力學的基本變形形式二、重點難點構(gòu)件的強度、剛度、穩(wěn)定性的概念；桿件變形的基本形式、變形體的基本假設。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時0.5學時五、講課提綱1、材料力學的任務材料力學是研究構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性計算的學科。工程中各種機械和結(jié)構(gòu)都是由許多構(gòu)件和零件組成的。為了保證機械和結(jié)構(gòu)能安全正常地工作，必須要求全部構(gòu)件和零件在外力作用時具有一定的承載能力，承載能力表現(xiàn)為1.1強度是指構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件在外力作用下不被破壞，表明構(gòu)件具有足夠的強度。1.2剛度是指構(gòu)件抵抗變形的能力。構(gòu)件在外力作用下發(fā)生的變形不超過某一規(guī)定值，表明構(gòu)件具有足夠的剛度。1.3穩(wěn)定性是指構(gòu)件承受在外力作用下，保持原有平衡狀態(tài)的能力，構(gòu)件在外力作用下，能保持原有的平衡形態(tài)，表明構(gòu)件具有足夠的穩(wěn)定性。1.4材料力學的任務：以最經(jīng)濟為代價，保證構(gòu)件具有足夠的承載能力。通過研究構(gòu)件的強度、剛度、穩(wěn)定性，為構(gòu)件選擇合適的材料、確定合理的截面形狀和尺寸提供計算理論。2、材料力學的研究對象：可變形固體均勻連續(xù)性假設:假設變形固體內(nèi)連續(xù)不斷地充滿著均勻的物質(zhì)，且體內(nèi)各點處的力學性質(zhì)相同。各向同性假設:假設變形固體在各個方向上具有相同的力學性質(zhì)。小變形假設:假設變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形與構(gòu)件原有尺寸相比是很微小的，稱“小變形”。在列平衡方程時，可以不考慮外力作用點處的微小位移，而按變形前的位置和尺寸進行計算。3、桿件的幾何特征3.1軸線：截面形心的連線3.2橫截面：垂直于軸線的截面3.3桿的分類：4、桿件變形的基本形式桿件在不同受力情況下，將產(chǎn)生各種不同的變形，但是，不管變形如何復雜，常常是四種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲）或是它們的組合。第二章軸向拉伸和壓縮一、教學目標和教學內(nèi)容1、教學目標正確理解內(nèi)力、應力、應變等基本概念，熟練掌握截面法。正確理解并熟練掌握軸向拉壓正應力公式、胡克定律、強度條件，掌握拉壓桿的強度計算方法。掌握拉壓時材料的力學性能，弄清材料力學解決問題的思路和方法。2、教學內(nèi)容\o\(○,1)截面法、內(nèi)力、應力\o\(○,2)軸力、軸力圖\o\(○,3)正應力、應力集中的概念\o\(○,4)軸向拉（壓）時斜截面上的應力\o\(○,5)拉壓桿的變形、胡克定律、泊松比⑥拉壓桿的強度計算⑦材料拉壓時的力學性能⑧拉壓桿件系統(tǒng)的超靜定問題二、重點難點1、內(nèi)力和截面法，軸力和軸力圖。2、應力的概念，軸向拉壓時橫截面上的應力，軸向拉壓時的變形。3、材料拉、壓時的力學性能。4、軸向拉壓的強度計算。5、應力集中的概念，拉、壓靜不定問題。三、教學方式采用啟發(fā)式教學和問題式教學法結(jié)合，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題，激發(fā)學生的學習熱情。四、建議學時7學時五、講課提綱2.1軸向拉伸(壓縮)的概念受力特點：作用于桿件上外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合。變形特點：構(gòu)件沿軸線方向的伸長或縮短。2.2軸力、軸力圖1、內(nèi)力、截面法內(nèi)力的概念內(nèi)力是構(gòu)件因受外力而變形，其內(nèi)部各部分之間因相對位移改變而引起的附加內(nèi)力。截面法截面法四部曲：截（切開）、取（取分離體）、代（代替）、平（平衡）2、軸力、軸力圖軸向拉壓時的內(nèi)力——軸力軸力的符號規(guī)則——軸力背離截面時為正，指向截面為負。軸力圖2.3應力與圣維南原理1、應力的概念：定義：內(nèi)力在截面上的分布集度。數(shù)學表示：應力分量；正應力的代數(shù)符號規(guī)定：拉應力為正，壓應力為負。應力的單位：（2）2、軸向拉（壓）時橫截面上的正應力：應力計算公式：公式的適用范圍：（1）外力作用線必須與桿軸線重合，否則橫截面上應力將不是均勻分布；(2)距外力作用點較遠部分正確，外力作用點附近應力分布復雜，由于加載方式的不同，只會使作用點附近不大的范圍內(nèi)受到影響（圣維南原理）。因此，只要作用于桿端合力作用線與桿軸線重合，除力作用處外，仍可用該公式計算。(3)必須是等截面直桿，否則橫截面上應力將不是均勻分布，當截面變化較緩慢時，可近似用該公式計算。3、圣維南原理：外力作用在桿端的方式不同，只會使桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內(nèi)應力分布受到影響。4、軸向拉（壓）桿斜截面上的應力2.4變形、胡克定律、泊松比1、縱向變形、胡克定律：絕對變形胡克定律E——彈性模量（）—抗拉（壓）剛度，反映桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力相對變形（線應變）拉伸為“+”，壓縮為“-”在彈性范圍內(nèi)：胡克定律2、橫向變形及泊松比：絕對變形橫向尺寸相對變形（橫向應變）拉伸為“-”，壓縮為“+”柏松比（橫向變形系數(shù)）實驗表明：在彈性范圍內(nèi)是反映材料性質(zhì)的常數(shù)，由實驗確定，一般在-1～-0.5之間。2.5材料在拉伸和壓縮時的力學性能1、低碳鋼拉伸時的力學性能：試件：圓截面：矩形截面：=11.3=5.65—工作段長度（標距）—直徑—橫截面積低碳鋼拉伸時變形發(fā)展的四個階段：（1）彈性階段（）應力特征值：比例極限—材料應力應變成正比的最大應力值（服從虎克定律）彈性極限—材料只出現(xiàn)彈性變形的應力極限值成比（比例系數(shù)）E為與材料有關的比例常數(shù)，隨材料不同而異。當時，，由此說明表明材料的剛性的大小；說明幾何意義。（2）屈服階段（）當應力超過彈性極限后，應變增加很快，但應力僅在一微小范圍波動，這種應力基本不變，應變不斷增加，從而明顯地產(chǎn)生塑性變形的現(xiàn)象稱為屈服（流動）。現(xiàn)象：磨光試件表面出現(xiàn)與軸線成45傾角條紋——滑移線，是由于材料晶格發(fā)生相對滑移所造成。材料產(chǎn)生顯著塑性變形，影響構(gòu)件正常使用，應避免出現(xiàn)。應力特征值：屈服極限——衡量材料強度的重要指標（3）強化階段（）強化現(xiàn)象：材料恢復抵抗變形的能力，要使應變增加，必須增大應力值。曲線表現(xiàn)為上升階段。應力特征性：強度極限——材料能承受的最大應力值。冷作硬化——材料預拉到強化階段，使之發(fā)生塑性變形，然后卸載，當再次加載時彈性極限和屈服極限提高、塑性降低的現(xiàn)象。（4）頸縮階段（）在某一局部范圍內(nèi)，A（急劇）、，用A計算的，試件被拉斷。兩個塑性指標：延伸率（伸長率）：材料分類截面收縮率：2、其它材料拉伸時的力學性能：16鋼也有明顯的四個階段；H62（黃銅）沒有明顯的屈服階段，另三階段較明顯；T10A（高碳鋼）沒有屈服和頸縮階段，只有彈性和強化階段。鑄鐵拉伸時是一微彎曲線，沒有明顯的直線部分，拉斷前無屈服現(xiàn)象，拉斷時變形很小是典型的脆性材料。對于沒有明顯的屈服階段的材料，常以產(chǎn)生0.2%的塑性變形所對應的應力值作為屈服極限，稱條件屈服極限，用表示。3、材料壓縮時的力學性能：低碳鋼壓縮時的力學性能：壓縮時曲線，在屈服階段以前與拉伸時相同，都與拉伸時相同，當達到后，試件出現(xiàn)顯著的塑性變形，越壓越短，橫截面增大，試件端部由于與壓頭之間摩擦的影響，橫向變形受到阻礙，被壓成鼓形。得不到壓縮時的強度極限。因此，鋼材的力學性質(zhì)主要時用拉伸試驗來確定。鑄鐵壓縮時的力學性能：與塑性材料相反脆性材料在壓縮時的力學性質(zhì)與拉伸時有較大差別。4、材料在拉伸與壓縮時力學性質(zhì)特點：當應力不超過一定限度（不同材料其限度不同）時，成正比；塑性材料的抗拉強度極限比脆性材料高，宜作受拉構(gòu)件；表示其強度特征的是和，而是桿件強度設計的依據(jù)；脆性材料的抗壓強度極限遠大于其抗拉強度極限，宜作受壓構(gòu)件；唯一表示強度特征的是，它也是桿件強度設計的依據(jù)。2.6許用應力與強度條件1、極限應力、安全系數(shù)、許用應力：極限應力：材料破壞時的應力稱為極限應力。安全系數(shù)、許用應力—安全系數(shù)（大于1的數(shù)）構(gòu)件工作時允許達到的最大應力值稱許用應力。許用應力應低于極限應力。2、強度條件：為了保證構(gòu)件有足夠的強度，桿內(nèi)最大工作應力不得超過材料在拉壓時的許用應力，即它可解決工程上的三類強度問題：強度校核設計截面確定許可載荷2.7應力集中的概念局部應力——截面突變處某些局部小范圍內(nèi)的應力。應力集中——在截面突變處出現(xiàn)局部應力劇增現(xiàn)象。應力集中對于塑性、脆性材料的強度產(chǎn)生截然不同的影響，脆性材料對局部應力的敏感性很強，而局部應力對塑性材料的強度影響很小。2.8拉伸和壓縮靜不定問題1、靜不定問題的解法：基本思路：靜力學關系，變形幾何關系，物理關系。解超靜定問題，除列出平衡方程外，還要通過研究變形和內(nèi)力的關系建立足夠數(shù)量的補充方程，為此要找出變形的協(xié)調(diào)條件，即保持結(jié)構(gòu)連續(xù)所必須滿足的變形幾何條件，在通過變形的物理條件（內(nèi)力與變形的關系）就可以列出所需要的補充方程。2、裝配應力：桿件制成后，其尺寸有微小誤差是難免的，這種誤差使靜定結(jié)構(gòu)的幾何形狀發(fā)生微小改變，而不會引起內(nèi)力。但對超靜定結(jié)構(gòu)，這種誤差就會使桿件在承受載荷前產(chǎn)生較大的內(nèi)力。由于加工誤差，強行裝配而引起的內(nèi)力稱為裝配內(nèi)力，與之相應的應力叫裝配應力。計算裝配應力的關鍵在于根據(jù)結(jié)構(gòu)的變形幾何關系建立補充方程。這類超靜定問題的變形幾何關系中一定有一項與尺寸誤差有關。3、溫度應力：熱脹冷縮是金屬材料的通性，在靜定結(jié)構(gòu)中桿件可以自由變形，溫度均勻變化所產(chǎn)生的伸縮，不會在桿內(nèi)引起內(nèi)力。但在超靜定結(jié)構(gòu)中，桿件的伸縮受到部分或全部約束，溫度變化將會引起內(nèi)力，和它相應的應力稱為溫度應力。扭轉(zhuǎn)與剪切一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標掌握扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計算方法；正確理解并熟練掌握扭轉(zhuǎn)剪應力、扭轉(zhuǎn)變形的計算方法、剪切胡克定律和剪應力互等定理、扭轉(zhuǎn)強度和扭轉(zhuǎn)剛度計算。教學內(nèi)容\o\(○,1)外力偶矩的計算，扭矩、扭矩圖，純剪切。\o\(○,2)圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力和變形，扭轉(zhuǎn)的強度條件和剛度條件。\o\(○,3)扭轉(zhuǎn)的強度計算和剛度計算。\o\(○,4)扭轉(zhuǎn)靜不定問題，非圓截面桿扭轉(zhuǎn)。二、重點難點重點：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上剪應力分布規(guī)律和強度，圓軸扭轉(zhuǎn)變形時的剛度和變形（相對扭轉(zhuǎn)角）計算。難點：扭轉(zhuǎn)剪應力推導過程重點處理：通過例子，關鍵理解是指整個軸上的面上的最外邊緣點（等截面）；對變截面可用；嚴格區(qū)分剛度和扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別難點處理：結(jié)合、對比的推導過程，和薄壁圓筒橫截面上的推導，讓學生思考可能采用的方法，然后在講解。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題，達到課堂互動。四、建議學時4學時五、講課提綱3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實例桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特點是：在桿件上作用著大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩組平行力偶系。桿件扭轉(zhuǎn)變形的特點是：當桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，任意兩個橫截面將繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對角位移，稱為該兩個橫截面的扭轉(zhuǎn)角，用表示。3.2扭矩的計算和扭矩圖1、外力偶矩的計算：已知軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速，則外力偶矩（N?m）P——功率，單位為千瓦（）n——轉(zhuǎn)速，單位為2、扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力——扭矩：扭矩：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是作用在該截面上的力偶，該力偶之矩稱扭矩（）。扭矩的計算方法——截面法（假設扭矩為正，即設正法）扭矩的符號規(guī)則——右手螺旋法則扭矩圖:表示桿件各橫截面上的扭矩沿桿軸的變化規(guī)律。3.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力與強度條件1、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應力①實驗研究：變形特點：（1）各縱向線傾斜了同一微小角度，矩形歪斜成平行四邊形；（2）各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是各圓周線繞桿軸線轉(zhuǎn)動了不同的角度。應力分布：橫截面上只有切于截面的剪應力，它組成與外加扭矩相平衡的內(nèi)力系T。因壁厚t很小，假設均勻分布且沿各點圓周的切線方向。由平衡條件得②切應力互等定理：從薄壁中，用兩個橫截面和兩個縱截面取出一個單元體，如圖所示。由平衡方程得結(jié)論：在單元體互相垂直的兩個平面上，剪應力必然成對存在，且數(shù)值相等；二者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離兩平面的交線，這種關系稱切應力互等定理。該定理具有普遍性，不僅對只有剪應力的單元體正確，對同時有正應力作用的單元體亦正確。規(guī)定：使單元體繞其內(nèi)部任意點產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢的剪應力為正，反之為負。單元體上只要剪應力而無正應力的情況稱為純剪切應力狀態(tài)。③剪切胡克定律：切應變的定義：在切應力作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個直角的改變量稱為切應變。剪切胡克定律：實驗表明，當剪應力不超過材料的剪切比例極限時，與成正比，即G——剪切彈性模量2、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力及強度計算①變形幾何關系假設圓軸各橫截面仍保持為一平面，且其形狀大小不變；橫截面上的半徑亦保持為一直線，這個假設稱平面假設。根據(jù)實驗現(xiàn)象還可推斷，與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的情況一樣，圓軸扭轉(zhuǎn)時其橫截面上不存在正應力，，僅有垂直于半徑方向的切應力作用。②物理關系③靜力關系，——單位長度上的扭轉(zhuǎn)角（同一截面上為一定值）——截面對形心的極慣性矩（與截面形狀、大小有關的幾何量）∴式中：——抗扭截面模量（系數(shù)）———實心軸（內(nèi)外徑之比）——空心軸4、強度計算強度條件：對等直圓軸：3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算1、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩橫截面相對轉(zhuǎn)過的角度在，軸為等截面條件下（弧度）——截面的抗扭剛度（與成反比、反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力）2、剛度條件（）剛度條件：可解決三類剛度問題。3.5扭轉(zhuǎn)超靜定問題第四章彎曲內(nèi)力一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標①掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念；②熟練掌握用截面法求彎曲內(nèi)力；③熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖；④利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系繪制剪力圖和彎矩圖；⑤掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。教學內(nèi)容\o\(○,1)平面彎曲等基本概念；\o\(○,2)截面法及簡便方法求彎曲內(nèi)力；\o\(○,3)剪力方程和彎矩方程、繪制剪力圖和彎矩圖；\o\(○,4)用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系繪制剪力圖和彎矩圖；\o\(○,5)疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。二、重點難點1、平面彎曲的概念；2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負符號規(guī)則；3、剪力圖和彎矩圖；4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關系；5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時2學時五、講課提綱4.1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖1、平面彎曲的概念彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷或位于縱向平面內(nèi)的力偶作用下，相鄰兩橫截面繞垂直于軸線的軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動的變形。梁：以彎曲為主要變形形式的構(gòu)件。平面彎曲：桿變形之后的軸線所在平面與外力所在平面重合或平行的彎曲變形。2、梁的計算簡圖①幾何結(jié)構(gòu)的簡化以梁的軸線來代替梁，忽略構(gòu)造上的枝節(jié)，如鍵槽、銷孔、階梯等。②載何的簡化載荷按作用方式可以簡化成三類1、集中力2、分布載荷3、集中力偶③約束的簡化三種基本形式1、可動鉸支座2、固定鉸支座3、固定端④靜定梁及其分類1、簡支梁2、外伸梁3、懸臂梁4.2梁的內(nèi)力及內(nèi)力圖①彎曲內(nèi)力根據(jù)梁的平衡條件，可以求出靜定梁在載荷作用下的支反力，再應用載面法，求得梁的各個載面上的彎曲內(nèi)力。、M正負號規(guī)定：使梁段繞其內(nèi)任意點有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力規(guī)定為正，反之為負；使梁段的下部產(chǎn)生拉伸而上部產(chǎn)生壓縮的彎矩M規(guī)定為正，反之為負。②用直接法計算梁內(nèi)力的規(guī)律橫截面上的剪力在數(shù)值上等于此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力在平行于橫截面方向投影的代數(shù)和。截面左側(cè)向上外力，或右側(cè)向下外力，產(chǎn)生正的剪力；反之產(chǎn)生負的剪力。左上右下，為正；左下右上，為負。橫截面上的彎矩M在數(shù)值上等于此截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力產(chǎn)生負的彎矩。截面左側(cè)順時針轉(zhuǎn)向外力偶，或右側(cè)逆時針轉(zhuǎn)向外力偶，產(chǎn)生正的彎矩；反之產(chǎn)生負的彎矩。上正下負；左順右逆，為正。③內(nèi)力圖為了形象地表明梁各橫截面上的、沿梁軸線的變化情況，在設計計算中常把各橫截面上的、用圖形來表示，分別稱為剪力圖和彎矩圖。由截面法和平衡條件可知，在集中力、集中力偶和分布載荷的起止點處，剪力方程和彎矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點均為剪力方程和彎矩方程的分段點。求出分段點處橫截面上剪力和彎矩的數(shù)值（包括正負號），并將這些數(shù)值標在相應位置處。分段點之間的圖形可根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。第五章彎曲應力一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標掌握梁純彎曲時橫截面上正應力計算公式的推導過程，理解推導中所作的基本假設。理解橫力彎曲正應力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。掌握各種形狀截面梁（矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形）橫截面上切應力的分布和計算。熟練彎曲正應力和切應力強度條件的建立和相應的計算。了解什么情況下需要對梁的彎曲切應力進行強度校核。從彎曲強度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強度的若干措施。理解等強度梁的概念。教學內(nèi)容梁純彎曲和橫力彎曲時橫截面上的正應力梁橫力彎曲時橫截面上的切應力提高彎曲強度的若干措施。二、重點難點重點：純彎曲梁橫截面上正應力公式的分析推導。橫力彎曲橫截面上正應力的計算，最大拉應力和最大壓應力的計算。彎曲的強度計算。彎曲橫截面上的切應力。難點：彎曲正應力、切應力推導過程和彎曲中心的概念。重點處理：從彎曲變形的特點出發(fā)，讓學生了解兩個應力的分布規(guī)律，并對兩個應力的分布進行對比，加強學生理解和記憶。分析彎曲正應力、切應力公式中各項的意義，計算方法，結(jié)合T型截面梁鑄鐵梁.這一典型問題分析，并在作業(yè)中進一步強化訓練。難點處理：結(jié)合梁彎曲變形的特點，推導兩個應力公式，在推導中，充分利用前面的知識，發(fā)揮學生的主動性，讓學生自己選擇解決方法，加強學生對內(nèi)容的掌握。對照,的推導消化難點，以學生理解這一推導思路。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時4學時五、講課提綱5.1彎曲正應力1、純彎曲時梁的橫截面上的正應力圖所示簡支梁，載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的彎曲為平面彎曲，其計算簡圖如圖所示。從梁的剪力圖和彎矩圖可以看到，和梁段的各橫截面上，剪力和彎矩同時存在，這種彎曲稱為橫力彎曲；而在梁段內(nèi)，橫截面上則只有彎矩而沒有剪力，這種彎曲稱為純彎曲。aaAaaABCDPPMMxx可以知道，梁的各截面上彎矩是不同的；純彎曲時，梁的各截面上彎矩為一不變的常數(shù)值，即=常量。下面，首先分析梁在純彎曲時橫截面上的彎曲正應力。①變形幾何關系aaabbmmnn實驗觀察（1）梁上的縱線（包括軸線）都彎曲成圓弧曲線，靠近梁凹側(cè)一邊的縱線縮短，而靠近凸側(cè)一邊的縱線伸長。（2）梁上的橫線仍為直線，各橫線間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直。（3）在梁的縱線伸長區(qū)，梁的寬度減小；而在梁的縱線縮短區(qū)，梁的寬度增大。中性層：梁內(nèi)某一層纖維既不伸長也不縮短，因而這層纖維既不受拉應力，也不受壓應力，這層纖維稱為中性層。中性軸：中性層與梁橫截面的交線。如圖中性軸中性軸根據(jù)上述實驗觀察到的純彎曲的變形現(xiàn)象，經(jīng)過判斷、綜合和推理，可作出如下假設：（1）梁的橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線剛性地轉(zhuǎn)了一個角度。這就是彎曲變形的平面假設。（2）梁的縱向纖維間無擠壓，只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或壓縮。縱線的伸長為而其線應變?yōu)橛捎谥行詫拥冗h的各縱向纖維變形相同，所以，公式線應變即為橫截面上坐標為的所有各點處的縱向纖維的線應變。②物理關系根據(jù)梁的縱向纖維間無擠壓，而只是發(fā)生簡單拉伸或壓縮的假設。當橫截面上的正應力不超過材料的比例極限時，可由胡克定律得到橫截面上坐標為處各點的正應力為該式表明，橫截面上各點的正應力與點的坐標y成正比，由于截面上為常數(shù)，說明彎曲正應力沿截面高度按線性規(guī)律分布，如圖所示。中性軸上各點的正應力均為零，中性軸上部橫截面的各點均為壓應力，而下部各點則均為拉應力。③靜力關系在純彎情況下，梁橫截面上只有彎矩，而軸力和皆為零。由，有將物理關系代入上式可得：由于彎曲時，必然有此式表明，中性軸z通過截面形心。同時，由，可得其中稱為截面對y、z軸的慣性積。使的一對互相垂直的軸稱為主軸。而z軸又通過橫截面形心，所以z軸為形心主軸。最后，根據(jù)，將物理關系代入下式其中是純彎曲時梁軸線變形后的曲率；稱為截面對z軸的慣性矩；稱為截面的抗彎剛度。，梁彎曲的曲率與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。將該式代入式物理關系，即可得到純彎曲時梁的橫截面上的正應力計算公式設為橫截面上離中性軸最遠點到中性軸的距離，則截面上的最大正應力為如令則截面上最大彎曲正應力可以表達為式中，稱為截面圖形的抗截面模量。它只與截面圖形的幾何性質(zhì)有關，其量綱為。矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：高為，寬為的矩形截面：直徑為的圓截面：至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄Ⅱ的型鋼表中查找。若梁的橫截面對中性軸不對稱，則其截面上的最大拉應力和最大壓應力并不相等，例如形截面。這時，應把和分別代入正應力公式，計算截面上的最大正應力。最大拉應力為：最大壓應力為：2、橫力彎曲時的正應力對于細長梁（例如矩形截面梁，，為梁長，為截面高度），切應力對正應力和彎曲變形的影響很小，可以忽略不計。而且，用純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式，即3、梁的正應力強度條件為保證梁的安全，梁的最大正應力點應滿足強度條件式中為材料的許用應力。對于等截面直梁，若材料的拉、壓強度相等，則最大彎矩的所在面稱為危險截面，危險截面上距中性軸最遠的點稱為危險點。此時強度條件可表達為對于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉強度和抗壓強度相差甚大，所以要對最大拉應力點和最大壓應力點分別進行校核。5.2梁橫截面上的切應力1、梁橫截面上的切應力①矩形截面梁的彎曲切應力當截面高度大于寬度時，關于矩形截面上的切應力分布規(guī)律，可作如下假設：（1）截面上任意一點的切應力都平行于剪力的方向。（2）切應力沿截面寬度均勻分布，即切應力的大小只與坐標有關。從圖所示橫力彎曲的梁上截取長為的微段梁式中，為橫截面上距中性軸為的橫線以外的面積，如圖所示。式中積分是的截面積對矩形截面中性軸的靜矩。因此，上式簡化為同理，因六面體在方向的平衡，即，將和代入上式，有整理、化簡后有根據(jù)梁內(nèi)力間的微分關系，可得由切應力互等定理，可以推導出矩形截面上距中性軸為處任意點的切應力計算公式為當時，即矩形截面的上、下邊緣處切應力；當0時，截面中性軸上的切應力為最大值：說明矩形截面上的最大彎曲切應力為其平均切應力的倍。②工字形截面、T形截面、槽形截面梁的彎曲切應力2.2.1腹板上切應力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。實驗表明，在翼緣上切應力很小，在腹板上切應力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如圖所示。腹板上切應力仍然沿用矩形截面梁彎曲切應力計算公式其中b取腹板的寬度。最大切應力在中性軸上，其值為式中（S）為中性軸一側(cè)截面面積對中性軸的靜矩。對于軋制的工字鋼，式中的可以從型鋼表中查得。2.2.2翼緣上切應力計算結(jié)果表明，腹板承擔的剪力約為（0.95~0.97）Q，因此翼緣上的豎向切應力很小，可忽略不計。水平切應力③圓形截面梁在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線兩端處，切應力的方向必切于圓周，并相交于y軸上的c點。因此，橫線上各點切應力方向是變化的。但在中性軸上各點切應力的方向皆平行于剪力Q，設為均勻分布，其值為最大。式中，即圓截面的最大切應力為其平均切應力的倍。2、切應力強度條件對于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時，焊接或鉚接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還需進行彎曲切應力強度校核。等截面直梁的一般發(fā)生在截面的中性軸上，此處彎曲正應力，微元體處于純切應力狀態(tài)，其強度條件為式中為材料的許用切應力。此時，一般先按正應力的強度條件選擇截面的尺寸和形狀，然后按切應力強度條件校核。5.3梁的合理設計1、合理安排梁的受力情況梁的彎矩與載荷的作用位置和梁的支承方式有關，適當調(diào)整載荷或支座的位置，可以降低梁的最大彎矩的數(shù)值.2、選擇合理截面形狀由知梁可能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比，W越大越有利，而W又與截面面積和形狀有關。因此應選擇較大的截面（工字形、槽形>矩形>圓形）。應使截面的上、下緣應力同時達到材料的相應容許應力。3、采用變截面梁在橫力彎曲下，彎矩是沿梁軸變化的。因此在按最大彎矩設計的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面材料的強度均未得到充分利用。為了節(jié)省材料，減輕梁的重量，可根據(jù)彎矩沿梁軸的變化情況，將梁設計成變截面的。若變截面梁的每一橫截面上的最大正應力均等于材料的許用應力，這種梁就稱為等強度梁。在工程實踐中，由于構(gòu)造和加工的關系，很難做到理論上的等強度梁，但在很多情況下，都利用了等強度梁的概念即在彎矩大的梁段使其橫截面相應地大一些。例如廠房建筑中廣泛使用的魚腹梁和機械工程中常見的階梯軸等。第六章彎曲變形一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用變形比較法求解靜不定梁。教學內(nèi)容有關彎曲變形的基本概念積分法和疊加法明確疊加原理力法求解靜不定梁。重點難點梁的變形分析。撓曲軸近似微分方程。積分法求變形。疊加法求梁的變形。靜不定梁。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時6學時五、講課提綱6.1彎曲變形的基本概念關于梁的彎曲變形，可以從梁的軸線和橫截面兩個方面來研究。圖示一根任意梁，以變形前直梁的軸線為軸，垂直向下的軸為軸，建立直角坐標系。當梁在面內(nèi)發(fā)生彎曲時，梁的軸線由直線變?yōu)槊鎯?nèi)的一條光滑連續(xù)曲線，稱為梁的撓曲線，或彈性曲線。第六章中曾經(jīng)指出，梁彎曲后橫截面仍然垂直于梁的撓曲線，因此，當梁發(fā)生彎曲時梁的各個截面不僅發(fā)生了線位移，而且還產(chǎn)生了角位移，如圖7.1所示。橫截面的形心在垂直于梁軸（軸）方向的線位移，稱為橫截面的撓度，并用符號表示。關于撓度的正負符號，在圖示坐標系下，規(guī)定撓度向下（與軸同向）為正；向上（與軸反向）為負。應該指出，由于梁在彎曲時長度不變，橫截面的形心在沿梁軸方向也存在線位移。但在小變形條件下，這種位移極小，可以忽略不計。梁彎曲時，各個截面的撓度是截面形心坐標的函數(shù)，即有上式是撓曲線的函數(shù)表達式，亦稱為撓曲線方程。橫截面的角位移，稱為截面的轉(zhuǎn)角，用符號表示。關于轉(zhuǎn)角的正負符號，規(guī)定在圖示坐標系中從軸順時針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角為正的；反之，為負的。顯然，轉(zhuǎn)角也是隨截面位置不同而變化的，它也是截面位置的函數(shù)，即此式稱為轉(zhuǎn)角方程。工程實際中，小變形時轉(zhuǎn)角是一個很小的量，因此可表示為綜上所述，求梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，關鍵在于確定梁的撓曲線方程6.2撓曲線近似微分方程對細長梁，梁上的彎矩和相應截面處梁軸的曲率半徑均為截面位置的函數(shù)，因此，梁的撓曲線的曲率可表為即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比，與截面的抗彎剛度成反比。另外，由高等數(shù)學知，曲線任一點的曲率為顯然，上述關系同樣適用于撓曲線。比較上兩式，可得上式稱為撓曲線微分方程。這是一個二階非線性常微分方程，求解是很困難的。而在工程實際中，梁的撓度和轉(zhuǎn)角數(shù)值都很小，因此，之值和1相比很小，可以略去不計，于是，該式可簡化為式中左端的正負號的選擇，與彎矩的正負符號規(guī)定及坐標系的選擇有關。根據(jù)彎矩的正負符號規(guī)定，當梁的彎矩時，梁的撓曲線為凹曲線，按圖示坐標系，撓曲線的二階導函數(shù)值；反之，當梁的彎矩時，撓曲線為凸曲線，在圖示坐標系中撓曲線的。可見，在圖示右手坐標系中，梁上的彎矩M與撓曲線的二階導數(shù)符號相反。所以，上式的左端應取負號，即上式稱為撓曲線近似微分方程。實踐表明，由此方程求得的撓度和轉(zhuǎn)角，對工程計算來說，已足夠精確。6.3積分法求彎曲變形積分法計算梁的變形積分一次：′=θ再積分一次：C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定邊界條件：（1）固定端約束：限制線位移和角位移ABAB(2)鉸支座：只限制線位移ABABC連續(xù)條件：6.4疊加法求梁的變形在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時，曾介紹了材料力學的一個普遍原理——疊加原理。在線彈性小變形前提下，構(gòu)件的支反力、內(nèi)力、應力和變形都可以用疊加法的方法計算。彎曲變形時，梁的撓度與轉(zhuǎn)角都與載荷成線性關系。因此，可以用疊加法計算梁的彎曲變形。當梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨作用時的變形，然后進行疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變形。應用疊加法求梁的變形時，若已知梁在簡單載荷作用時的變形，是很方便的。6.5梁的剛度校核1、剛度條件或[]——構(gòu)件的許用轉(zhuǎn)角[]、——分別為構(gòu)件的許用撓度、單位長度許用撓度2、剛度校核剛度校核是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是否超過容許值，在機械工程中，一般對都進行校核；在建筑工程中，大多數(shù)只校核撓度。6.6梁的合理剛度設計從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件，梁截面的慣性矩、材料的彈性模量有關。故提高梁剛度的措施為：（1）改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩；（2）增加支承，減小跨度；（3）選用合適的材料，增加彈性模量。但因各種鋼材的彈性模量基本相同，所以為提高梁的剛度而采用高強度鋼，效果并不顯著；（4）選擇合理的截面形狀，提高慣性矩，如工字形截面、空心截面等。6.7簡單超靜定梁的解法超靜定梁：約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁稱為靜不定梁。兩者數(shù)目的差稱為靜不定次數(shù)。第七章應力狀態(tài)與強度理論一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標通過本章學習，掌握應力狀態(tài)的概念及其研究方法；會從具有受力桿件中截取單元體并標明單元體上的應力情況；會計算平面應力狀態(tài)下斜截面上的應力；掌握平面應力狀態(tài)和特殊空間應力狀態(tài)下的主應力、主方向的計算，并會排列主應力的順序；掌握廣義胡克定律；了解復雜應力狀態(tài)比能的概念。掌握強度理論的概念；了解材料的兩種破壞形式（按破壞現(xiàn)象區(qū)分）；了解常用的四個強度理論的觀點、破壞條件、強度條件；掌握常用的四個強度理論的相當應力；會用強度理論對一些簡單的桿件結(jié)構(gòu)進行強度計算。教學內(nèi)容\o\(○,1)應力狀態(tài)的概念；\o\(○,2)平面應力狀態(tài)分析；\o\(○,3)三向應力狀態(tài)下的最大應力；\o\(○,4)廣義胡克定律?體應變；⑤復雜應力狀態(tài)的比能；⑥講解強度理論的概念及材料的兩種破壞形式。⑦講解常用的四個強度理論的基本觀點，并推導其破壞條件從而建立強度計算方法。⑧介紹幾種強度理論的應用范圍和各自的優(yōu)缺點。二、重點難點重點：1、平面應力狀態(tài)下斜截面上的應力計算，主應力及主方向的計算，最大剪應力的計算。2、廣義胡克定律及其應用。3、強度理論的概念、常用的四個強度理論的觀點、強度條件及其強度計算。難點：1、應力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標明單元體上的應力情況。2、斜截面上的應力計算公式中關于正負符號的約定。3、應力主平面、主應力的概念，主應力的大小、方向的確定。4、廣義胡克定律及其應用；5、常用四個強度理論的理解。6、危險點的確定及其強度計算。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時6學時五、講課提綱7.1應力狀態(tài)的概念所謂“應力狀態(tài)”又稱為一點處的應力狀態(tài)（a）,是指過一點不同方向面上應力的集合。分析表明，一點處不同方向面上的應力是不相同的。我們把在過一點的所有截面中，切應力為零的截面稱為應力主平面，簡稱為主平面。例如，圖（c）中a、d單元體的三對面及b、c單元體的前后一對表面均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體，如圖（c）中的a、d單元體。主平面的法向稱為應力主方向。簡稱主方向。主平面上的正應力稱為主應力），如圖（c）中a、d單元體上的及。用彈性力學方法可以證明，物體中任一點總可找到三個相互垂直的主方向，因而每一點處都有三個相互垂直的主平面和三個主應力；但在三個主應力中有兩個或三個主應力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會多于三個。一點處的三個主應力，通常按其代數(shù)值依次用來表示，如圖（c）中a、d單元體，雖然它們都只有一個不為零且絕對值相等的主應力，但須分別用，表示。根據(jù)一點處存在幾個不為零的主應力，可以將應力狀態(tài)分為三類：1）單向（或簡單）應力狀態(tài)：三個主應力中只有一個主應力不為零。2）二向應力狀態(tài)：三個主應力中有兩個主應力不為零。3）三向（或空間）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零。7.2平面應力狀態(tài)下的應力分析應力、角正負號規(guī)定為：角：從x方向反時針轉(zhuǎn)至面外法線n的角為正值；反之為負值。角的取值區(qū)間為或。正應力：拉應力為正，壓應力為負。切應力：使微元體產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢為正；反之為負。或者，截面外法線矢順時針向轉(zhuǎn)后的方向為正；反之為負。求面上的應力、的方法，有解析法和圖解法兩種。分別介紹如下：1、解析法利用截面法，沿截面將圖示單元切成兩部分，取其左邊部分為研究對象。設面的面積為，則x面、y面的面積分別為及。于是，得研究對象的受力情況如圖（b）示。該部分沿面法向及切向的平衡方程分別為：由此得（a）由，，及，式（a）可改寫為：（9.1）這就是斜面上應力的計算公式。應用時一定要遵循應力及角的符號規(guī)定。由式可知，斜截面上的應力、均為角的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化。現(xiàn)在來求它們的極限及平面應力狀態(tài)的主應力。對于斜截面上的正應力，設極值時的角為，由得可見，取極值的截面上切應力為零，即的極值便是單元體的主應力。這時的可由上式求得為：上式的在取值區(qū)間內(nèi)有兩個根及，它說明與有關的兩個極值（主應力）的作用面（主平面）是相互垂直的。將以上各式代入的第一式，得的兩個極值（對應面）、（對應面）為：、為平面應力狀態(tài)一點處三個主應力中的兩個主應力，它的另一個主應力為零。至于如何根據(jù)這三個主應力來排列、、的次序，應視、的具體數(shù)值來決定。2、圖解法①應力圓方程將斜截面應力公式改寫為：（a）于是，由上述二式得到一圓方程：（b）據(jù)此，若已知、、，則在以為橫坐標，為縱坐標軸的坐標系中，可以畫出一個圓，其圓心為，半徑為。圓周上一點的坐標就代表單元體一個斜截面上的應力。因此，這個圓稱為應力圓或莫爾圓。②應力圓的畫法在已知、及，作相應應力圓時，先在坐標系中，按選定的比例尺，以(,)、(,)為坐標確定x（對應x面）、y（對應y面）兩點，（在應力圓中，正應力以拉應力為正，切應力以與其作用面外法線順時鐘轉(zhuǎn)向后的方向一致時為正）。然后直線連接x、y兩點交軸于C點，并以C點圓心，以或為半徑畫圓，此圓就是應力圓。③幾種對應關系應力圓上的點與平面應力狀態(tài)任意斜截面上的應力有如下對應關系：點面對應應力圓上某一點的坐標對應單元體某一方面上的正應力和切應力值。如圖上的n點的坐標即為斜截面面的正應力和切應力。2）轉(zhuǎn)向?qū)獞A半徑旋轉(zhuǎn)時，半徑端點的坐標隨之改變，對應地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應力與應力圓上半徑端點的坐標相對應。3）二倍角對應應力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。因為，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差的兩個面是同一截面，而應力圓中圓心角相差時才能為同一點。7.3空間應力下的應力分析在工程中還是存在不少三向應力狀態(tài)的問題。例如，在地層的一定深度處的單元體，在地應力作用下便是處于三向應力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，也是處于三向應力狀態(tài)的。本節(jié)只討論三個主應力均已知的三向應力狀態(tài)，對于單元體各面上既有正應力，又有切應力的三向應力狀態(tài)，可以用彈性力學方法求得這三個主應力。對于材料力學中的問題，可以用9.2節(jié)的方法以求得三個主應力、及。對于圖示已知三個主應力的主單體，可以將這種應力狀態(tài)分解為三種平面應力狀態(tài)，分析平行于三個主應力的三組特殊方向面上的應力。在平行于主應力的方向面上，可視為只有和作用的平面應力狀態(tài)；在平行于主應力的方向面上可視為只有和作用的平面應力狀態(tài)；在平行于主應力的方向面上，可視為只有和作用的平面應力狀態(tài)。并可繪出圖（b）示三個應力圖，并稱為三向應力狀態(tài)應力圓。用彈性力學方法可以證明，主單元體中任意斜截面上的正應力及切應力，必位于以這三個應力圓為界的陰影區(qū)內(nèi)。由三向應力圓可以看出，在三向應力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應力為：，而最大切應力為上兩式也適用于三向應力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應力狀態(tài)及單向應力狀態(tài)。7.4廣義胡克定律1、廣義胡克定律在三向應力狀態(tài)下主單元體同時受到主應力、及作用，如圖所示。這時，我們把沿單元體主應力方向的線應變稱為主應變，習慣上分別用、及來表示。對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，可以將這種應力狀態(tài)，視為三個單向應力狀態(tài)疊加來求主應變。在單獨作用下，沿主應力、及方向的線應變分別為：，，式中E、為材料的彈性模量及泊松比。同理，在和單獨作用時，上述應變分別為：，，，，將同方向的線應變疊加得三向應力狀態(tài)下主單元體的主應變?yōu)椋菏街械摹⒓熬源鷶?shù)值代入，求出的主應變?yōu)檎当硎旧扉L，負值表示縮短。如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應力、、和切應力、、。單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應變、及外，還在三個坐標面、、內(nèi)產(chǎn)生切應變、及。由理論證明及實驗證實，對于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，正應力不會引起切應變，切應力也不會引起線應變，而且切應力引起的切應變互不耦聯(lián)。于是，線應變可以按推導式（9.10）的方法求得，而切應變可以利用剪切胡克定律得到，最后有上兩式稱為廣義胡克定律。式中G為剪切彈性模量。E，及G均為與材料有關的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個是獨立的，可以證明這三個常數(shù)之間存在著如下關系：2、體應變體應變又稱體積應變，是指在應力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設單元體各棱邊的變形前長度分別為、和，變形前的單元體體積便為在三向應力狀態(tài)下，主單元體變形后的各棱邊長度將分別為、及，因此，變形后主單元體的體積為因為、及均微小，略去高階微量后根據(jù)主單元體體應變的定義，有將三個主應變代入上式，化簡后得上述表明，小變形時的連續(xù)均質(zhì)各同性線彈性體，一點處的體應變與該點處的三個主應力的代數(shù)和成正比。可見，小變形時連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性體內(nèi)，一點處的體應變，只與過該點沿三個相互垂直的坐標軸方向正應力的代數(shù)和成正比，而與坐標方位和切應力無關。3、復雜應力狀態(tài)下的應變比能彈性體在外力作用下將產(chǎn)生變形，在變形過程中，外力便要通過外力作用方向的位移做功，并將它積蓄在彈性體內(nèi)，通常稱積蓄在物體內(nèi)的這種能量為應變能，而把每單位體積內(nèi)所積蓄的應變能稱為比能。在單向應力狀態(tài)中，如果棱邊邊長分別為、、的單元體，作用于x面的應力為。作用在單元體上的外力為，沿外力方向的位移為，外力所做的功為根據(jù)能量守恒定律，外力功全部積蓄到彈性體內(nèi)，變成了彈性體的應變能。單元體的應變能單元體的應變比能為應變比能為圖（b）示陰影面積。在三向應力狀態(tài)下，如果已知、及三個主應力，各對力通過其對應位移所做的功的總和，便為積蓄在物體內(nèi)的應變能。因此單元體的比能為式中的、、分別表示沿、、方向的線應變，應按廣義胡克定律計算，用三個主應力、、表示主應變、、，化簡后有由于單元體的變形有體積改變和形狀改變，因此，可以將比能分為相應的兩部分。與體積改變對應的比能稱為體積改變比能，用表示；與形狀改變對應的比能稱為形狀改變比能，用表示。即（a）現(xiàn)在來推導體積改變比能和形狀改變比能的計算公式。將圖示單元體表示為圖b、c兩部分疊加。圖（b）中的三個主應力相等，其值為平均應力，有7.5強度理論1、材料的破壞形式以上列舉的強度條件，用于簡單應力狀態(tài)，是直接根據(jù)試驗結(jié)果建立的。然而工程實際中許多構(gòu)件的危險點都處于復雜應力狀態(tài)，其破壞現(xiàn)象較復雜，但材料的破壞形式可分為如下二類：脆性斷裂：材料失效時未發(fā)生明顯的塑性變形而突然斷裂。如：鑄鐵在單向拉伸和純剪切應力狀態(tài)下的破壞。塑性屈服：材料失效時產(chǎn)生明顯的塑性變形并伴有屈服現(xiàn)象。如低碳鋼在單向拉伸和純剪切應力狀態(tài)下的破壞。注意：材料的破壞形式并不是以材料為塑性材料或脆性材料為準來區(qū)分的。如：大理石為脆性材料，在單向壓縮時發(fā)生的破壞為脆性斷裂，圖10.2（a）；若表面受均勻經(jīng)向壓力，施加軸向力后出現(xiàn)明顯的塑性變形，成為腰鼓形，顯然其破壞形式為塑性屈服，圖10.2(b)。2、強度理論的概念在復雜應力狀態(tài)下，一點的3個主應力、、可能都不為零，而且會出現(xiàn)不同的主應力組合。此時如果采用直接試驗的方法來建立強度條件，是非常困難的，原因在于：進行復雜應力狀態(tài)試驗的設備和加工比較復雜；不同的應力組合需要重新做試驗；不同的材料需重新試驗。人們經(jīng)過長期的生產(chǎn)實踐和科學研究，總結(jié)材料破壞的規(guī)律，提出了各種不同的假說：認為材料之所以按某種形式破壞，是由于某一特定因素（應力、應變、形狀改變比能）引起的；對于同一種材料，無論處于何種應力狀態(tài)，當導致它們破壞的這一共同因素達到某一極限時，材料就會發(fā)生破壞。這樣的一些假說稱為強度理論。3、常用的強度理論由于材料存在著脆性斷裂和塑性屈服兩種破壞形式，因而，強度理論也分為兩類：一類是解釋材料脆性斷裂破壞的強度理論，其中有最大拉應力理論和最大伸長線應變理論；另一類是解釋材料塑性屈服破壞的強度理論，其中有最大切應力理論和形狀改變比能理論。①第一強度理論——最大拉應力理論強度條件為：試驗表明，該理論主要適用于脆性材料在二向或三向受拉（例如鑄鐵、玻璃、石膏等）。對于存在有壓應力的脆性材料，只要最大壓應力值不超過最大拉應力值，也是正確的。②第二強度理論—最大伸長線應變理論（基本淘汰）③第三強度理論—最大切應力理論強度條件為該理論對于單向拉伸和單向壓縮的抗力大體相當?shù)牟牧希ㄈ绲吞间摚┦沁m合的。④第四強度理論—最大形狀改變比能理論強度條件為試驗表明，對于塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結(jié)果。綜合以上三個強度理論的強度條件，可以把它們寫成如下的統(tǒng)一形式：其中稱為相當應力。四個強度理論的相當應力分別為對于梁來講，注意：1、對以上四個強度理論的應用，一般說脆性材料如鑄鐵、混凝土等用第一和第二強度理論；對塑性材料如低碳鋼用第三和第四強度理論。2、脆性材料或塑性材料，在三向拉應力狀態(tài)下，應該用第一強度理論；在三向壓應力狀態(tài)下，應該用第三強度理論或第四強度理論。3、第三強度理論概念直觀，計算簡捷，計算結(jié)果偏于保守；第四強度理論著眼于形狀改變比能，但其本質(zhì)仍然是一種切應力理論。4、在不同情況下，如何選用強度理論，不單純是個力學問題，而與有關工程技術部門長期積累的經(jīng)驗及根據(jù)這些經(jīng)驗制訂的一整套計算方法和許用應力值有關。第八章組合變形的強度計算一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標掌握組合變形的概念。掌握斜彎扭、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）等組合變形形式的概念和區(qū)分、危險截面和危險點的確定、應力計算、強度計算、變形計算、中性軸的確定等。教學內(nèi)容講解組合變形的概念及組合變形的一般計算方法：疊加法。講解彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形內(nèi)力計算、確定危險截面和危險點、強度計算。講解拉伸（壓縮）和彎曲組合變形的危險截面和危險點分析、強度計算。講解偏心拉伸（壓縮）組合變形的危險截面和危險點分析、應力計算、強度計算。二、重點難點重點：彎扭、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）等組合變形形式的應力和強度計算。難點：1、解決組合變形問題最關鍵的一步是將組合變形分解為兩種或兩種以上的基本變形：彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形——分解為平面彎曲和扭轉(zhuǎn)；拉伸（壓縮）和彎曲組合變形——分解為軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲（因剪力較小通常忽略不計）；偏心拉伸（壓縮）組合變形——單向偏心拉伸（壓縮）時，分解為軸向拉伸（壓縮）和一個平面彎曲2、組合變形的強度計算，可歸納為兩類：1）、危險點為單向應力狀態(tài)：拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）組合變形的強度計算時只需求出危險點的最大正應力并與材料的許用正應力比較即可；2）、危險點為復雜應力狀態(tài)：彎扭組合變形的強度計算時，危險點處于復雜應力狀態(tài)，必須考慮強度理論。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時4學時五、講課提綱8.1組合變形的概念實際工程中，許多桿件往往同時存在著幾種基本變形，它們對應的應力或變形屬同一量級，在桿件設計計算時均需要同時考慮。本章將討論此種由兩種或兩種以上基本變形組合的情況，統(tǒng)稱為組合變形。對于組合變形的計算，首先按靜力等效原理，將荷載進行簡化、分解，使每一種（組）荷載產(chǎn)生一種基本變形；其次，分別計算各基本變形的解（內(nèi)力、應力、變形），最后綜合考慮各基本變形，確定危險截面和危險點，疊加其應力、變形，進行強度和剛度計算。8.3拉伸（壓縮）與彎曲拉彎、壓彎組合變形，是工程中經(jīng)常遇到的情況，圖（a）（b）示都是壓彎組合變形的實際例子，現(xiàn)以圖（a）示矩形截面桿為例分析拉彎、壓彎組合變形的強度計算。圖11.6力作用在縱向?qū)ΨQ性平面內(nèi)，引起桿件發(fā)生平面彎曲變形，中性軸是z軸；引起桿件發(fā)生軸向拉伸變形。內(nèi)力：＝常數(shù)；，。所以此桿的危險截面為固定端截面。應力：軸向拉伸正應力為，橫截面上均勻分布彎曲正應力為，橫截面上呈線性分布疊加可得任一橫截面上任一點的正應力為（11.7）所以，桿件的最大、最小正應力發(fā)生在固定端截面（危險截面）的上、下邊緣a、b處，其值為（＞0，為拉應力）（可能為拉應力，可能為壓應力）。因為危險點處于單向應力狀態(tài)，故塑性材料強度條件為脆性材料強度條件為8.4偏心拉伸（壓縮）與截面核心當外力作用線與桿的軸線平行，但不重合時，桿件的變形稱為偏心拉壓。它是拉伸（壓縮）彎曲的組合。8.5彎扭組合變形一般機械傳動軸，大多同時受到扭轉(zhuǎn)力偶和橫向力的作用，發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形。現(xiàn)以圓截面的鋼制搖臂軸為例說明彎扭組合變形時的強度計算方法。1.外力簡化和內(nèi)力計算將外力向截面B形心簡化，得軸的計算簡圖，如圖（b）所示。橫向力使軸發(fā)生平面彎曲，而力偶矩使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)。作軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖（c），（d）所示，可見，固定端截面為危險截面，其上的內(nèi)力（彎矩和扭轉(zhuǎn)）分別為(a)2、應力計算畫出固定端截面上的彎曲正應力和扭轉(zhuǎn)切應力的分布圖，如圖（e）所示，固定端截面上的和點為危險點，其應力為(a)式中，，，它們分別為圓軸的抗彎和抗扭截面模量。因為圓軸的任一直徑都是慣性主軸，抗彎截面模量都相同（），故均用W表示。點的單元體如圖（f）所示。3、強度條件危險點（或）處于二向應力狀態(tài)，其主應力為(b)軸為鋼材（塑性材料），在復雜應力狀態(tài)下可按第三或第四強度理論建立強度條件。若采用第三強度理論，則軸的強度條件為將式（b）代入上式，得到用危險點（或）的正應力和切應力表示的強度條件將式（a）中的和代入上式，并注意到圓截面的，可得到用危險截面上的彎矩和扭矩表示的強度條件：（11.5）若采用第四強度理論，則軸的強度條件為或（11.6）上面式中應理解為是危險截面處的組合彎矩M，若同時存在和，則組合彎矩為：。第九章壓桿穩(wěn)定一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標深入理解彈性平衡穩(wěn)定性的概念熟練應用壓桿的臨界力公式，掌握桿端約束對臨界力的影響壓桿的分類與臨界應力曲線掌握壓桿穩(wěn)定性校核的方法教學內(nèi)容穩(wěn)定的概念兩端鉸支細長壓桿的歐拉臨界力桿端約束的影響臨界應力曲線壓桿穩(wěn)定性的校核二、重點難點重點：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性的校核難點：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性的校核三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時6學時五、講課提綱9.1壓桿穩(wěn)定的概念所謂彈性壓桿的穩(wěn)定性是指彈性壓桿在中心壓力作用下的直線位形的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性；又因彈性體受力后的任一平衡狀態(tài)都對應著某個唯一的變形狀態(tài)，所以也是指彈性壓桿受壓后的軸向縮短的變形狀態(tài)的穩(wěn)定性。設有一兩端球鉸支座的彈性均質(zhì)等直桿受毫無偏心的軸向壓力作用(這就是所謂的理想壓桿)，桿呈軸向縮短變形狀態(tài)，如圖。現(xiàn)在要判斷這種變形狀態(tài)(或直線位置的平衡狀態(tài))是否穩(wěn)定。要作這種判斷，可加一微小干擾力Ｑ，使桿軸到達一個微彎曲線位置，（b）然后撤銷干擾力，如果桿軸能回到直線位置，則稱初始直線位置的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；如果它繼續(xù)彎曲到一個撓度更大的曲線位置去平衡，則初始直線位置的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；這就是判別彈性穩(wěn)定性的靜力學準則。如果它停留在干擾力撤銷瞬時的微彎曲線的位置不動，則初始直線位置的平衡是臨界平衡或中性平衡。事實上，同一桿件其直線位置的平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，視所受軸向壓力的大小是否超過一個僅與桿的材料、尺寸、和支承方式有關的臨界值而定。這個取決于桿件本身的定值，稱為壓桿的臨界力或臨界荷載。設軸向壓力從零逐漸增大，則桿件在直線位置的平衡狀態(tài)表現(xiàn)為：當，是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當，是臨界的平衡狀態(tài)；當，是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當時，壓桿可在直線位置平衡(當它不受干擾時)，又可在干擾給予的微彎曲線位置平衡，這種兩可性是彈性體系的臨界平衡的重要特點。

對于理想壓桿，穩(wěn)定性意味著壓桿維持其直線壓縮的變形形式的能力。對于有缺陷的壓桿，穩(wěn)定性意味著它維持其縮短加彎曲的變形形式的能力。總之，穩(wěn)定性意味著桿件維持其原有變形形式或平衡形式的能力。再則，穩(wěn)定階段總是一個比較長而緩的漸變過程，失穩(wěn)卻是一個短促而急劇的突變過程。2、兩端鉸支細長壓桿的歐拉臨界力本節(jié)求的方法叫做微分方程法或臨界平衡法，其思路是：從臨界平衡狀態(tài)的微彎曲線取分離體，建立臨界平衡方程，再轉(zhuǎn)換為彈性曲線的微分方程式，在不能讓通解的全積分常數(shù)都等于零的條件下得到穩(wěn)定方程式，從而得出臨界力。

是端士科學家L·歐拉(）在1744年提出的，所以叫做歐拉公式。人們把兩端鉸支的理想壓桿稱為歐拉壓桿，稱為為歐拉荷載。9.2兩端鉸支細長壓桿的歐拉臨界力本節(jié)求的方法叫做微分方程法或臨界平衡法，其思路是：從臨界平衡狀態(tài)的微彎曲線取分離體，建立臨界平衡方程，再轉(zhuǎn)換為彈性曲線的微分方程式，在不能讓通解的全積分常數(shù)都等于零的條件下得到穩(wěn)定方程式，從而得出臨界力。

上式是端士科學家L·歐拉(）在1744年提出的，所以叫做歐拉公式。桿端約束的影響幾種常見的桿端約束情況的臨界力和彈性曲線形式，都是由微分方程法推導而得。它們的臨界力表達式可統(tǒng)一寫成或其中：＝稱為壓桿的計算長度或有效長度。是實際長度，叫做長度系數(shù)。(ａ）一端自由一端固定壓桿(ｂ）兩端鉸支壓桿(ｃ）一端固定一端鉸支壓桿(ｄ）一端固定一端夾支壓桿實際支承應簡化成什么樣的計算簡圖，它的計算長度如何確定，設計時都必須遵循設計規(guī)范。9.3歐拉公式的適用范圍1、柔度當中心壓桿所受壓力等于臨界力而仍舊直立時，其橫截面上的壓應力稱為臨界應力，以記號表示，設橫截面面積為，則但，是截面的回轉(zhuǎn)半徑，于是得令λ，稱為壓桿的長細比或柔度，于是有對同一材料而言，是一常數(shù)，因此值決定著的大小，長細比越大，臨界應力越小。上式是歐拉公式的另一形式。2、歐拉公式適用范圍：

歐拉公式的適用范圍是臨界應力不超過比例極限，即若用的最小值表示歐拉公式的適用范圍，則≥=在使用歐拉公式前須算一下是否大于。對于中長桿與粗短壓桿，目前在設計中多采用經(jīng)驗公式計算其臨界應力。下面介紹壓桿的直線公式。對于中長桿，采用直線經(jīng)驗公式（λ）9.4壓桿穩(wěn)定性的校核第十章桿件的應變能及其應用一、教學目標和教學內(nèi)容教學目標讓學生掌握桿件彈性應變能的有關概念。理解和掌握在工程力學有廣泛應用的能量方法。掌握功能原理、卡氏定理。能夠熟練地計算基本變形桿件和常見的組合變形桿件的應變能。對于簡單結(jié)構(gòu)應變能，也能夠完成應變能的計算。能夠較為熟練地應用卡氏第二定理，完成桿件的位移計算，并可以求解簡單超靜定問題。為進一步在結(jié)構(gòu)力學等后續(xù)課程中，學習和應用能量方法奠定基礎。教學內(nèi)容介紹能量法的有關概念。例如，外力的功、應變能、比能等等。介紹基本變形桿件應變能計算和組合變形桿件應變能計算。講解功能原理、余能概念和卡氏定理。二、重點難點重點：建立應變能等有關概念。基本變形桿件和常見的組合變形桿件的應變能的計算。卡氏第二定理及其應用。難點：桿件應變能計算中的可否疊加問題。對于廣義力和相應廣義位移的正確理解和認識。應用卡氏第二定理求位移時，如何正確地選取或設定與位移相應的廣義力。能否正確寫出內(nèi)力方程，靈活地進行先求偏導數(shù)再積分的運算。三、教學方式采用啟發(fā)式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。四、建議學時6學時五、講課提綱10.1概述彈性體在荷載作用下將發(fā)生變形，外力作用點要產(chǎn)生位移．因此，在彈性體的變形過程中，外力沿其作用方向做了功，稱為外力功。彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對外界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為彈性應變能（）或彈