第八單元數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)數(shù)與形(2)教學(xué)內(nèi)容人教版六年級(jí)上冊(cè)教材第107~108頁(yè)例2及相關(guān)練習(xí)。內(nèi)容簡(jiǎn)析例2教學(xué)等比數(shù)列之和等于1。教材讓學(xué)生計(jì)算12+14+18+116+132+164+…的得數(shù),引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)12+14=34,12+14+18=78加數(shù)有規(guī)律,即后一個(gè)加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的12;和也有規(guī)律,每次相加所得的和都等于1減去最后一個(gè)加數(shù);加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多,和越接近1。當(dāng)這些加數(shù)無(wú)限地加下去,最后的和無(wú)限接近于1。為了引導(dǎo)學(xué)生理解這一抽象的規(guī)律,教材利用“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”中的面積模型和長(zhǎng)度模型,在圓上和線段上表示出這些加數(shù),使學(xué)生借助模型理解:無(wú)限加下去,最終的得數(shù)為1教學(xué)目標(biāo)1.在學(xué)習(xí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系,尋找規(guī)律,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,學(xué)會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。2.讓學(xué)生經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證的過(guò)程,體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重難點(diǎn)探索數(shù)與形之間的聯(lián)系,尋找規(guī)律,并利用圖形來(lái)解決有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。教法與學(xué)法1.本課時(shí)教學(xué)等比數(shù)列之和等于1,先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?jì)算,在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行猜想,再結(jié)合直觀圖形進(jìn)行驗(yàn)證,滲透極限思想。2.本課時(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是通過(guò)計(jì)算、觀察、討論、交流、猜想、驗(yàn)證、抽象、歸納等方法來(lái)學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,合作探究。承前啟后鏈教學(xué)過(guò)程一、情景創(chuàng)設(shè),導(dǎo)入課題比賽引入法:教師出示一組算式,進(jìn)行師生比賽。12+14=12+14+18=12+14+18+116= 1比賽后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)教師算得速度快,然后談話:想知道老師為什么算得這么快嗎?其實(shí)老師掌握了這組算式中的一個(gè)小秘密,想知道嗎?今天我們繼續(xù)研究數(shù)與形的知識(shí)?！酒肺?用比賽的形式,引發(fā)學(xué)生想要窺探教師心中的秘密的興趣?！壳榫罢故痉?播放課件,首先呈現(xiàn)圓,然后將圓的12、14、18、116……標(biāo)出陰影部分,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后呈現(xiàn)算式的形式,提出問(wèn)題:你能算出陰影部分是圓的幾分之幾嗎?【品析:用情景引入,讓學(xué)生充分觀察發(fā)現(xiàn),滲透數(shù)學(xué)極限思想,同時(shí),學(xué)生在觀察中溝通了數(shù)與形的聯(lián)系,對(duì)題目進(jìn)行了猜想,激發(fā)了學(xué)生求知的欲望?！慷熒献?探究新知◎引領(lǐng)學(xué)生分析教材第107頁(yè)例2。首先引導(dǎo)學(xué)生觀察算式。提問(wèn):你有什么發(fā)現(xiàn)?預(yù)設(shè):分?jǐn)?shù)的分子都是1;后面的分母都是前面的分母乘2;有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)相加。教師指出:這道算式很長(zhǎng),省略號(hào)后面還有算式,要想計(jì)算結(jié)果,我們不可能把每一個(gè)數(shù)都寫(xiě)出,因此,可以先分段計(jì)算,去發(fā)現(xiàn)規(guī)律。1.分段計(jì)算。師:你知道12+14等于多少嗎?(學(xué)生:師:那12+14+18等于多少呢?(學(xué)生觀察這兩組算式,你有什么想法?學(xué)生隱約發(fā)現(xiàn)規(guī)律,結(jié)果的分子和分母相差1,結(jié)果的分母和最后分?jǐn)?shù)的分母相同;結(jié)果是1減去最后一個(gè)分?jǐn)?shù)。教師不作評(píng)價(jià),指出:我們?cè)偎闼憧?下面的算式有這樣的規(guī)律嗎?學(xué)生繼續(xù)計(jì)算12+14+18+116然后教師出示:12+14+18+116+學(xué)生算出結(jié)果后,再次計(jì)算驗(yàn)證。2.觀察分析算式,歸納規(guī)律。通過(guò)剛才的計(jì)算,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):按分子是1,分母依次擴(kuò)大到原來(lái)的2倍的規(guī)律加下去,結(jié)果是1減最后一個(gè)分?jǐn)?shù)?！酒肺?將計(jì)算題分段計(jì)算,引導(dǎo)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律,將復(fù)雜變成簡(jiǎn)單,使學(xué)生的好奇心、求知欲在計(jì)算過(guò)程中層層推進(jìn),學(xué)生的思維逐步激活。】◎借助正方形探究計(jì)算方法。教師:通過(guò)剛才的計(jì)算,我們初步發(fā)現(xiàn)了一部分算式的規(guī)律,那么為什么有這樣的規(guī)律呢?我們不妨用一個(gè)正方形來(lái)看一看。(1)演示12+14:用一個(gè)正方形表示“1”,先取它的一半就是正方形的12(涂紅),剩下部分的一半就是正方形的14想一想:正方形中表示12+14的涂色部分與空白部分和整個(gè)正方形之間有什么關(guān)系呢?(涂色部分等于“1”減去空白部分)空白部分占正方形的幾分之幾?(14)那么涂色部分還可以怎么算呢?(1-14)也就是說(shuō)12(2)繼續(xù)演示12+14+18,誰(shuí)知道除了通分根據(jù)學(xué)生回答,板書(shū)12+14+18(3)演示12+14+18+116,那么計(jì)算12+14+18+(4)看到這兒,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎?小結(jié):按照這樣的規(guī)律往下加,不管加到幾分之一,只要用1減去這個(gè)幾分之一,就可以得到答案。【品析:將復(fù)雜的數(shù)量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形面積計(jì)算,轉(zhuǎn)繁為簡(jiǎn),轉(zhuǎn)難為易,引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)與形的聯(lián)系,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法。】◎知識(shí)提升,探索發(fā)現(xiàn)。1.感受極限。(1)剛才我們已經(jīng)從12一直加到了116384,如果我繼續(xù)加,加到1131072,得數(shù)等于幾?(131071131072)再接著加,一直加到12097152,得數(shù)等于幾?(20971512097152)隨著不斷繼續(xù)加,你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來(lái)越怎么樣?((2)這時(shí)候你心中有沒(méi)有一個(gè)大膽的猜想?(這樣一直加下去,得數(shù)會(huì)等于1)(3)想象一下:如果我們?cè)趧偛偶拥倪^(guò)程中在正方形上不斷涂色,那空白部分的面積就越來(lái)越怎么樣?(小)。而涂色部分的面積越來(lái)越接近幾?(1),也就是得數(shù)越來(lái)越接近幾?(1)。最終得數(shù)是1嗎?你有什么方法來(lái)證明?(預(yù)設(shè):學(xué)生提出課本的圓形圖和線段圖,若沒(méi)有學(xué)生提出,教師自己提出)2.利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。(1)教材上有兩幅圖,我們一起來(lái)看看(課件出示)。一幅是圓形圖,一幅是線段圖,你能看懂它的意思嗎?請(qǐng)你想一想,然后告訴大家你的想法。(2)學(xué)生看書(shū)思考。全班交流,課件演示,得出結(jié)論:這些分?jǐn)?shù)不斷加下去,總和就是1。【品析:利用數(shù)與形的結(jié)合,讓學(xué)生直觀體會(huì)極限數(shù)學(xué)思想,并讓學(xué)生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于“1”的過(guò)程,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神?！俊蛘n堂小結(jié),舉一反三。1.對(duì)于這種借用圖形來(lái)幫助我們解決問(wèn)題的方法,你有什么感受?教師小結(jié):“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題時(shí),你會(huì)發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡(jiǎn)單。2.其實(shí)在以前的學(xué)習(xí)中,我們也常用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法幫助我們解題,你能想到些例子嗎?(如果學(xué)生有困難,教師舉例:分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí),復(fù)雜的路程問(wèn)題線段圖等)【品析:讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法。】三、反饋質(zhì)疑,學(xué)有所得引導(dǎo)學(xué)生回顧例2的學(xué)習(xí)過(guò)程,對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理,教師提出質(zhì)疑問(wèn)題,學(xué)生討論、交流、提升。質(zhì)疑:有人認(rèn)為:這道題的結(jié)果無(wú)限接近1,但永遠(yuǎn)不可能是1。這樣的觀點(diǎn),你認(rèn)同嗎?引導(dǎo)學(xué)生討論交流,明確“無(wú)限”的概念,明確對(duì)于有限的算式,其結(jié)果越來(lái)越接近1,但對(duì)于無(wú)限的算式,其結(jié)果就是1?！酒肺?教學(xué)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反饋質(zhì)疑,進(jìn)一步幫助學(xué)生體會(huì)“極限”思想,引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論、猜想,進(jìn)一步體會(huì)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題的直觀性,感悟數(shù)學(xué)的魅力?！克?、鞏固應(yīng)用,內(nèi)化提升1.完成教材第110頁(yè)“練習(xí)二十二”第4題。(1)全班讀題,學(xué)生獨(dú)立思考。(2)指名回答。根據(jù)學(xué)生回答情況,課件演示。2.完成教材第111頁(yè)“練習(xí)二十二”第6題。(1)全班讀題,學(xué)生獨(dú)立思考。(2)指名回答。根據(jù)學(xué)生回答情況,連線(課件演示)。(3)結(jié)合連線圖得出:小剛一共下了2盤(pán),分別和小林、小強(qiáng)下的?！緟⒖即鸢浮?.400m6.2盤(pán)小強(qiáng)、小林?！酒肺?通過(guò)練習(xí),回顧新知,鞏固新知,使學(xué)生對(duì)新知識(shí)掌握得更扎實(shí),同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的直觀性和變難為易的特點(diǎn)?！课?、課末小結(jié),融會(huì)貫通今天這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了“一列有規(guī)律的分?jǐn)?shù)的求和”問(wèn)題,你有什么收獲?【品析:引導(dǎo)學(xué)生明確,在探索規(guī)律時(shí),要認(rèn)真觀察算式、圖形的特點(diǎn),數(shù)形對(duì)照,找出規(guī)律。】六、教海拾遺,反思提升本課教學(xué)著重引導(dǎo)學(xué)生在充分觀察的基礎(chǔ)上,分段進(jìn)行計(jì)算,找出規(guī)律,然后層層推進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合相互印證,促使學(xué)生感受用形來(lái)解決數(shù)的有關(guān)問(wèn)題的直觀性與簡(jiǎn)捷性。同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生從不同角度探索數(shù)與形的通用模式,掌握推理的方法,體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美。我的反思:板書(shū)設(shè)計(jì)數(shù)與形(2)練習(xí)二十二題型結(jié)構(gòu)分析題號(hào)題型建議1看圖回答問(wèn)題此題學(xué)生看圖比較容易找出規(guī)律,可以小組內(nèi)討論解決。2看圖畫(huà)一畫(huà),解決問(wèn)題先嘗試畫(huà)圖,然后觀察比較,解決問(wèn)題。3看圖解決問(wèn)題先畫(huà)圖然后觀察比較,還可以根據(jù)圖形的變化規(guī)律解決。4解決問(wèn)題充分理解題意,抓住關(guān)鍵語(yǔ)句進(jìn)行思考。5解決問(wèn)題熟讀題意,同時(shí)理解圖像表示的含義,解決問(wèn)題。6解決問(wèn)題通過(guò)連線推理解決問(wèn)題。7看圖畫(huà)一畫(huà)先觀察數(shù)的特征,然后嘗試寫(xiě)數(shù)。8解決問(wèn)題通過(guò)兩種不同的形式計(jì)算大正方形的面積。習(xí)題立體分析第1題:本題是平方數(shù)的變式練習(xí),外圈小正方形的個(gè)數(shù)就是內(nèi)外兩個(gè)正方形圖中小正方形個(gè)數(shù)之差,經(jīng)過(guò)整理,第n個(gè)圖形的最外圈的小正方形個(gè)數(shù)就是8n。第2題:觀察圖發(fā)現(xiàn),后一個(gè)圖比前一個(gè)圖多了一行圓片,每個(gè)圖形中下一行的圓片比上一行的圓片多一個(gè),第n個(gè)圖形中圓片的總數(shù)就是1+2+3+…+n。第3題:觀察三角形發(fā)現(xiàn),每個(gè)圖中小三角形的個(gè)數(shù)正好形成一個(gè)平方數(shù)列:第n個(gè)圖,就有n2個(gè)小三角形。第n個(gè)圖,邊長(zhǎng)就是n,周長(zhǎng)就是3n。第4題:“小亮走到馬路一半的時(shí)候,小狗到達(dá)馬路的終點(diǎn)”說(shuō)明小狗的速度是小亮的2倍,所以小亮走完全程,小狗跑的路程是小亮的2倍,即200×2=400(m)。第5題:充分觀察圖像,橫坐標(biāo)表示時(shí)間的推移/r/