2022年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案一、選擇題：小題，每小題5分，共50分，下列每題給出4個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)是復(fù)合題目要求的，請將所選選項(xiàng)前面的字母填在答題卡指定的位置.1.當(dāng)x->0時(shí)，a(x),/?(*)是非零無窮小量，給出以下四個(gè)命題，其中所有正確的序號是()若a(x)邛(x),則a2(x)-/?2(x)若。2(乂)?”2(x),貝Ija(x)?伙X)若。(*)~伙工)，貝"(X)-P(x)=。(。3))若a(x)-B(對=。(。。))，則。(對邛⑴①② ⑻①① (C)①③④ (D)②③④參考答案：(C)2」。2必￡扁如=()(A* (B冷 (畦 (D冷參考答案：(D)設(shè)函數(shù)/'(X)在x=x0處有二階導(dǎo)數(shù)，則()當(dāng)f(x)在X。處的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加時(shí)，廣(X。)>0.當(dāng)廣Ct。)>0時(shí)，f(x)在X。的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)/'(*)在右處的某鄰域內(nèi)是凹函數(shù)時(shí)，廣(">0，-2-2-已知平面區(qū)域D={(x,y)|y-2<x<y/4-y^,0<y<2),計(jì)算/=IfD^^dxdy.解：從右圖可知D=Di+D2,解：從右圖可知D=Di+D2,/頊0繆d"y+扁經(jīng)妳y，其中Di關(guān)于y軸對稱,上式中貽 =fSDx^dxdy+席舒dxdy=fSDidxdy=4,風(fēng)睹眾y=J詠華業(yè)E=血。』丄(1_汕26),打=2虐112*；聲源就cos0+sin8g"司，A 且十SH1CDcos0+sin82tt—6,故，，=貽謬妳’+仄經(jīng)奴dy=4+2兀-6=2笊-2己知可微函數(shù)/?(“，u)滿足憲山_喝宀=2(“一口脂-(5)且f(u,0)=u2e~u(1)記g(x，y)=f(x，y-x)，求答円⑵求/?(“，"的表達(dá)式和極值.解：⑴因?yàn)間(x,y)=f(x,y-x),所以亟蘇成=八"y-x)-f2(x,y-x).由題設(shè)條件可知：f\(u,v)-f'2(u,v)=2(u-v)e-<u+v\dx所以代入上式，雲(yún)頊=2[x-（y-x）]e-Sr）=（4x一2y）/：dx(2)g(x.y)=f(x，y-x)=f(4x-2y)e-ydx=2x(x- +C(y),令x=”，y-x=v,則/■(“，v)=-2uve~(u+v)+C(u+v),由/{u,0)=u2e~u可得：C(u)=u2e~u因此，f(u,v)=-2uve-(u+v>+(u+p)2e-(?+v)=(uz+v2)e-(u+P),(f'u=2ue~^-(u2+/)e-(u+u)=(2u-u2-/)廠(“+切=0；I/'p=2加Tu+u)—(u2+v2)e-(u+u)=(2v-u2-v2)e-(u+v)=o，解得｛￡?：：*兩組解;f"uu=(2-2u)e-(u+v)-(2u-u2-v2)e-(w+w)=(2-4u+u2+v2)e-(u+v)r'w=-2ve-(u+v)-(2u-u2-v2)e-(u+v)=(一2”-2u+u2+v2)e-(u+v),廣四=(2-2v)e~(u+v)-(2v-u2-如一"=(2-4v+u2+v2)e~(u+^當(dāng)”="=。時(shí)，，=2,8=。,。=2,賢甘頃，因此（。,。）是極小值，且極小值為。:當(dāng)H=1時(shí)，4=。，B=_2,C=。，｛笆3＜。，因此g不是極值.設(shè)函數(shù)/?（》）在（-8,+8）內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：/'（X）＞0的充要條件是：對不同實(shí)數(shù)a,加，啓）冬習(xí)吳）奴?解：佗）=/（%）+廣（早）（》-％）+y任）（》-舉y，§介于x與號乏間,r心近=r[f(詞+廣(哮)&-哮)+擴(kuò)緋-學(xué)yg=f(v)(b-a)+Sa[y任)(%-%)[dx'證明必要性：若，“(x)2o,則r任)no,有華小2/?(%),證明充分性：若北0使得廣G)<0,因?yàn)??(》)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，M使得廣(x)在[x0-6,x0+6]內(nèi)恒小于0,令*()-S=a,x0-￥8=b,Kf(x)dx=f(翌(b-a)+C -舉)[dx<f(哮)(b-a),矛盾，故f”(x)N0,得證.已知二次型/'(X[,x2.X3)=3好+4*+3蝸+2%1工3，求正交變換x=Qy將/(X],如，為)化為標(biāo)準(zhǔn)形；證明嚙曝=2.301解：（1）301解：（1）令4=040.由\XE-A\103A-3

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-10 -1A-4 0=（入-4）2（入一2）=0,0入一3特征值A(chǔ)1=A2=4,A3=2,當(dāng)為=A2=4時(shí),(4E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為a】9999-9-當(dāng)A3=2時(shí)，(2E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為/=、,、 [01a3單位化，=〃2=P1]'存在Q=(〃1，〃2,〃3)正交變換x=Qy將f(xi，x2rX3)化為標(biāo)準(zhǔn)形f=4yl+4y|+2yj.(2)xrx=(QyV(Qy)=yTQT