第一節二次根式【知識要點】4.最簡二次根式(2)被開方數中不含分母.被開方數同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次【學習目標】2.掌握最簡二次根式及同類二次根式.【典型例題】【分析】二次根式要求根指數為2,所以(4)就不是二次根式，同時二次根式的被開方數必須是2.二次根式有意義的條件232?3(4)由—>0,即%+5<0,得x<-5,所以當A<-5時,-2意義;3.二次根式的化簡<1)-T(-7)2；原式二丄j2=3?x=xy=^G5，；2它們的被開方數含有分母，所以(3)、(4)不是最22(6)屆=3點；y]2x24-8A>'+8>'2=yj2(x+2y)2=|x+2v\y/2【基礎訓練】4?代數式輕中，字，的取值圍是一8.下列各式中，是最簡二次根式的是（)9?式子成立的/取值圍為（）A?和beA.是正數B.是負數C.是非負數D.可為正也可為負12.x<y,那么化簡y)【能力提高】值.值4?在實數圍分解因式第二節二次根式的運算【知識要點】先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.2.二次根式的乘除法二次根式的乘法：兩個二次根式相乘，被開方數相乘，根指數不變.二次根式的除法：兩個二次根式相除，被開方數相除，根指數不變.把分母中的根號化去，叫做分母有理化.4.有理化因式兩個含有二次根式代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個含有二次根式的代數式互為有理化因式.5.二次根式的混合運算在二次根式運算中，實數運算律、運算性質以及運算性質規定都實用.【學習目標】1?會進行二次根式的四則混合運算.2.會應用整式的運算法則進行二次根式的運算.【典型例題】1.二次根式的四則混合運算3(3)原式=(436O(1)(-5^)X4^X(-?56V18-V2V3663ay/b-by/a(4)苗+羽■羽（V3-2V3+2）V3_>/3+2(2)(疔-苗->/?)(/?+布+3)；=血點-(苗+返川石+"+V2)j>'>'(a+b)yjab-by/ub-ayjab3?二次根式比較大小的常見方法【例6】比較下來各式的大小：“作商法”比較，第（4）題可用“分子有理化法”比較.4.一類特殊的二次根式求和問題用拆項相消的技巧往往使某些求和問題運算比較簡便.【基礎訓練】9.巧一血的倒數為（）uA.丄2\[a^.2?）1…J乞（）__________4_____________x（）A.―+V^B?一＞/6—C.Q5_\16D.+\/6（）22知?①))二次根式單元測試題（）2.在下列各式的化簡中，化簡正確的有（）①Jp"=a-Ja②5XV7-J7=4XJ73.已知二條線段的長分別為cm.巧cm,那么能與它們組成直角三角形的第三條線A.1)+（）?lI)---r-X^U的結=。：（V1：J第一節一元二次方程的概念【知識要點】①整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2.其中“未知數的最高次是指在合并同類項之后而言的.式.式3.二次項系數含有字母的一元二次方程二次項系數含有字母的方程是否是一元二次方程，需要對二次項系數進行討論，要保證未數的最高次數2,只需要二次項系數不為04.對于一個一元二次方程，可以依據根的意義，判斷未知數的一個值是不是這個方程的根數是2”知.5.特殊根的一元二次方程的系數和常數項的特征數和常數項的特征。如一元二次方程【知識要點】5.掌握一元二次方程的概念.6?—元二次方程的一般形式，能找出方程中各項的系數.【典型例題】22【分析】本題是概念判斷題，要牢記符合一元二次方程應滿足的條件..?.是一元二次方程2?.?方程分母含有未知數，不是整式方程它不是一元二次方程?.?方程中含有兩個未知數它不是一元二次方程?.?符合一元二次方程的條件它是一元二次方程?.?二次項系數合并后為0,未知數最高次數為1.?.它不是一元二次方程。【注意】判斷一個方程是否是一元二次方程，要先對方程進行整理，然后再根據條件：③未知數最高次數為2只有當這三個條件全部滿足時，才能判斷為一元二次方程.2.一元二次方程的一般式及各項系數的求法【例2】把下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項與各項的系數(1)血宀屈(2)(5X-1)2-3=0【分析】方程的二次項系數、一次項系數及常數項是在方程為一般形式的前提下而盲的.所以解此題的關鍵是準確把方程化簡為一元二次方程的一般形式.22【點評】要認真區別方程的各項與各項的系數。待別要小心當某項的系數為負數時，指出時千萬不要丟負號。對于字母系數方程的整理，應先明確其未知數，再確定各?就不是一元二次方程.【點評】要先把方程整理為一般式，然后再確定二次項的系數的條件.入原方程檢驗方程左右兩邊的值是否相等.因為方程左右兩邊的值相等，所以因為方程左右兩邊的值不相等，所以x=-4不是這個一元二次方程2x2-x=\2+x的根.根【點評】從這個一元二次方程看到，它的根的個數與一元一次方程是不同的.【例5】在下了方程中，哪些方程有一個根為果二次項系數與常數項的和等于一次項系數，則有一根為-1.【分析】解此題的關鍵是對一元二次方程和一元一次方程電腦概念的理解，不僅要對未知數系數討論，還應注意未知數的最高次..【點評】此題應注意對X項的指數與系數的討論.【例7】已知兀=1是方程界一〃以+1=0的根，化簡J加2一6加+9一/^in+nr■之.之【點評】方程的根就是能夠使方程左右兩邊值相等的未知數的值，所以我們可以把它代入到方程中，從而求出方程中其他字母的值.【基礎訓練】2.下列方程中，常數項為零的是()A.x2+x=lB.2X2-X-12=12；C.2(X-1)=3(X-1)D.2(X2+1)=X+22A.1B.73C.-V3D.±丫§14.若一元二次方程(m—2)X2+3(m'+15)x+mJ—4=0的常■數項是0,則m為一16.把下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項與各項的系數19.若3x-x-l=0,求6X3+7X2-5X+2005的值.【知識要點】方程左邊是喊未知數的完全平方式，右邊是非負數常數形式，可用開平方法求解.一元二次方程的一邊是0,另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以先考慮用因式分解法求解.為了能用開平方法解一般形式的一元二次方程的形式。配方法的步驟是：①把二次項系數化為另一邊為常數項；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④將原方程變形為(x+加尸=n二.一元二次方程解法的運用及其思想方法配方法對所有的一元二次方程都適用，開平方法和因式法只對具備相應特征的方程才適用在解一元二次方程時一定要根據具體問題選擇恰當的方法，從而使解題過程準確、簡捷(1)形如ax2+c=0(ac<0)的一元二次方程用開平方法或因式分解法(平方差公式)解;(2)形如o?+加=0("工0)的一元二次方程用因式分解法(提取公因式法)來解；(3)形如ax2+bx+c=O(abc^O)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)來解.【學習目標】第十七章學會直接開平方法，因式分解法解一元二次方程.第十八章掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例題】(1)4x2-256=0(2)73(X-1)2=>/27【分析】用開平方法解方程，要先將方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負數常數的形式，再根據平方的定義求解。另外，“整體”思想在解方程時還是十分有用.即(A--1)2=>/3.-.X-1=±>/3所以，原方程的根是=-1,X2=2232【點評】對于第(2)題無理數系數的一元二次方程解法同有理數一樣，只不過注意二次根【例2】用因式分解解下列方程【分析】因式分解法的依據是如果兩個兩個因式的積等于零，那么這兩個因式中至少有一于零；反之也同樣成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等號一邊化為零分解成兩個一次因式的積的形式而求出方程的解.0所以原方程的根是再=得(2+石)x+1+石=0或(2->/3)X+1-V3=0【點評】在用因式分解法解一元二次方程時，一定要注意把方程整理為一般式，如果左邊的數式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式都得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了.【分析】對于二次項系數是1的方程，在方程兩邊同時加上一次項系數的一半的平凡即可完成QQ3配方。對于二次項系數部不為1,則先將方程各項同時除以二次項系數后，再配方.兩邊同時加上一次項系數的一半的平方，得X2+8A:+42=9+42Q3方程；兩邊都加上一次項系數的一半的平方，得(七)弋)即X+-=±-【例5】用適當的方法解下列方程(1)2X2-5=0(2)5X2+2=2(1-A:)-X(X-1)2恰當方法，從而使解題過程準確、簡捷.2(2)展開，整理，得4x2+x=0所以，原方程的根是xI=O,x2=方程兩邊同時除以3,得x2--x=--方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，得43整理，得(X-2)(3%+3)=02【點評】當一元二次方程本身特性不明顯時，需要先將方程化為一般形式"H0,bH0,c=0時，可用因式法求解，如題(2)。式法求解，配方法做為一種重要的數學方法，也應掌握，如題(3)。而有一些一元二次方程有較明顯的特征時，不一定都要化成一般式，如題2得x,=2,X2=--,對于這樣的方程，一定注意不能把方程兩邊同肘除以也就是方程兩邊不能同時除以含有未知數的整式.【基礎訓練】2?方程(2A-3)2=5(2X-3)的兩根為西=__________,吃=________?2y6.一個兩位數的個位數字與十位數字的平方和等于29,且個位數字與十位數字之和為7,則這個兩位數為______.________________?13.已知直角三角形的三邊恰好是三個連續整數，則這個直角三角形的斜邊長是()根.根23?對于二次三項式x?10x+36,小穎同學作出如下結論：無論x取什么實數，它的值一定大于零。你是否同意她的說法？說明你的理由.第三節公式法解一元二次方程【知識要點】1?一元二次方程的解法：公式法2?公式法的運用及其思想方法公式法對所有的一元二次方程都適用，形如么芒+bx+c=O(abc^O)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)或公式法來解?3?—元二次方程根的判別式我們把b2-4ac叫做ax2+bx+c=0(a^0)的根的判別式，用符號△來表示。對于一元二次方程上述判斷反過來說，也是正確的。即當方程有兩個實數根時，△=，一4仇?>()；當方程沒有實數根時，△=夕一4〃?<0；4.一元二次方程的根的判別式的應用①不解方程判別方程根的情況，即先把方程化為一般形式，然后求出判別式厶值，最后根據△的符號來確定根的情況；②根據一元二次方程根的情況確定方程中字母系數的取值圍，即先把方程化成一般形式并求出它的判別式，然后根據根的情況列出判別式的方程或不等式，最后解這個不等式或方程，使方程二次項系數為零的字母的值。若問題中沒有這個限制條件，就要對二次項系但要去掉數(含字母)是③證明一元二次方程根的情況，可先把原方程化為一般形式，求出根的判別式，然后用配方法或因式分解法確定判別式的符號，并由此得出結論.5.利用根的判別式解題時的幾點注意②不解方程判定方程的根的情況要由"△;的符號判定；【學習目標】1?會用公式法解一元二次方程.2.利用根的判別式確定根的情況.【典型例題】(1)X2-7X-18=0(2)2X2+7X=4【分析】應用求根公式解一元二次方程，通常寫成一般形式，并寫出d、伙