數學建模建立函數模型解決實際問題數學建模1一、數學建模簡介1.數學建模的含義數學建模就是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建數學模型解決問題的過程.數學建模搭建了數學與外部世界聯系的橋梁,是數學應用的重要形式,數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段,也是推動數學發展的動力.一、數學建模簡介22.數學建模的過程建立函數模型的過程:首先要對實際問題中的變化過程進行分析,析出其中的常量、變量及其相互關系;明確其運動變化的基本特征,從而確定它的運動變化類型;然后根據分析結果,選擇適當的函數類型構建數學模型,將實際問題化歸為數學問題;通過運算、推理,求解函數模型;最后利用函數模型的解說明實際問題的變化規律,達到解決問題的目的.在構建函數模型時,經常會遇到沒有現成數據可用的情況,這時就需要先收集數據.2.數學建模的過程3上述過程可以概括為:上述過程可以概括為:43.數學建模活動的要求(1)組建合作團隊:數學建模活動需要團隊協作.首先在班級中組成3~5人的研究小組,每位同學參加其中一個小組.在小組內,要確定一個課題負責人,使每位成員都有明確的分工;然后擬定研究課題、確定研究方案、規劃研究步驟、編制研究手冊,最后在班里進行一次開題報告.(2)開展研究活動:根據開題報告所規劃的研究步驟,通過背景分析、收集數據、數據分析、數學建模、獲得結論等過程,完成課題研究.在研究過程中,可以借助信息技術解決問題.3.數學建模活動的要求5(3)撰寫研究報告:以小組為單位,撰寫一份研究報告.(4)交流展示:①對同一個課題,先由3~4個小組進行小組交流,每個小組都展示自己的研究成果,相互借鑒、取長補短.在小組研究報告的基礎上形成大組的研究報告.選定代表,制定向全班匯報的演示文稿.(5)與老師一起進行全班研究成果的展示與交流,在各組代表作研究報告的基礎上,通過質疑、辯論、評價,總結成果,分享體會,分析不足,開展自我評價、同學評價和老師評價,完成本次數學建模活動.(3)撰寫研究報告:以小組為單位,撰寫一份研究報告.6二、建立函數模型解決實際問題實例【典例1】為了研究怎樣燒開水最省燃氣,實驗得以下數據:燃氣灶旋鈕角度不同時燒開一壺水所需燃氣量二、建立函數模型解決實際問題實例7通過上表分析:燃氣灶旋鈕角度是多少時,燒開一壺水所需燃氣最少,最少是多少?通過上表分析:燃氣灶旋鈕角度是多少時,燒開一壺水所需燃氣最少8分析數據

燒開一壺水所需的燃氣量與燃氣灶旋鈕角度有關,即燒開一壺水所需的燃氣量是旋轉角度的函數,但是沒有現成的函數模型,因此可以根據給出的數據畫出散點圖,利用圖象直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.分析數據燒開一壺水所需的燃氣量與燃氣灶旋鈕角度有關,即燒9由圖可以看出,5個點顯示出隨著旋鈕角度逐漸增大,燃氣量有一個從大到小又從小到大的過程.在我們學習過的函數圖象中,二次函數的圖象與之最接近,所以可以用二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)近似地表示這種變化(其中x表示旋鈕角度,y表示燃氣量).由圖可以看出,5個點顯示出隨著旋鈕角度逐漸增大,燃氣量有一個10建立模型

設函數解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),取三對數據即可求出解析式的系數,不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172),得方程組建立模型設函數解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),取11檢驗模型

將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫出函數的圖象,可以發現,這個函數模型與實際數據基本吻合,這說明它能較好地反映燒開一壺水所需的燃氣量隨燃氣灶旋鈕角度的變化規律.檢驗模型將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫12求解問題

求燃氣量最少時的旋鈕角度,實際上是求函數y=1.9033×10-5x2-1.4722×10-3x+1.5033×10-1的最小值點x0.求解問題求燃氣量最少時的旋鈕角度,實際上是求函數y=1.13【變式訓練1】某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表:如果體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么現有這個地區某中學一個男生身高175cm,體重78kg,他的體重是否正常?【變式訓練1】某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表14答案:分析數據該地區未成年男性的體重與身高之間存在函數關系,但沒有現成的函數模型,因此可以根據給出的數據畫出散點圖,利用圖象直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.以身高x為橫坐標,體重y為縱坐標,畫出散點圖如圖所示.根據散點圖中點的分布情況,可考慮用y=a·bx作為刻畫這個地區未成年男性的體重與身高關系的函數模型.答案:分析數據該地區未成年男性的體重與身高之間存在函數關系15數學建模課引建立函數模型解決實際問題課件檢驗模型

作出上述函數的圖象(圖略)之后,可以發現,這個函數模型與已知數據的擬合程度較好,這說明它能較好地反映這個地區未成年男性體重與身高的關系.求解問題

將x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由計算器可算得y≈63.98,因為78÷63.98≈1.22>1.2,所以這個男性體型偏胖.檢驗模型作出上述函數的圖象(圖略)之后,可以發現,這個函數【典例2】

個體經營者把開始六個月試銷A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:該經營者準備下月投入12萬元經營這兩種產品,但不知投入A,B兩種商品各多少錢才最合算.請你幫助制定一個資金投入方案,使該經營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經營者下月可獲得的最大純利潤.(結果精確到0.1)【典例2】個體經營者把開始六個月試銷A,B兩種商品的逐月投分析數據

由表中數據可知,該個體經營者試銷A,B兩種商品所獲純利潤與投資金額有關,隨投資金額的變化而變化,二者之間存在某種函數關系,但這種函數關系沒有明確給出,我們可以根據給出的數據畫出散點圖,借助散點圖直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.以投資額x為橫坐標,純利潤y為縱坐標,在平面直角坐標系中畫出散點圖如下圖.分析數據由表中數據可知,該個體經營者試銷A,B兩種商品所19由散點圖可知,可以用二次函數模型近似表示投資A種商品所獲純利潤與投資額的關系,用一次函數模型近似表示投資B種商品所獲純利潤與投資額的關系.由散點圖可知,可以用二次函數模型近似表示投資A種商品所獲純利20建立模型

設投資A種商品所獲純利潤x與投資額y的函數解析式為y=-a(x-4)2+2(a>0),①把x=1,y=0.65代入①式,得0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15.故前六個月所獲純利潤關于月投資A種商品的金額的函數關系可近似地用y=-0.15(x-4)2+2表示,設投資B種商品所獲純利潤x與投資額y的函數解析式為y=bx.②再把x=4,y=1代入②式得b=0.25,故前六個月所獲純利潤關于月投資B種商品的金額的函數關系可近似地用y=0.25x表示.建立模型設投資A種商品所獲純利潤x與投資額y的函數解析式21檢驗模型

將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫出函數的圖象,可以發現,這兩個函數模型與實際數據基本吻合,這說明它們能較好地反映投資兩種商品所獲純利潤與投資額的關系.檢驗模型將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫22求解問題

令下月投入A,B商品的資金分別為xA,xB,總利潤為W,得求解問題令下月投入A,B商品的資金分別為xA,xB,總利23【變式訓練2】某商場經營一批進價為12元/個的小商品,在4天的試銷中,對此商品的單價x(單位:元)與相應的日銷量y(單位:個)作了統計,其數據如下:試確定該商場應將此商品單價定為多少元,才能使日銷售利潤最大?并求出最大利潤.【變式訓練2】某商場經營一批進價為12元/個的小商品,在424答案:分析數據由表中數據可知,日銷售量隨單價的變化而變化,二者之間存在函數關系,但這種函數關系沒有明確給出,我們可以根據給出的數據畫出散點圖,借助散點圖直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.由散點圖可知,日銷售量y與單價x的關系可用一次函數模型來近似表示.答案:分析數據由表中數據可知,日銷售量隨單價的變化而變化,25建立模型設日銷售量y與單價x的函數解析式為y=kx+b(k≠0).當x=16時,y=42;當x=20時,y=30.由②-①,得-12=4k,解得k=-3.代入②,解得b=90.所以y=-3x+90.建立模型設日銷售量y與單價x的函數解析式為y=kx+b(k26檢驗模型將表中數據代入所得解析式進行驗證,可以發現數據完全吻合,所以日銷售量關于單價的函數解析式為y=-3x+90.求解問題因為日銷售利潤P=(x-12)·(-3x+90)=-3x2+126x-1080=-3(x-21)2+243.因為二次函數圖象開口向下,所以當x=21時,P最大為243.即商品單價為21元時,利潤最大,最大值為243元.檢驗模型將表中數據代入所得解析式進行驗證,可以發現數據完全27數學建模活動

某企業所生產的產品由其銷售部的員工銷售。由于生產力等方面的因素，銷售部的每位員工每月最多可以銷售價值500萬元的產品，其月工資由基本工資8000元以及績效工資兩部分組成，且需滿足下列條件：①績效工資金額隨著員工當月銷售產品的總價值的增加而增加且不超過當其月銷售產品的總價值的1%②若員工當月銷售產品的總價值恰為企業規定的月銷售額指標時，其績效工資為0元；當績效工資金額為負值時，將從基本工資8000元中扣除相應的金額，但為了保證員工的基本生活，每月工資不得少于2000元

現已知該企業銷售部員工甲、乙、丙、丁上個月分別銷售了30萬、140萬、260萬、400萬的產品，試設計績效工資方案以及確定他們該月的績效工資金額。并說明該工資方案的優缺點。數學建模活動 某企業所生產的產品由其銷售部的員工銷售。由于生28函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)反比例函數模型f(x)＝

＋b(k，b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)指數型函數模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)對數型函數模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)冪函數型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)常見函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常29數學建模建立函數模型解決實際問題數學建模30一、數學建模簡介1.數學建模的含義數學建模就是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建數學模型解決問題的過程.數學建模搭建了數學與外部世界聯系的橋梁,是數學應用的重要形式,數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段,也是推動數學發展的動力.一、數學建模簡介312.數學建模的過程建立函數模型的過程:首先要對實際問題中的變化過程進行分析,析出其中的常量、變量及其相互關系;明確其運動變化的基本特征,從而確定它的運動變化類型;然后根據分析結果,選擇適當的函數類型構建數學模型,將實際問題化歸為數學問題;通過運算、推理,求解函數模型;最后利用函數模型的解說明實際問題的變化規律,達到解決問題的目的.在構建函數模型時,經常會遇到沒有現成數據可用的情況,這時就需要先收集數據.2.數學建模的過程32上述過程可以概括為:上述過程可以概括為:333.數學建模活動的要求(1)組建合作團隊:數學建模活動需要團隊協作.首先在班級中組成3~5人的研究小組,每位同學參加其中一個小組.在小組內,要確定一個課題負責人,使每位成員都有明確的分工;然后擬定研究課題、確定研究方案、規劃研究步驟、編制研究手冊,最后在班里進行一次開題報告.(2)開展研究活動:根據開題報告所規劃的研究步驟,通過背景分析、收集數據、數據分析、數學建模、獲得結論等過程,完成課題研究.在研究過程中,可以借助信息技術解決問題.3.數學建模活動的要求34(3)撰寫研究報告:以小組為單位,撰寫一份研究報告.(4)交流展示:①對同一個課題,先由3~4個小組進行小組交流,每個小組都展示自己的研究成果,相互借鑒、取長補短.在小組研究報告的基礎上形成大組的研究報告.選定代表,制定向全班匯報的演示文稿.(5)與老師一起進行全班研究成果的展示與交流,在各組代表作研究報告的基礎上,通過質疑、辯論、評價,總結成果,分享體會,分析不足,開展自我評價、同學評價和老師評價,完成本次數學建模活動.(3)撰寫研究報告:以小組為單位,撰寫一份研究報告.35二、建立函數模型解決實際問題實例【典例1】為了研究怎樣燒開水最省燃氣,實驗得以下數據:燃氣灶旋鈕角度不同時燒開一壺水所需燃氣量二、建立函數模型解決實際問題實例36通過上表分析:燃氣灶旋鈕角度是多少時,燒開一壺水所需燃氣最少,最少是多少?通過上表分析:燃氣灶旋鈕角度是多少時,燒開一壺水所需燃氣最少37分析數據

燒開一壺水所需的燃氣量與燃氣灶旋鈕角度有關,即燒開一壺水所需的燃氣量是旋轉角度的函數,但是沒有現成的函數模型,因此可以根據給出的數據畫出散點圖,利用圖象直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.分析數據燒開一壺水所需的燃氣量與燃氣灶旋鈕角度有關,即燒38由圖可以看出,5個點顯示出隨著旋鈕角度逐漸增大,燃氣量有一個從大到小又從小到大的過程.在我們學習過的函數圖象中,二次函數的圖象與之最接近,所以可以用二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)近似地表示這種變化(其中x表示旋鈕角度,y表示燃氣量).由圖可以看出,5個點顯示出隨著旋鈕角度逐漸增大,燃氣量有一個39建立模型

設函數解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),取三對數據即可求出解析式的系數,不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172),得方程組建立模型設函數解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),取40檢驗模型

將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫出函數的圖象,可以發現,這個函數模型與實際數據基本吻合,這說明它能較好地反映燒開一壺水所需的燃氣量隨燃氣灶旋鈕角度的變化規律.檢驗模型將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫41求解問題

求燃氣量最少時的旋鈕角度,實際上是求函數y=1.9033×10-5x2-1.4722×10-3x+1.5033×10-1的最小值點x0.求解問題求燃氣量最少時的旋鈕角度,實際上是求函數y=1.42【變式訓練1】某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表:如果體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么現有這個地區某中學一個男生身高175cm,體重78kg,他的體重是否正常?【變式訓練1】某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表43答案:分析數據該地區未成年男性的體重與身高之間存在函數關系,但沒有現成的函數模型,因此可以根據給出的數據畫出散點圖,利用圖象直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.以身高x為橫坐標,體重y為縱坐標,畫出散點圖如圖所示.根據散點圖中點的分布情況,可考慮用y=a·bx作為刻畫這個地區未成年男性的體重與身高關系的函數模型.答案:分析數據該地區未成年男性的體重與身高之間存在函數關系44數學建模課引建立函數模型解決實際問題課件檢驗模型

作出上述函數的圖象(圖略)之后,可以發現,這個函數模型與已知數據的擬合程度較好,這說明它能較好地反映這個地區未成年男性體重與身高的關系.求解問題

將x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由計算器可算得y≈63.98,因為78÷63.98≈1.22>1.2,所以這個男性體型偏胖.檢驗模型作出上述函數的圖象(圖略)之后,可以發現,這個函數【典例2】

個體經營者把開始六個月試銷A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:該經營者準備下月投入12萬元經營這兩種產品,但不知投入A,B兩種商品各多少錢才最合算.請你幫助制定一個資金投入方案,使該經營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經營者下月可獲得的最大純利潤.(結果精確到0.1)【典例2】個體經營者把開始六個月試銷A,B兩種商品的逐月投分析數據

由表中數據可知,該個體經營者試銷A,B兩種商品所獲純利潤與投資金額有關,隨投資金額的變化而變化,二者之間存在某種函數關系,但這種函數關系沒有明確給出,我們可以根據給出的數據畫出散點圖,借助散點圖直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.以投資額x為橫坐標,純利潤y為縱坐標,在平面直角坐標系中畫出散點圖如下圖.分析數據由表中數據可知,該個體經營者試銷A,B兩種商品所48由散點圖可知,可以用二次函數模型近似表示投資A種商品所獲純利潤與投資額的關系,用一次函數模型近似表示投資B種商品所獲純利潤與投資額的關系.由散點圖可知,可以用二次函數模型近似表示投資A種商品所獲純利49建立模型

設投資A種商品所獲純利潤x與投資額y的函數解析式為y=-a(x-4)2+2(a>0),①把x=1,y=0.65代入①式,得0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15.故前六個月所獲純利潤關于月投資A種商品的金額的函數關系可近似地用y=-0.15(x-4)2+2表示,設投資B種商品所獲純利潤x與投資額y的函數解析式為y=bx.②再把x=4,y=1代入②式得b=0.25,故前六個月所獲純利潤關于月投資B種商品的金額的函數關系可近似地用y=0.25x表示.建立模型設投資A種商品所獲純利潤x與投資額y的函數解析式50檢驗模型

將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫出函數的圖象,可以發現,這兩個函數模型與實際數據基本吻合,這說明它們能較好地反映投資兩種商品所獲純利潤與投資額的關系.檢驗模型將已知的表中數據代入上述得到的函數解析式,或者畫51求解問題

令下月投入A,B商品的資金分別為xA,xB,總利潤為W,得求解問題令下月投入A,B商品的資金分別為xA,xB,總利52【變式訓練2】某商場經營一批進價為12元/個的小商品,在4天的試銷中,對此商品的單價x(單位:元)與相應的日銷量y(單位:個)作了統計,其數據如下:試確定該商場應將此商品單價定為多少元,才能使日銷售利潤最大?并求出最大利潤.【變式訓練2】某商場經營一批進價為12元/個的小商品,在453答案:分析數據由表中數據可知,日銷售量隨單價的變化而變化,二者之間存在函數關系,但這種函數關系沒有明確給出,我們可以根據給出的數據畫出散點圖,借助散點圖直觀地分析這組數據的變化規律,從而幫助我們選擇函數模型.由散點圖可知,日銷售量y與單價x的關系可用一次函數模型來近似表示.答案:分析數據由表中數據可知,日銷售量隨單價的變化而變化,54建立模型設日銷售量y與單價x的函數解析式為y=kx+b(k≠0).當x=16時,y=42;當x=20時,y=30.由②-①,得-12=4k,解得k=-3.代入②,解得b=90.所以y=-3x+90.