2．1.1平面2．1.1平面平面教學(xué)課件要點(diǎn)一平面概念的理解1.平面是一個(gè)不加定義，只須理解的最基本的原始概念．常見的桌面、黑板面、平靜的水面等，都給我們以平面的形象．要點(diǎn)一平面概念的理解2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中的平面是比較平、且有限的，而立體幾何中的平面是理想的、絕對的“平”并無限延展的．3．立體幾何體中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的：平面圖形如三角形，正方形，梯形等它們有大小之分；而平面是無大小、無厚薄之分的，它可以無限延伸，它是不可度量的．2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)平行四邊形是一個(gè)平面．(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面．(3)空間圖形中先畫的線是實(shí)線，后畫的線是虛線．【分析】

解答本題可先考慮平面的性質(zhì)及其畫法，然后依次解決。例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．【解】

(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，它是不能無限延展的．(2)不正確．平面圖形和平面是完全不同的兩個(gè)概念，平面圖形是有大小的，它是不可能無限延展的．(3)不正確．在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實(shí)線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線(無論是題中原有的，還是后引的輔助線)．【解】(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖【規(guī)律方法】

(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平面，但絕不是說平行四邊形就是平面．(2)要嚴(yán)格區(qū)分“平面圖形”和“平面”這兩個(gè)概念．【規(guī)律方法】(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中卻不然．有的同學(xué)在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，對此點(diǎn)沒有認(rèn)識，必將影響空間立體感的形成，削弱或阻斷空間想象能力的培養(yǎng)．(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中變式1在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為(

)①書桌面是平面②8個(gè)平面重疊起來，要比6個(gè)平面重疊起來厚③有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m④平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念變式1在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1

B．2C．3 D．4解析：平面具有無限延展性，且無薄厚之分．答案：AA．1 B．2要點(diǎn)二共面問題某些點(diǎn)或線在同一個(gè)平面內(nèi)，稱之為這些點(diǎn)、線共面．證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，及其推論，常用方法有：1．先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；要點(diǎn)二共面問題2．先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；3．假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”．2．先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a、b、c和l共面．【分析】

例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么【證明】

∵a∥b，∴直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α，【證明】∵a∥b，∴直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l?α.∵b∥c，∴直線b與c確定一個(gè)平面，設(shè)為β，同理可知l?β.∴平面α和平面β都包含直線b與l，

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α且l∩b＝B，又∵經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴直線a，b，c和l共面．【規(guī)律方法】

在證明多線共面時(shí)，常用“納入法”或“同一法”(如本例)來證明．且l∩b＝B，變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點(diǎn)．求證：三條直線a，b，l共面．證明：證法一：(納入法)如下圖所示．變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點(diǎn)．求∵a∥b，∴直線a，b確定一個(gè)平面α.又∵a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈a，B∈α，∴l(xiāng)?α.因此直線a，b，l都在平面α內(nèi)，即三線共面．∵a∥b，∴直線a，b確定一個(gè)平面α.證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴直線a與l確定一平面α.又∵a∥b，∴直線a和b確定一平面β.∵b∩l＝B，∴B∈β且B?a.又∵a?α，a?β，證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴α和β有公共的一條直線a.又∵B∈α，B∈β，B?a，∴由推論可知，α和β重合．∴直線a，b，l共面.∴α和β有公共的一條直線a.要點(diǎn)三共線問題利用公理3證明三點(diǎn)共線：兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在交線上．如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且直線EH與直線FG交于點(diǎn)O.求證：B、D、O三點(diǎn)共線．要點(diǎn)三共線問題【分析】

解答本題只要證明點(diǎn)O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可。平面教學(xué)課件【證明】

∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，即B、D、O三點(diǎn)共線．【證明】∵E∈AB，H∈AD，【規(guī)律方法】

證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的惟一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．【規(guī)律方法】證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交α于P，Q，R，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交證明：∵A，B，C為α外的三點(diǎn)，∴△ABC所在的平面β與平面α不重合．∵P＝AB∩α，∴P為平面α與β的公共點(diǎn)，同理可證：R，Q也是平面α與β的公共點(diǎn)，由公理3知，P，Q，R三點(diǎn)共線.證明：∵A，B，C為α外的三點(diǎn)，要點(diǎn)四共點(diǎn)問題利用公理3證明多線共點(diǎn)：任意兩條直線的交點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上．要點(diǎn)四共點(diǎn)問題例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．求證：CE、D1F、DA三線交于一點(diǎn)．例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，【分析】

因?yàn)镃E?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD.所以可證明D1F與CE的交點(diǎn)在直線DA上．【分析】因?yàn)镃E?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，平面教學(xué)課件又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點(diǎn)．又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.【規(guī)律方法】

證明三線共點(diǎn)的基本方法是：(1)先說明兩條直線共面且相交于一點(diǎn)，然后說明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)，于是該點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，從而得到三線共點(diǎn)．(2)也可以先說明a，b相交于一點(diǎn)A，b與c相交于一點(diǎn)B，再說明A、B是同一點(diǎn)，從而得到a、b、c三線共點(diǎn)．【規(guī)律方法】證明三線共點(diǎn)的基本方法是：(1)先說明兩條直線變式4如圖三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行．

求證：a、b、c三條直線必過同一點(diǎn)．變式4如圖三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.由于直線a和b不平行，∴a、b必相交．設(shè)a∩b＝P，則P∈a，P∈b.∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c即交線c經(jīng)過點(diǎn)P.∴a、b、c三條直線相交于同一點(diǎn)．證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.1.2.1平面的基本性質(zhì)11.2.1平面的基本性質(zhì)1

象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以____的印象一.平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉.二.平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的。數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果。平面象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以__ADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常用平行四邊形來表示平面．

符號表示：通常用希臘字母等來表示，如：平面也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如：平面AC．、平面ACADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放（3）在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。（3）在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部四.用數(shù)學(xué)符號來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：ABa

點(diǎn)A在直線a上：記為：A∈a點(diǎn)B不在直線a上：記為：B∈a點(diǎn)A在平面α內(nèi)：記為：A∈α點(diǎn)B不在平面α上：記為：B∈αABα(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：四.用數(shù)學(xué)符號來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：ABa點(diǎn)A(3)直線與平面的位置關(guān)系：

直線a上的所有點(diǎn)都在平面α上，稱直線a在平面α內(nèi)，或稱平面α通過直線a.記為：

直線a與平面α只有一個(gè)公共點(diǎn)A時(shí)，稱直線a與平面α相交。記為：a∩α＝AαaαAa(3)直線與平面的位置關(guān)系：直線a上的所有點(diǎn)都在平【例1】已知命題：①10個(gè)平面重疊起來，要比5個(gè)平面重疊起來厚；②有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m；③黑板面是平面；④平面是絕對的平，沒有大小、沒有厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

其中正確的的命題是__________.④【例1】已知命題：④如果把桌面看作一個(gè)平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點(diǎn)都能在桌面上？思考：··如果把桌面看作一個(gè)平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。αlAB桌面αAB觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？五.平面的基本性質(zhì)公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。αlAB文字語言：圖形語言：符號語言：公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有一是可以用來判定一條直線是否在平面內(nèi)，即要判定直線在平面內(nèi)，只需確定直線上兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)即可；

二是可以用來判定點(diǎn)在平面內(nèi)，即如果直線在平面內(nèi)、點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)在平面內(nèi).

三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：一是可以用來判定一條直線是否在平面內(nèi)，即二是可以用公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。Pαβa觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？P天花板α墻面β墻面γ公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。Paαβ如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線。文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共一是判定兩個(gè)平面相交，即如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面相交；二是判定點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)若是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.公理2的作用有二：三.兩平面兩個(gè)公共點(diǎn)的連線就是它們的交線Plβα一是判定兩個(gè)平面相交，即如果兩個(gè)平面有一個(gè)二是判定點(diǎn)在直ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，畫出平面A1C1D與平面B1D1D的交線.

ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1DABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線畫出DE與平面的交點(diǎn)PDABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線A變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面于點(diǎn)P、Q、R，求證：P、Q、R三點(diǎn)在同一直線上。BCQPRA變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)同時(shí)落在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則落在它們的交線上.ABCQPR證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)

用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在空間某一位置，至少需要幾個(gè)手指頭？思考：手指的位置需要滿足什么條件？用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在空間某一位置，至少需要幾公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB或記為平面ABC公理3是確定平面的依據(jù);

判定點(diǎn)或線的共面文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)推論1.一條直線和直線外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。βaABC數(shù)學(xué)語言表示:推論1.一條直線和直線外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。βaABC數(shù)學(xué)已知：點(diǎn)A求證：過點(diǎn)A和直線a有且只有一個(gè)平面.∵∴過不共線的三點(diǎn)A,B,C有一個(gè)平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴過點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面證明:（存在性）（唯一性）推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,在a上任取兩點(diǎn)B、C，又由公理3,經(jīng)過不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面只有一個(gè)∴經(jīng)過a和點(diǎn)A的平面只有一個(gè).aABC已知：點(diǎn)A求證：過點(diǎn)A和直線a有且只有一個(gè)平面.∵∴過不共線推論2.兩條相交直線唯一確定一個(gè)平面。βCab數(shù)學(xué)語言表示:推論2.兩條相交直線唯一確定一個(gè)平面。βCab數(shù)學(xué)語言表示:推論3.兩條平行直線唯一確定一個(gè)平面。βACBab數(shù)學(xué)語言表示:思考1：不共面的四點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面？思考2：四條相交于同一點(diǎn)的直線a,b,c,d并且任意三條都不在同一平面內(nèi)，有它們中的兩條來確定平面，可以確定多少個(gè)平面?推論3.兩條平行直線唯一確定一個(gè)平面。βACBab數(shù)學(xué)語言表【例4】如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，并說明理由.ABC共面【例4】如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B∵A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上證明：∴過A、B、C三點(diǎn)可以確定平面(公理3)∵A∈,B∈∴AB(公理1)同理BC,AC∴AB、AC、BC共面ABC∵A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上證明：∴過A、B、C三點(diǎn)可以證法2：∵A直線BC∴過點(diǎn)A和直線BC確定平面∵A∈,B∈BC∴B∈,∴AB同理AC∴AB、AC、BC共面ABC證法2：∵A直線BC∴過點(diǎn)A和直線BC確定平面∵A∈,B證法3：∵AB∩AC=A∴直線AB、AC確定一個(gè)平面∵B∈AB,C∈AC,C∈∴B∈∴BC(推論2)(公理1)∴直線AB、BC、CA都在平面內(nèi)即它們共面ABC證法3：∵AB∩AC=A∴直線AB、AC確定一個(gè)平面∵B∈A1.已知下列四個(gè)說法：①很平的桌面是一個(gè)平面②平面ABCD的面積為10cm2③平面是矩形或平行四邊形④空間圖形中，后引的輔助線是虛線其中正確的命題有A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

練習(xí)1.已知下列四個(gè)說法：①很平的桌面是一個(gè)平面練習(xí)（×）（×）（×）（×）（×）（×）（×）（×）練3.直線l與過點(diǎn)P的三條直線a1,a2,a3分別交于A，B，C三點(diǎn)（A，B，C異于點(diǎn)P），求證：這四條直線共面。αa3ACPa1a2B例2圖練3.直線l與過點(diǎn)P的三條直線a1,a2,a3分4．根據(jù)下列符號表示的語句，說出有關(guān)點(diǎn)、線、面的關(guān)系，并畫出圖形．4．根據(jù)下列符號表示的語句，說出有關(guān)點(diǎn)、線、面的關(guān)系●lA●lA點(diǎn)A在直線l上點(diǎn)A在直線l外●AA●點(diǎn)A在平面內(nèi)點(diǎn)A在平面外直線l在平面外直線l在平面內(nèi)lll５填空●lA●lA點(diǎn)A在直線l上點(diǎn)A在直線l外●AA6.如圖找平面BA1C1與平面B1AC的交線

ABCDA1B1C1D16.如圖找平面BA1C1與平面B1AC的交線ABCDA7.P、Q分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AA1、CC1上的點(diǎn)，畫出過B、P、Q三點(diǎn)的截面C1D1QABCDA1B1P7.P、Q分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱想一想:兩個(gè)平面能將空間分成幾部分?3或4兩個(gè)平面相交1342132兩個(gè)平面平行想一想:兩個(gè)平面能將空間分成幾部分?3或4兩個(gè)平面相交三個(gè)平面能將空間分成幾部分?13244678三個(gè)平面能將空間分成幾部分?132446782．1.1平面2．1.1平面平面教學(xué)課件要點(diǎn)一平面概念的理解1.平面是一個(gè)不加定義，只須理解的最基本的原始概念．常見的桌面、黑板面、平靜的水面等，都給我們以平面的形象．要點(diǎn)一平面概念的理解2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中的平面是比較平、且有限的，而立體幾何中的平面是理想的、絕對的“平”并無限延展的．3．立體幾何體中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的：平面圖形如三角形，正方形，梯形等它們有大小之分；而平面是無大小、無厚薄之分的，它可以無限延伸，它是不可度量的．2．立體幾何里所說的平面就是從生活中的平面抽象出來的，生活中例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)平行四邊形是一個(gè)平面．(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面．(3)空間圖形中先畫的線是實(shí)線，后畫的線是虛線．【分析】

解答本題可先考慮平面的性質(zhì)及其畫法，然后依次解決。例1判斷下列說法是否正確，并說明理由．【解】

(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，它是不能無限延展的．(2)不正確．平面圖形和平面是完全不同的兩個(gè)概念，平面圖形是有大小的，它是不可能無限延展的．(3)不正確．在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實(shí)線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線(無論是題中原有的，還是后引的輔助線)．【解】(1)不正確．平行四邊形它僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖【規(guī)律方法】

(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平面，但絕不是說平行四邊形就是平面．(2)要嚴(yán)格區(qū)分“平面圖形”和“平面”這兩個(gè)概念．【規(guī)律方法】(1)在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中卻不然．有的同學(xué)在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，對此點(diǎn)沒有認(rèn)識，必將影響空間立體感的形成，削弱或阻斷空間想象能力的培養(yǎng)．(3)在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線，在立體幾何中變式1在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為(

)①書桌面是平面②8個(gè)平面重疊起來，要比6個(gè)平面重疊起來厚③有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m④平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念變式1在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1

B．2C．3 D．4解析：平面具有無限延展性，且無薄厚之分．答案：AA．1 B．2要點(diǎn)二共面問題某些點(diǎn)或線在同一個(gè)平面內(nèi)，稱之為這些點(diǎn)、線共面．證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，及其推論，常用方法有：1．先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；要點(diǎn)二共面問題2．先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；3．假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”．2．先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a、b、c和l共面．【分析】

例2求證：兩兩平行的三條直線如果都與另一條直線相交，那么【證明】

∵a∥b，∴直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α，【證明】∵a∥b，∴直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l?α.∵b∥c，∴直線b與c確定一個(gè)平面，設(shè)為β，同理可知l?β.∴平面α和平面β都包含直線b與l，

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈a，B∈α且l∩b＝B，又∵經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴直線a，b，c和l共面．【規(guī)律方法】

在證明多線共面時(shí)，常用“納入法”或“同一法”(如本例)來證明．且l∩b＝B，變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點(diǎn)．求證：三條直線a，b，l共面．證明：證法一：(納入法)如下圖所示．變式2已知直線l與兩平行直線a和b分別相交于A，B兩點(diǎn)．求∵a∥b，∴直線a，b確定一個(gè)平面α.又∵a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈a，B∈α，∴l(xiāng)?α.因此直線a，b，l都在平面α內(nèi)，即三線共面．∵a∥b，∴直線a，b確定一個(gè)平面α.證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴直線a與l確定一平面α.又∵a∥b，∴直線a和b確定一平面β.∵b∩l＝B，∴B∈β且B?a.又∵a?α，a?β，證法二：(同一法)∵a∩l＝A，∴α和β有公共的一條直線a.又∵B∈α，B∈β，B?a，∴由推論可知，α和β重合．∴直線a，b，l共面.∴α和β有公共的一條直線a.要點(diǎn)三共線問題利用公理3證明三點(diǎn)共線：兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在交線上．如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且直線EH與直線FG交于點(diǎn)O.求證：B、D、O三點(diǎn)共線．要點(diǎn)三共線問題【分析】

解答本題只要證明點(diǎn)O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可。平面教學(xué)課件【證明】

∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，即B、D、O三點(diǎn)共線．【證明】∵E∈AB，H∈AD，【規(guī)律方法】

證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的惟一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．【規(guī)律方法】證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交α于P，Q，R，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．變式3如圖，已知△ABC在平面α外，它的三邊所在直線分別交證明：∵A，B，C為α外的三點(diǎn)，∴△ABC所在的平面β與平面α不重合．∵P＝AB∩α，∴P為平面α與β的公共點(diǎn)，同理可證：R，Q也是平面α與β的公共點(diǎn)，由公理3知，P，Q，R三點(diǎn)共線.證明：∵A，B，C為α外的三點(diǎn)，要點(diǎn)四共點(diǎn)問題利用公理3證明多線共點(diǎn)：任意兩條直線的交點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上．要點(diǎn)四共點(diǎn)問題例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．求證：CE、D1F、DA三線交于一點(diǎn)．例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，【分析】

因?yàn)镃E?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD.所以可證明D1F與CE的交點(diǎn)在直線DA上．【分析】因?yàn)镃E?平面ABCD，D1F?平面ADD1A1，平面教學(xué)課件又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點(diǎn)．又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.【規(guī)律方法】

證明三線共點(diǎn)的基本方法是：(1)先說明兩條直線共面且相交于一點(diǎn)，然后說明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)，于是該點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，從而得到三線共點(diǎn)．(2)也可以先說明a，b相交于一點(diǎn)A，b與c相交于一點(diǎn)B，再說明A、B是同一點(diǎn)，從而得到a、b、c三線共點(diǎn)．【規(guī)律方法】證明三線共點(diǎn)的基本方法是：(1)先說明兩條直線變式4如圖三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a和b不平行．

求證：a、b、c三條直線必過同一點(diǎn)．變式4如圖三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.由于直線a和b不平行，∴a、b必相交．設(shè)a∩b＝P，則P∈a，P∈b.∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c即交線c經(jīng)過點(diǎn)P.∴a、b、c三條直線相交于同一點(diǎn)．證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.1.2.1平面的基本性質(zhì)11.2.1平面的基本性質(zhì)1

象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以____的印象一.平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉.二.平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的。數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果。平面象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以__ADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常用平行四邊形來表示平面．

符號表示：通常用希臘字母等來表示，如：平面也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如：平面AC．、平面ACADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放（3）在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。（3）在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部四.用數(shù)學(xué)符號來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：ABa

點(diǎn)A在直線a上：記為：A∈a點(diǎn)B不在直線a上：記為：B∈a點(diǎn)A在平面α內(nèi)：記為：A∈α點(diǎn)B不在平面α上：記為：B∈αABα(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：四.用數(shù)學(xué)符號來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：ABa點(diǎn)A(3)直線與平面的位置關(guān)系：

直線a上的所有點(diǎn)都在平面α上，稱直線a在平面α內(nèi)，或稱平面α通過直線a.記為：

直線a與平面α只有一個(gè)公共點(diǎn)A時(shí)，稱直線a與平面α相交。記為：a∩α＝AαaαAa(3)直線與平面的位置關(guān)系：直線a上的所有點(diǎn)都在平【例1】已知命題：①10個(gè)平面重疊起來，要比5個(gè)平面重疊起來厚；②有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m；③黑板面是平面；④平面是絕對的平，沒有大小、沒有厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

其中正確的的命題是__________.④【例1】已知命題：④如果把桌面看作一個(gè)平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點(diǎn)都能在桌面上？思考：··如果把桌面看作一個(gè)平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。αlAB桌面αAB觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？五.平面的基本性質(zhì)公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。αlAB文字語言：圖形語言：符號語言：公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有一是可以用來判定一條直線是否在平面內(nèi)，即要判定直線在平面內(nèi)，只需確定直線上兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)即可；

二是可以用來判定點(diǎn)在平面內(nèi)，即如果直線在平面內(nèi)、點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)在平面內(nèi).

三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：一是可以用來判定一條直線是否在平面內(nèi)，即二是可以用公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。Pαβa觀察下列問題，你能得到什么結(jié)論？P天花板α墻面β墻面γ公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。Paαβ如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線。文字語言：圖形語言：符號語言：公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共一是判定兩個(gè)平面相交，即如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面相交；二是判定點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)若是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.公理2的作用有二：三.兩平面兩個(gè)公共點(diǎn)的連線就是它們的交線Plβα一是判定兩個(gè)平面相交，即如果兩個(gè)平面有一個(gè)二是判定點(diǎn)在直ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，畫出平面A1C1D與平面B1D1D的交線.

ABCDA1B1C1D1O【例2】在長方體ABCD—A1B1DABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線畫出DE與平面的交點(diǎn)PDABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線A變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面于點(diǎn)P、Q、R，求證：P、Q、R三點(diǎn)在同一直線上。BCQPRA變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)同時(shí)落在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則落在它們的交線上.ABCQPR證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)

用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在空間某一位置，至少需要幾個(gè)手指頭？思考：手指的位置需要滿足什么條件？用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在空間某一位置，至少需要幾公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB或記為平面ABC公理3是確定平面的依據(jù);

判定點(diǎn)或線的共面文字語言：圖形語言：符號語言：公理3.過不在同一直線上的三點(diǎn)推論1.一條直線和直線外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。βaABC數(shù)學(xué)語言表示:推論1.一條直線和直線外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。βaABC數(shù)學(xué)已知：點(diǎn)A求證：過點(diǎn)A和直線a有且只有一個(gè)平面.∵∴過不共線的三點(diǎn)A,B,C有一個(gè)平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴過點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面證明:（存在