向量知識點總結一、教學要求：.理解向量（平面向量、空間向量）的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念，掌握向量的加法、減法，掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。了解向量的基本定理，掌握向量的數量積及其幾何意義，了解用向量的數量積處理有關長度、角度和垂直問題，理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念。.理解向量（平面向量、空間向量）的坐標的概念，掌握向量的直角坐標運算及兩點間的距離公式。.掌握線線的定比分點和中點坐標公式，并掌握平移公式。二、知識串講：平面向量及其運算（一）向量的基本運算.有關概念（1）向量一一既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向線段表示向量八曰一由/［方向向量一要素<［長度—,—,（2）向量的模一有向線段的長度IABI,IaI—^長度等于—^長度等于1的向量叫做單位向量，a0f

a

f

IaI-f-f-f零向量0（0的方向不定），I0I=0（3）共線向量（平行向量）一一方向相同或相反的向量叫做平行向量或共線向量。（4（4）相等的向量長度相等ff方向相同a二bff規定：0=0向量可以在平面（或空間）平行移動而不變。規定：零向量與任一向量平行。.向量有三種形式（或三種表示）幾何表示<——>幾何運算代數表示<——>代數運算

坐標表示<——>坐標運算.向量的加法、減法與數乘(1)向量的加法一一三角形法則或平行四邊形法則如圖：向量加法的多邊形法則->->—>如圖，求(2)向量的減法：—>—>—>―>―>—>a-b=a+{-b),即向量a加上b的相反向量。二二的箭頭指向被減向量)(3)實數與向量的乘積—>―>長度I九aI=|X|*\a\―>X>0時與〃同向X<0時與〃反向\\X<0時與〃反向\\aIIa―>—>―>―>―>—>※匕〃a（awO）o存在唯一實數入，使Z?=入a.向量的運算法則（加、減、數乘）―>—>—>設向量a,b,c及實數入，內則：TTTT@a+b=b+a―>—>―>―>―>—>(2)(a+b)+c=a+(b+c)TOC\o"1-5"\h\z―>—>—>③(九+|Li)a=Xa+|Lia―>—>―>—>④入(a+Z?)=Xa+XZ?->—>⑤I九aI=|X|,IaIffffff@1al-lb\<\a±bl<la\+\b\（此不等式表示三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，也稱為三角不等式。）.平面向量基本定理（向量的分解定理）TOC\o"1-5"\h\z->―>_>e,e是平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內任一向量a,存在12唯一實數對入，1―>唯一實數對入，1X,使得a=Xe+九e

21122（這個定理表明：平面內的任一向量都可以沿兩個不共線向量分解為唯對向量的―>—>―>―>―>—>和。入e+入e叫做向量e，e的線性組合，e，e叫做表這一平面內所11221212有向量的一組基底。'①基底不唯一，關鍵是不共線、、②基底給定，分解形式唯一>應用：—>—>設。4,3不共線，點o在直線上（即A、B、0三點共線）―>—>—>0。尸=入04+|1108且入+N=1（九，N"（二）向量的坐標運算底，則該平面內任一向量a,有且只有一對實數x,稱（x,y）叫做向量a的（直角）坐標，記作a=示。（如圖，當把向量〃的起點移至原點時，（X,坐標，即A（r,y）,X,y是向量W在X,y軸上的射影也相同。）丁11y?應；一iy,使得a=xi+yj,（x,y）,即為向量的坐標表y）是向量〃=。4終點A的->,與。相等的向量的坐標1.在直角坐標系內，分別取與X軸，y軸同方向的兩個單位向量i,J作為基ffff2.向量的坐標運算已知a=(x,y),bii—>—>——貝U：(1)a+b=(%二Q工——((2)a一b=\x一x,12———(BA-a-b=Xx一x,y12'1AB1-Ai|l(x-xJ2+(y-%12L9T、一三，工、工二(x,y),XeR22>—>—>—>+yj)+(xi+yj)122+x)z+(y+y)j121\2+x，y+31212y-y)，設AI,y)B(x,y)121122v-y)12y}2(3)Xa-xC,y)=Qxii(三)平面向量的數量積->—>ZAOB=->—>ZAOB=0叫做向量a與b的夾角。記作―>—>―>—>設向量OA-a,OB=b,TOC\o"1-5"\h\z―>—>―>—><a,b>,0°<<a,b><180°―>—>―>―>―>—>(1)數量IaI,IbIcos0叫做a與b的數量積(或內積)，記作a-b―>—>―>—>即a,b=\a\?\bIcos0(2)數量積的幾何意義:TOC\o"1-5"\h\z—^—^—^—^—^—^—^a,b等于a的模IaI與b在a的方向上的射影IbIcos0的乘積。.數量積的運算法則—夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕a,b=b?a,a-0=0-a=0>>>>>>(2)(九a)?b二九(a,b)=a?(九b)\XeR)——————————————(3)(a+b)?c=a?c+b?c注意：數量積不滿足結合律！——————=Q,y)?Q,y)=xx+yy(a?b=Q,y)?Q,y)=xx+yy113.重要性質———————e=IaI?cos0(1)設e是單位向量，———————————(3)a〃boa——b=0ox?x+y?y=0b=IaI?IbI或12———a?b=-IaI?oxy1-xy=021(4)T2oxy1-xy=021(4)T2

a(5)cos0=o）a唯一確定）（四）定比分點與平移1.線段的定比分點1，yJ，1，yJ，P2y2）'分點Py)設P,P是l上兩點，P點在/上且12X+X+入X

21十九■y