PAGE復變函數與積分變換試題 2004.1.4系別___________班級__________學號__________________姓名___________題號一二三四五六七八九總分得分得分評卷人一、填空（每題3分，共24分）1．的實部是______，虛部是________，輻角主值是______.2．滿足的點集所形成的平面圖形為_______________，該圖形是否為區域___.3．在處可展成Taylor級數與在處解析是否等價？____.4．的值為________________________________________________；主值為____________________________________________________.5．積分的值為________，________.6．函數在處Taylor展開式的收斂半徑是________.7．設,則________________，其中定義為________________.8．函數的有限孤立奇點___，是何種類型的奇點？________.得分評卷人二、（6分）設，問在何處可導？何處解析？并在可導處求出導數值.得分評卷人三、（8分）設求的值使為調和函數，并求出解析函數.得分評卷人四、（10分）將函數在有限孤立奇點處展開為Laurent級數.得分評卷人五、計算下列各題（每小題6分，共24分）1．，求2．求出在所有孤立奇點處的留數3．4．得分評卷人六、（6分）求上半單位圓域在映射下的象.得分評卷人七、（8分）求一映射，將半帶形域映射為單位圓域.得分評卷人八、（6分）設在內解析，在閉圓上連續，且，證明： .得分評卷人九、（8分）用Laplace變換求解常微分方程：

復變函數與積分變換試題解答 2004.1.4系別___________班級__________學號__________姓名___________題號一二三四五六七八九總分得分得分評卷人一、填空（每題3分，共24分）1．的實部是，虛部是，輻角主值是.2．滿足的點集所形成的平面圖形為，以±2為焦點，長半軸為的橢圓，該圖形是否為區域否.3．在處可展成Taylor級數與在處解析是否等價？是.4．的值為；主值為. 5．積分的值為，0.6．函數在處Taylor展開式的收斂半徑是1.7．設,則其中定義為.8．函數的有限弧立奇點0，是何種類型的奇點？可去.得分評卷人二、（6分）設，問在何處可導？何處解析？并在可導處求出導數值.解： （2分）均連續，要滿足條件，必須要成立即僅當和時才成立，所以函數處處不解析；（2分） （2分）得分評卷人三、（8分）設求的值使為調和函數，并求出解析函數.解：因，要使為調和函數，則有即 （4分）所以時，為調和函數，要使解析，則有， （2分）所以即，故 （2分）得分評卷人四、（10分）將函數在有限孤立奇點處展開為Laurent級數.解：的有限孤立奇點為及 （2分）1）當時 （2分）2）當 （2分）3）當 （2分）4）當 （2分）得分評卷人五、計算下列各題（每小題6分，共24分）1．，求解：因在復平面上處處解析由柯西積分公式知，在內， （3分）所以 （2分）而點在內，故 （1分）2．求出在所有孤立奇點處的留數解：函數有孤立奇點0與，而且在內有如下Laurent展開式： （3分）故 （2分） （1分）3．解：，它共有兩個二階極點，且在實軸上無奇點，在上半平面僅有二階極點，所以 （2分） （1分） （3分）4．解：由三角函數公式 （1分） （2分）令，則，于是 （1分）被積函數在內只有一階極點，由公式故由留數定理 （2分）得分評卷人六、（6分）求上半單位圓域在映射下的象.解：令，則 ， （3分）故將上半單位圓域映射為且沿0到1的半徑有割痕.（3分）得分評卷人七、（8分）求一映射，將半帶形域映射為單位圓域.解：（2分）（1分）（2分）（2分）（1分）

得分評卷人八、（6分）設在內解析，在閉圓上連續，且，證明： 證：由于 （