沈陽大學教案課程名稱：工程數學——概率論與數理統計編寫時間：2006年7月15日第次第PAGE1頁授課章節第三章隨機向量目的要求了解不同形式的隨機向量。重點難點掌握不同形式的分布。在很多隨機現象中，只用一個隨機變量來描述往往是不夠的，而要涉及到多個隨機變量．例如打靶時，炮彈彈著點的位置需要由它的橫坐標和縱坐標來確定，這就涉及到兩個隨機變量：橫坐標X和縱坐標Y．又如煉鋼，對煉出的每爐鋼，都需要考慮含碳量、含硫量和硬度這些基本指標，這就涉及到三個隨機變量：含碳量X、含硫量Y和硬度Z；如果還需要考察其它指標，則應引入更多的隨機變量．應該指出，對同一隨機試驗所涉及到的這些隨機變量之間是有聯系的，因而要把它們作為一個整體看待和研究．一般地，對某一隨機試驗涉及到的n個隨機變量X１，X２，?，Xn，記為（X１，X２，?，Xn），稱為n維隨機向量或n維隨機變量．例如炮彈彈著點的位置（X，Y）是二維隨機向量，每爐鋼的基本指標（X，Y，Z）是三維隨機向量．在本章中，我們主要討論二維隨機向量．從二維隨機向量到n維隨機向量的推廣是直接的、形式上的，并無實質性困難，將放在本章最后一節．第1節：二維隨即向量及其分布函數分布函數的概念：設（X，Y）是二維隨機向量，對于任意實數x，y，稱二元函數F（x，y）＝P｛X≤x，Y≤y｝為（X，Y）的分布函數．分布函數的三條性質：1．F（x，y）是變量x，y的不減函數，即對于任意固定的y，當x１＜x２時，F（x１，y）≤F（x２，y）；對于任意固定的x，當y１＜y２時，F（x，y１）≤F（x，y２）．２．０≤F（x，y）≤１，－∞＜x＜∞，－∞＜y＜∞．３．對于固定的y，F（-∞，y）＝對于固定的x，F（x，-∞）＝第2節：二維離散型隨即變量定義：設二維離散型隨機向量（X，Y）所有可能取的值為（xi，yj），i＝１，２，?，j＝１，２，?，記P｛X＝xi，Y＝yj｝＝pij，i＝１，２，?，j＝１，２，?，稱上式為二維離散型隨機向量（X，Y）的概率分布或分布律．例3.2.1設有１０件產品，其中７件正品,3件次品．現從中任取兩次，每次取一件產品，取后不放回．令X＝１，若第一次取到的產品是次品，X＝０，若第一次取到的產品是正品，Y＝１，若第二次取到的產品是次品，Y＝０，若第二次取到的產品是正品．求二維隨機向量（X，Y）的概率分布．解（X，Y）所有可能取的值是（０，０），（０，１），（１，０），（１，１）．首先求P｛X＝０，Y＝０｝，即第一次取到正品、第二次也取到正品的概率，這是古典概型，易得P｛X＝０，Y＝0｝＝７×６/１０×９＝７/１５．同理可分別求得P｛X＝０，Y＝１｝＝７/３０，P｛X＝１，Y＝０｝＝７/３０，P｛X＝１，Y＝１｝＝１/１５．第3節：二維連續型隨即向量定義：對于二維隨機向量（X，Y），如果存在非負函數f（x，y），使得對任意實數x，y有則稱（X，Y）是二維連續型隨機向量，稱f（x，y）為二維連續型隨機向量（X，Y）的概率密度函數，簡稱為概率密度．均勻分布定義：設D是平面上的有界區域，其面積為d，若二維隨機向量（X，Y）的概率密度函數為f（x，y）＝１/d，當（x，y）∈D，０，其它，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布。二維正態分布也是一種重要的分布。第4節：邊緣分布二維隨機向量（X，Y）作為一個整體，具有分布函數F（x，y），其分量X和Y都是隨機變量，也有自己的分布函數，將它們分別記為FX（x），FY（y），依次稱為X和Y的邊緣分布函數，而將F（x，y）稱為X和Y的聯合分布函數．這里需要注意的是，X和Y的邊緣分布函數，本質上就是一維隨機變量X和Y的分布函數．我們現在之所以稱其為邊緣分布是相對于它們的聯合分布而言的．同樣地，聯合分布函數F（x，y）就是二維隨機向量（X，Y）的分布函數，之所以稱其為聯合分布是相對于其分量X或Y的分布而言的．例3.4.1求例３.２.１中（X，Y）的分量X和Y的邊緣分布．解X所有可能取的值為０和１，分別記為x１和x２；Y所有可能取的值也是０和１，分別記為y１和y２．于是p１１＝７/１５，p１２＝７/３０，p２１＝７/３０，p２２＝１/１５．由（3.4.3）式得到X的邊緣分布P｛X＝０｝＝p１·＝p１１＋p１２＝７/１５＋７/３０＝７/１０，P｛X＝１｝＝p２·＝p２１＋p２２＝７/３０＋１/１５＝３/１０．由（3.4.4）式得到Y的邊緣分布P｛Y＝０｝＝p·１＝p１１＋p２１＝７/１５＋７/３０＝７/１０，P｛Y＝１｝＝p·２＝p１２＋p２２＝７/３０＋１/１５＝３/１０．例3.4.2對例3.2.2中的二維隨機向量（XY），求X和Y的邊緣分布．解由（3.4.3）式，得到P｛X＝０｝＝P｛X＝０，Y＝０｝＋P｛X＝０，Y＝１｝＝０．０００１３＋０．１９９８７＝０．２００００，P｛X＝１｝＝P｛X＝１，Y＝０｝＋P｛X＝１，Y＝１｝＝０.００００４＋０.７９９９６＝０.８００００，這就是X的邊緣分布．由此可知，隨機抽取一個人，他是吸煙者的概率為0.2，他是不吸煙者的概率為0.8．同樣地，由（3.4.4）式，得到P｛Y＝０｝＝P｛X＝０，Y＝０｝＋P｛X＝１，Y＝０｝＝０.０００１３＋０.００００４＝０.０００１７，P｛Y＝１｝＝P｛X＝０，Y＝１｝＋P｛X＝１，Y＝１｝＝０.１９９８７＋０.７９９９６＝０.９９９８３，這就是Y的邊緣分布．由此可知，隨機抽取一個人，他患肺癌的概率為０.０００１７，而不患肺癌的概率為０.９９９８３．第5節：條件分布在第１章，曾經介紹了條件概率的概念，這是對隨機事件而言的．在本節中，我們將討論隨機變量的條件分布．設有兩個隨機變量X和Y，在給定了Y取某個值或某些值的條件下，X的分布稱為X的條件分布．類似地，我們可以定義Y的條件分布．例如，考慮一大群人，從其中隨機挑選一個人，分別用X和Y記此人的體重和身高，則X和Y都是隨機變量，它們都有自己的分布．現在如果限制Y取值從１.５米到１．６米，即１．５≤Y≤１．６，在這個限制下求X的條件分布，就意味著要從這一大群人中把身高從１．５米到１．６米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的人群中求其體重的分布．容易想到，這個分布與不設這個限制的分布會很不一樣，因為我們的條件是把身高限制在比較低的人群中，在條件分布中體重取小值的概率會顯著增加．類似地可以考慮限制X取某些值時，在這個限制下求Y的條件分布．從上述例子可以看出條件分布這個概念的重要性．弄清了X的條件分布隨著Y值而變化的情況，就能了解身高對體重的影響．由于在許多問題中有關的變量往往是相互影響的，這使得條件分布成為研究變量之間相依關系的一個有力工具．它在概率論與數理統計的許多分支中有著重要的應用．例3.5.1求例3.2.1中Y的條件分布．解在例3.2.1中已求出（X，Y）的概率分布，在例3.4.1中已求出X的邊緣分布；這樣由（3.5.2）式可得Y的條件分布如下：在X＝０的條件下，P｛Y＝０|X＝０｝＝（７/１５）/（７/１０）＝２/３，P｛Y＝１|X＝０｝＝（７/３０）/（７/１０）＝１/３；在X＝１的條件下，P｛Y＝０|X＝１｝＝（７/３０）/（３/１０）＝７/９，P｛Y＝１|X＝１｝＝（１/１５）/（３/１０）＝２/９．連續型隨即變量的條件概率密度定義：給定y，設對于任意固定，，且若對于任意實數x,極限存在，則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數，記為第6節：隨即變量的獨立性定義：設二維隨機向量（X，Y）的分布函數為F（x，y），X和Y的邊緣分布函數分別為FX（x）和FY（y）．若對任意的實數x，y有F（x，y）＝FX（x）FY（y）則稱隨機變量X和Y相互獨立．由分布函數的定義，（３.６.１）式可以寫為P｛X≤x，Y≤y｝＝P｛X≤x｝P｛Y≤y｝因此，隨機變量X和Y相互獨立是指對任意實數x，y，隨機事件｛X≤x｝和｛Y≤y｝相互獨立．例3.6.1考察例3.2.2（即吸煙與得肺癌關系的研究）中隨機變量的獨立性．解由例3.4.2得到P｛X＝０｝＝０.２，P｛Y＝０｝＝０．０００１７，而P｛X＝０，Y＝０｝＝０.０００１３，顯然P｛X＝０，Y＝０｝≠P｛X＝０｝P｛Y＝０｝，從而X和Y不相互獨立．第7節：隨即變量函數的分布這里我們僅對二維連續型隨機向量（X，Y）的情形加以討論，并且只對兩種特殊的函數關系解決分布問題，這兩種函數關系是１．Z＝X＋Y．２．Z＝max｛X，Y｝和Z＝min｛X，Y｝，其中X和Y相互獨立．Z＝X＋Y的分布設二維連續型隨機向量（X，Y）的概率密度函數為f（x，y），求Z＝X＋Y的概率密度函數fZ（z）．Z＝max｛X，Y｝和Z＝min｛X，Y｝的分布在實際應用中，很多問題都歸結為求Z的分布．例如，假設某地區降水量集中在７、８兩月，該地區的某條河流這兩個月的最高洪峰分別為X和Y．為制定防洪設施的安全標準，就需要知道Z＝max｛X，Y｝的分布．在高山上架設電線需要研究冬天的最大風力，假設某地區一年中風力最大的兩個月的風力分別為X和Y，則一年中最大風力Z＝max｛X，Y｝的分布就要在設計之前搞清楚．/r