第六講對數與對數函數課標要求考情分析1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.1.本講復習利用對數函數的圖象掌握對數函數的性質，側重把握對數函數與其他知識交匯問題的解決方法.課標要求考情分析2.通過具體實例，了解對數函數的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點.3.知道對數函數y＝logax與指數函數y＝ax互為反函數(a>0，且a≠1)

2.重點解決：(1)對數式化簡與求值；(2)對數函數的圖象與性質及其應用.復習時也應注意分類討論、數形結合、函數與方程思想的應用.要特別關注比較大小的方法與技巧.3.本講高考一般以選擇題的形式呈現(續表)1.對數的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a

叫做對數的底數，N叫做真數.2.對數的運算法則和性質(1)對數的運算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(2)對數的性質①負數和零沒有對數.②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1).④logaaN＝N(a>0，且a≠1).(3)對數的換底公式【名師點睛】對數運算的一些結論y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R3.對數函數的圖象與性質y＝logaxa>10<a<1性質過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上單調遞增在(0，＋∞)上單調遞減(續表)4.反函數

指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱.【名師點睛】

(1)對數函數的圖象與底數大小的比較如圖2-6-1所示，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.圖2-6-1故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.

(2)對數不等式問題，一般是先確保對數中真數大于0，再利用對數函數的單調性來求解不等式，特別是對數函數的底數不確定時，單調性不明確，從而無法求解不等式，故應分a>1和0<a<1兩種情況討論.題組一走出誤區1.(多選題)下列結論錯誤的是()答案：ABC題組二走進教材2.(教材改編題)若

lg2＝a，lg3＝b，則lg12的值為()B.bD.2abA.aC.2a＋b答案：C圖2-6-2答案：B題組三真題展現) B.c＜a＜b

D.a＜c＜b則a，b，c的大小關系為( A.a＜b＜c

C.b＜c＜a

答案：D

)B.b＜a＜cD.a＜b＜c則a，b，c的大小關系為( A.c＜b＜a

C.a＜c＜b

答案：C考點一對數的運算1.(多選題)若2x＝3,3y＝4，則下列選項正確的是(

)答案：BCD答案：1答案：2【題后反思】對數運算的一般思路

(1)拆：首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后利用對數運算性質化簡合并.

(2)合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算.

考點二對數函數的圖象及應用

a＞0，且a≠1，則函數f(x)，g(x)在同一坐標系中的大致圖象可能是()ABCD[例1](1)(多選題)若函數f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中

解析：易知g(x)＝loga|x|為偶函數.當0＜a＜1時，f(x)答案：AD＝ax－2單調遞減，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調遞減，此時A選項符合題意；當a＞1時，f(x)＝ax－2單調遞增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調遞增，此時D選項符合題意.故選AD.答案：B【題后反思】利用對數函數的圖象解決的兩類問題及技巧

(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想.(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.【變式訓練】1.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f(x)＝ln(x＋1)，則函數f(x)的大致圖象為()ABCD

解析：先作出當x≥0時，f(x)＝ln(x＋1)的圖象(圖略)，顯然圖象經過點(0,0)，再作此圖象關于y軸對稱的圖象，可得函數f(x)在R上的大致圖象，如C中圖象所示.故選C.答案：Cf(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________.解析：問題等價于函數y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點，結合圖D6可知a>1.圖D6答案：(1，＋∞)類型方法logax＞logab借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論logax＞b需先將b化為以a為底的對數式的形式，再借助y＝logax的單調性求解

考點三對數函數的性質及應用考向1解對數方程、不等式通性通法：求解對數不等式的兩種類型及方法[例2](1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為______.答案：{－1,1}若底數相同若底數為同一常數可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一參數，則需對底數進行分類討論若底數不同，真數相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較若底數與真數都不同常借助1,0等中間量進行比較考向2比較指數式、對數式的大小通性通法：比較對數值大小的方法A.a＜b＜cC.a＜c＜b

B.b＜a＜cD.b＜c＜a因此b＜a＜c.答案：B(2)(2020年全國Ⅲ)已知55<84,134<85.設a＝log53，b＝)log85，c＝log138，則(

A.a<b<c

C.b<c<aB.b<a<cD.c<a<b答案：A考向3對數型函數單調性問題

通性通法：對數型復合函數的單調性問題的求解策略 (1)對于y＝logaf(x)型的復合函數的單調性，有以下結論：函數y＝logaf(x)的單調性與函數u＝f(x)[f(x)>0]的單調性在a>1時相同，在0<a<1時相反.

(2)研究y＝f(logax)型的復合函數的單調性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f(t)的單調性即可.[例4](1)(2020年新高考Ⅱ)已知函數f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調遞增，則a的取值范圍是()A.(－∞，－1]C.[2，＋∞)B.(－∞，2]D.[5，＋∞)

解析：由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，即函數答案：Df(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，則t＝(x－2)2－9，所以函數t在(－∞，－1)上單調遞減，在(5，＋∞)上單調遞增，又函數y＝lg

t在(0，＋∞)上單調遞增，從而函數f(x)的單調遞增區間為(5，＋∞)，由題意知(a，＋∞)?(5，＋∞)，∴a≥5.答案：[2,4]【考法全練】1.(考向2)(多選題)(2021

年膠州期末)已知

a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin(cos1)，則下述正確的是()A.a＞bC.b＞c

B.a＞cD.b＞0

解析：a＝30.1＞1，b＝log0.93＜0，c＝sin(cos1)∈(0,1)，則a＞c＞b.故選AB.

答案：AB2.(考向3)若函數f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區間(－∞，)－2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是( A.(－∞，4) B.(－4,4] C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D.[－4,4)答案：D解析：由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1，即函數的定義域為{x|x＞2或x＜1}，當x在定義域內變化時，x2－3x＋2取遍(0，＋∞)內的每一個值，∴值域為R.答案：(－∞，1)R

4.(考向3)若函數f(x)＝loga(x2－x＋2)在區間[0,2]上的最大值為2，則實數a＝________.答案：2⊙數形結合探討對數函數的性質解析：正實數m，n滿足m<n，且f(m)＝f(n)，如圖2-6-3，有0<m<1，n>1.圖2-6-3f(m)＝|log2m|＝f(n)＝|log2n|，－log2m＝log2n，答案：C【高分訓練】解析：作出f(x)的大致圖象如圖D7，圖D7由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設a<b<c，則∴abc＝c.由圖知10<c<12，∴abc∈(10,12).故選C.答案：