2.1庫侖定律電場強度一、庫侖定律注意下標！！是表征真空電性質的物理量，稱為真空的介電常數（電容率）2.1庫侖定律電場強度一、庫侖定律注意下標??！適用范圍：點電荷，指當帶電體的尺度遠遠小于它們之間的距離時，將其電荷集中于一點的理想化模型。實際帶電體分布在一定的區域內，稱為分布電荷。定律的意義真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力F的大小與它們的電量和的乘積成正比；與它們之間的距離的平方成反比；力的方向沿著它們的連線，同號電荷之間是斥力，異號電荷之間是引力。適用范圍：庫侖定律為實驗定律。同時電荷之間的作用力滿足線性疊加原理。

電荷所受到的作用力是空間其余電荷單獨存在時作用力的矢量代數和，即

庫侖定律為實驗定律。同時電荷之間的作用力滿足線性疊加原理。二、電場強度（一）引入背景庫侖定律表明了兩個點電荷之間相互作用力的大小和方向，但沒有表明這種作用力是如何傳遞的。電場對處在其中的任何電荷都有作用力，稱為電場力。電荷間的相互作用力就是通過電場傳遞的。二、電場強度（二）定義電場強度：單位正實驗電荷所受到的作用力。實驗電荷是指帶電量很小，引入到電場內不影響電場分布的電荷。

點電荷產生的電場強度（二）定義源點：電荷所在點場點：觀察點源點：電荷所在點疊加性

如果真空中有n個點電荷，則r點處的電場強度可由疊加原理計算。即真空中n個點電荷在r點處的電場強度，等于各個點電荷單獨在該點產生電場強度的疊加。即疊加性（三）電荷密度電子是自然界中最小的帶電粒子之一，任何帶電體的電荷量都是以電子電荷量的整數倍數值量出現的。從微觀上看，電荷是以離散的方式出現在空間的。從工程或宏觀電磁學的觀點上看，大量的帶電粒子密集地出現在某空間體積內時，可以假定電荷以連續分布的形式充滿于該體積中?；谶@種假設，我們用電荷體密度（即體電荷密度）來描述電荷在空間的分布.（三）電荷密度電子是自然界中最小的帶電粒子之一，任何帶電體的體電荷密度的定義為電荷面密度為電荷線密度為體電荷密度的定義為電荷面密度為電荷線密度為恒定電場與靜電場的比擬課件分布式電荷產生電場的計算方法分布式電荷產生電場的計算方法【例】已知一個半徑為a的均勻帶電圓環，求軸線上任意一點的電場強度?！窘狻窟x擇圓柱坐標系，如圖2-3，圓環位于xoy平面，圓環中心與坐標原點重合，設電荷線密度為。則

【例】已知一個半徑為a的均勻帶電圓環，求軸線上所以軸線上任意一點的電場強度為圖2-3帶均勻線電荷的圓環

o

yxzRdqaPz圖2-3帶均勻線電荷的圓環oyxzRdqaPz2.2電位

一、靜電場的無旋性根據體電荷的場強表達式來推導靜電場的旋度。2.2電位一、靜電場的無旋性由矢量恒等式靜電場的無旋性Stokes定理結論：靜電場是無旋場（保守場），電場強度E沿任一閉合曲線的線積分均恒為零，靜電場中不存在旋渦源。

由矢量恒等式靜電場的無旋性Stokes定理結論：靜電場是無旋

二、電位由于靜電場的無旋性電場強度可用標量函數完整的描述靜電場的特性，即該標量函數稱為電位（電勢），單位：伏特（V）。式中的負號也表示電場是指向電位下降的方向。電位并不是唯一的。把任意一個常數C加到上，并不會影響E。因此要確定某一給定點的電位，必須任意設定空間某一點的電位為零，該點稱為參考點。dlPQCE圖2-4靜電場中的電位二、電位dlPQCE圖2-4靜電場中的電電場可由電位的負梯度來計算，那么電位是如何由電場計算呢？E從場中一點延任意路徑到另一點的線積分與路徑無關電場可由電位的負梯度來計算，那么電位是如何由電場計算呢？E從若選擇Q點為電位參考點，即，則場域內任一點P的電位為當電荷分布在有限區域時，通常取無窮遠為參考點，即若選擇Q點為電位參考點，即，則場域內任一點電荷 點電荷系 體電荷 面電荷 線電荷

點電荷 【例】

一個半徑為a的均勻帶電圓環，其電荷線密度為，求軸線上任一點的電位和電場強度?！窘狻窟x擇圓柱坐標系如圖

圖2-5帶均勻線電荷的圓環

o

yxzRdqaPz【例】一個半徑為a的均勻帶電圓環，其電荷線密度為2.3靜電場中的導體與電介質一、靜電場中的導體導體是一種擁有大量自由電子的物質，如金屬。在靜電場中，導體內的自由電子會在靜電力的作用下，做反電場方向的運動，直至積累在導體表面的電荷產生的附加電場在導體內處處與外加電場相抵消，此時導體內凈電場為零（即靜電平衡狀態）。2.3靜電場中的導體與電介質一、靜電場中的導體靜電平衡由知，導體中的電位為常數，導體為等位體，導體表面是等位面。導體內凈電荷密度為0，任何凈電荷只能分布在導體表面上（包括空腔導體的內表面）。體表面上場強的切向分量為0：；導體表面只可能有電場的法向分量；即電場E必垂直于導體表面靜電平衡二、靜電場中的電介質1.電介質電介質與導體不同，它的原子核與周圍的電子之間相互作用力很大，所有的電子均被束縛在原子核周圍，沒有可自由運動的自由電荷。因此在電場的作用下，唯一可能存在的運動，就是正負電荷向相反方向產生微小位移，從而形成極化電荷。這些極化電荷構成了新的附加場源，使原電場的分布發生變化。因而有必要單獨加以討論。二、靜電場中的電介質按照介質分子內部結構的不同，可將其分為兩類：一類是非極性分子，它的正負電荷的電中心重合，偶極矩為零。另一類是極性分子，其正負電荷的電中心不重合而，具有固有偶極矩。但由于分子的熱運動，它們的排列是隨機的。在沒有外加電場時，從整體上看呈電中性，即總的偶極矩為零。此外，還有部分介質是由離子組成的。我們主要討論由分子組成的介質。按照介質分子內部結構的不同，可將其分為兩類：一類是非極性分子2.電介質的極化電介質在外電場的作用下，極性分子中的正負電荷要產生相反方向的微小位移，形成電偶極子；而對于極性分子會向外電場方向偏轉，排列有序，總的電偶極矩不再為零。這兩種現象均稱為電介質的極化。極化的結果在電介質的內部和表面都產生了極化電荷，極化電荷產生的極化電場疊加在原來的電場上，使電場發生變化。3.電偶極子在極化了的電介質中，每個分子都起著電偶極子的作用。因此從微觀上討論電偶極子的場是很有必要的。電偶極子是指由間距很小的兩個等量異號點電荷組成的系統，如圖2-6所示。2.電介質的極化電偶極子的遠區場取電偶極子的軸與z軸重合，電偶極子的中心在坐標原點。則電偶極子在空間任意點P的電位為

其中：

由于，所以將展開并略去高階項，得Pr1r2rlOθ-q+q圖2-6電偶極子電偶極子的遠區場Pr1r2rlOθ-q+q圖2-6電偶極子

故 通常用電偶極矩表示電偶極子的大小和取向，它定義為電荷乘以有向距離，即

電偶極子的遠區場為

電偶極子的場圖如圖2-7所示。圖2-7電偶極子的場圖電偶極子的場圖如圖2-7所示。4．極化強度

為定量地計算介質極化的影響，引入極化強度矢量

P，以及極化電荷密度的概念。極化強度P定義為：在介質極化后，給定點上單位體積內總的電偶極矩，即

若p是體積中的平均偶極矩，是分子密度，則極化強度也可表示為

xPzyr0圖2-10切向邊界條件4．極化強度xPzyr0圖2-10切向邊界條件5.極化介質產生的電位當介質極化后，可等效為真空中一系列電偶極子。極化介質產生的附加電場，實質上就是這些電偶極子產生的電場，如圖2-8所示。在極化強度為P的電介質中取一體積元,則中的電偶極矩為，中的電偶極子在介質外r處產生的電位是整個極化介質產生的電位是利用矢量恒等式：5.極化介質產生的電位變換為

將上式與自由電荷和和等效面分布電荷在真空中共同產生的。等效體電荷密度和等效面電荷密度分別為

這個等效電荷也稱為極化電荷或束縛電荷。變換為 2.4高斯定理一、真空中的高斯定理立體角的概念定義：①球面面元：在一個半徑為R的球面上任取一個面元dS，則此面元可構成一個以球心為頂點的錐體，如圖所示，dS對球心所張成的立體角定義為dS與R2的比值。用dΩ表示。

②非球面面元：取投影dS?er與R2的比值2.4高斯定理一、真空中的高斯定理故曲面S對O所張的立體角為若S為封閉曲面，則故曲面S對O所張的立體角為高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷之間的關系。先考慮點電荷的電場穿過任意封閉曲面S的通量：對點電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為上式稱為真空中的高斯定理。高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷之間的如果閉合面內的電荷是密度為的體電荷積分形式微分形式散度定理如果閉合面內的電荷是密度為的體電荷積分形式微分形式散度定理高斯定理的積分形式：可直接用來計算某些對稱分布電荷所產生的場強值。高斯定理的微分形式：用來從電場分布計算電荷分布。高斯定理的積分形式：可直接用來計算某些對稱分布電荷所產生的場【例】

已知電荷按體密度分布于一個半徑為a的球形區域內，試計算球內、外的電場強度及其電位?！窘狻匡@然電場具有球對稱性

（1）時【例】已知電荷按體密度所以球外電場為（2）時所以球外電場為所以球內電場為恒定電場與靜電場的比擬課件【例】

已知半徑為a的球內、外的電場強度為求電荷分布?！窘狻?/p>

【例】已知半徑為a的球內、外的電場強度為二、介質中的高斯定理在有介質存在的情況下，總電場（也稱宏觀電場）是外加電場和極化介質產生的電場之和，即為閉合面內的總的凈束縛電荷。且所以二、介質中的高斯定理令D稱為電位移矢量（電感應強度、電通量密度），單位：庫侖每平方米（C/m2）

介質中的高斯定理的積分形式介質中的高斯定理的微分形式令D稱為電位移矢量（電感應強度、電通量密度），單位：庫侖每平實驗表明，對于各向同性的、線性的均勻介質，其極化強度P與宏觀電場強度成正比，即是介質的極化率當介質的極化強度P與宏觀電場強度E的方向一致，且比值相等時，稱為各向同性介質。若介質的極化率與E無關，稱為線性介質。若介質的極化率與坐標變量無關，則稱為均勻介質。實驗表明，對于各向同性的、線性的均勻介質，其極化強度P與宏觀電介質的本構關系為介質的介電常數；為介質的相對介電常數。電介質的本構關系為介質的介電常數；為介質的相對介電常數。【例】

一個半徑為a的導體球，帶電量為q，在導體球外套有半徑為b的同心介質球殼，殼外是空氣。試計算空間任一點的電場強度?！窘狻坑捎趯w球和球外介質都是球對稱的，故場分布也應該是球對稱的，可以用高斯定理求解。當時，顯然，導體內場強為零，即當時，應用介質中的高斯定理，得

【例】一個半徑為a的導體球，帶電量為q，在導體球當時，應用真空中的高斯定理，得

三、靜電場的基本方程根據前面所學的靜電場的特性，我們可以總結出靜電場的基本方程為：

1.積分形式

當時，應用真空中的高斯定理，得1.積2.微分形式

理論上求解一組基本方程可唯一地確定靜電場的場強，但由于它們是矢量方程組，除了某些特例，直接求解相當困難。2.微分形式 理論上求解一組基本方程可唯一地確定靜電場的場強2.5靜電場的邊界條件在電磁場中，空間常常存在著兩種或兩種以上的不同媒質。由于電介質的極化特性不同，在兩種不同媒質的分界面上一般存在著面束縛電荷，它將使電場強度和電位移產生躍變。電場強度和電位移在不同媒質的分界面上的躍變規律，稱為邊界條件（或銜接條件）。由于分界面上的場量產生躍變，靜電場方程的微分形式不成立，故只能從靜電場方程的積分形式出發來討論場的邊界條件。

2.5靜電場的邊界條件在電磁場中，空間常常存在著兩種或兩

一、法向邊界條件在分界面上任取一點，包含該點做一閉合小圓柱，其上下底面與分界面平行，底面積非常??；側面與分界面垂直，且側高趨于零，如圖2-9。對此閉合面應用介質中的高斯定理得

或 稱為：靜電場法向分量的邊界條件

hSD2D1

1

2en圖2-10切向邊界條件一、法向邊界條件hSD2D112en圖2-10當介質分界面不存在自由電荷時，法向邊界條件變為 該邊界條件也可用電位來表示當介質分界面不存在自由電荷時，法向邊界條件變為 該邊界條件也二、切向邊界條件在分界面上任取一點，包含該點做一小矩形閉合回路。長邊（足夠短）分居界面兩側，并與界面平行，短邊趨于零，且與界面垂直，如圖2-10。由靜電場的保守性得

兩式稱為電場切向分量的邊界條件E12

11

2E2lhet圖2-10切向邊界條件電場強度E的切向分量在分界面上是連續的二、切向邊界條件E12112E2lhet圖2-1切向邊界條件也可用電位來表示在介質分界面不存在自由電荷時邊界條件實質上是靜電場基本方程在媒質分界面上的一種表現形式。只有同時滿足基本方程和邊界條件的場矢量D、E才是靜電場問題的解。切向邊界條件也可用電位來表示在介質分界面不存在自由電荷時【例】設平面y=0是兩種介質的分界面，在y>0的區域內，，而在y<0的區域內，。如已知，求、?！窘狻俊纠吭O平面y=0是兩種介質的分界面，在y>0的區域內，恒定電場與靜電場的比擬課件2.6泊松方程和拉普拉斯方程求出空間的所有電荷分布，要求完成不規則的積分運算，通常是很困難的。促使尋求解決問題的其它途徑，即求解電位所滿足的微分方程。可根據靜電場基本方程的微分形式，推導出電位與場源之間滿足的泊松方程和拉普拉斯方程。在中，代入和關系式，得電位的泊松方程2.6泊松方程和拉普拉斯方程求出空間的所有電荷分布，要求完成對于無電荷分布區域電位的拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是二階偏微分方程，在一般情況下不易求解。但是如果場源電荷和邊界形狀具有某種對稱性，那么電位也將具有某種對稱性。這將使電位的偏微分方程簡化為常微分方程，可以用直接積分法求解。常涉及場域限定在一個有限的范圍內。在有限空間區域內，可以有電荷，也可以沒有電荷，但在有限區域的分界面上都具有一定的邊界條件。這些給定邊界條件下求解場的問題，稱為邊值問題。所有這些問題的解決，都歸結為求解滿足給定邊值的泊松方程和拉普拉斯方程。對于無電荷分布區域電位的拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是

【例】

兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為，并充滿密度為的體電荷。求極板間電場強度?！窘狻坑捎跇O板面無限大，故板間電場為均勻場，且場源電荷僅與x有關，所以板間電場和電位也只是的函數。設處電位為0，處電位為。根據題意有【例】兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為

當時，

當時，

所以板間任意一點電位為

故板間任意一點電場為

2.7電容一、電容若兩個導體上的電量分別為-q和q，它們之間的電壓為u時，雙導體電容定義為

電容量是一個與兩個導體形狀、相對位置及周圍介質有關的常數，單位為：法（F）。孤立導體的電容可以看成是孤立導體與無窮遠之間的電容，即 2.7電容一、電容一個導體系統，如果它的形狀、相對位置及周圍介質確定，則其電容量也隨之確定。因此在計算系統電容時，計算思路為【例】如圖所示的球形電容器是由半徑分別為a、b的同心導體球面組成，兩導體之間充以介電常數為的電介質。求其電容量。【解】設球形電容器的內外導體上分別帶有+q和-q的電荷，由于電荷分布具有球面對稱，由高斯定理可得兩導體之間的電場強度為圖2-11球形電容器ab一個導體系統，如果它的形狀、相對位置及周圍介質確定，則其電容則內外導體之間的電壓為

故球形電容器的電容量為

則內外導體之間的電壓為多導體系統：有兩個以上導體的系統。

在多導體系統中，每個導體所帶的電量都會影響其它導體的電位。在線性媒質中，應用疊加原理，可得到每個導體的電位和各導體所帶電量的關系如下：二、部分電容電位系數只與導體的幾何形狀、尺寸、相對位置及介質特性有關，而與導體所帶電量無關。

多導體系統：有兩個以上導體的系統。在多導體系統中，每個導電容系數也只與導體的幾何參數及系統中介質的特性有關

電容系數也只與導體的幾何參數及系統中介質的特性有關

，稱為自部分電容；，稱為互部分電容。互部分電容也具有互易性，，2.8靜電場能量與靜電力一、靜電能電場的最基本特征是對場域中的電荷有力的作用，說明靜電場中儲存有能量，稱為靜電能。它是電場在建立過程中由外力做功轉化而來的。靜電能是勢能，其總能量只與靜電系統最終的電荷分布有關，與形成這種分布的過程無關?？杉僭O在電場的建立過程中，各帶電體的電荷密度均按同一比例因子增加，則各帶電體的電位也按同一比例因子增加。2.8靜電場能量與靜電力一、靜電能則當從0增加到1的過程中，對于某一體積元，新增加的微分電荷對于固定的，其電位為，所以整個空間增加的能量為系統總能量點電荷系和帶電導體的靜電能則當從0增加到1的過程中，對于某一體積元，新增加將代入得：將代入得：積分區域可無限擴大從而稱為電能密度對于各向同性的、線性的均勻介質有積分區域可無限擴大從而稱為電能密度對于各向同性的、線性的均

【例】

若真空中電荷均勻分布在半徑為a的球體內，計算電場能量。

【解法1】：由高斯定理可得球內外的電場為

所以

【例】若真空中電荷均勻分布在半徑為a的球體內，計算電場能【解法2】球內任一點的電位為

【解法2】球內任一點的電位為

二、靜電力根據庫侖定律或電場強度的定義可以計算電荷所受的電場力。在簡單問題中，這種方法是有效的，但在復雜系統中，這種計算是很困難的。這時就需要用虛位移法來計算電場力。在一個與電源相連接的帶電體系統中，假設某個帶電體在電場力的作用下產生了一個小位移，那么電場力就要對它做功。根據能量守恒原理應有：電場力所做的功+電場儲能的增量=外電源所提供的能量，即 由于各帶電體與電源相連，所以它們的電位是不變的，即有二、靜電力

而電場儲能的增量為

說明外電源所提供的能量一半使得電場儲能增加，另一半提供給電場力做功，亦即

或

如果帶電體系統是與外電源斷開的隔離系統，則外電源對系統不提供能量，此時各帶電體上的電量不變，式（2-73）變為

而電場儲能的增量為 即 或

由于計算的是沒有位移（虛位移）時的力，故不論是那一種情況，其計算結果是一致的。即 2.9恒定電場一、電流密度電荷在電場作用下作定向運動就形成電流，等速運動的電荷稱為恒定電流，維持恒定電流分布的電場稱為恒定電場。電流（強度）是指單位時間內通過某導體截面的電流量，即電流可分為傳導電流和運流電流傳導電流：導電媒質中的恒定電流運流電流：真空中電子或離子運動形成的電流2.9恒定電場一、電流密度電流可分為傳導電流和運流電流傳導恒定電場的兩個基本變量為電流密度和電場強度電流密度是一個矢量，它的方向與導體中該點正電荷運動的方向相同，大小等于與正電荷運動方向垂直的單位面積上的電流強度，即從電流密度可以求出流過任意面積的電流，即 n為該點正電荷運動的方向恒定電場的兩個基本變量為電流密度和電場強度n為該點正電荷運動如果電流僅僅分布在導體表面的一個薄層內，則稱為面電流。任意一點面電流密度的方向是該點正電荷運動的方向，大小等于通過垂直與電流方向的單位長度上的電流，即如果電流僅僅分布在導體表面的一個薄層內，則稱為面電流。任意一如果電荷沿著細導線或空間一線形區域流動，則可近似看成是線電流。若運動電荷的密度和速度分別為和，則線電流為

二、歐姆定律與焦耳定律1.歐姆定律對于各向同性的、線性的均勻導電媒質，其中任意一點的電流密度與該點的電場強度成正比，即如果電荷沿著細導線或空間一線形區域流動，則可近似看成是線電流通常的歐姆定律，稱為歐姆定律的積分形式。積分形式的歐姆定律是描述一段導線上的導電規律，而微分形式的歐姆定律是描述導體內任一點電流密度與電場強度的關系，它比積分形式更能細致地描述導體的導電規律。2.焦耳定律導體內的電子在運動過程中，不斷與原子核碰撞，把自身的能量傳遞給質子，使得導體的溫度升高。這就是電流的熱效應，這種由電能轉換來的熱能稱為焦耳熱。通常的歐姆定律，稱為歐姆定律的積分形式。積分形式的歐姆定律是在單位時間內，電場力對體積元中的元電荷dq

所做的功為此功轉換為焦耳熱，故電場在導電媒質單位體積中消耗的功率為

上式稱為焦耳定律的微分形式。對于整個導體消耗的總功率為

在單位時間內，電場力對體積元中的元電荷dq所做的三、電荷守恒定律電荷守恒定律表明，任一封閉系統內的電荷總量不變。從任一封閉曲面流出的電流，應等于曲面所包圍的體積內，單位時間內電荷的減少量，即焦耳定律不適用于運流電流。因為對于運流電流，電場力對電荷所做的功轉變為電荷的動能，而非熱能。電流連續性方程的積分形式三、電荷守恒定律焦耳定律不適用于運流電流。因為對于運流電流，散度定理電流連續性方程的微分形式散度定理電流連續性方程的微分形式對于恒定電場恒定電流必定是連續的，電流線總是閉合曲線，恒定電場是無散場。對于恒定電場恒定電流必定是連續的，微分形式

四、恒定電場的基本方程與邊界條件1.恒定電場的基本方程在恒定電場中，電荷的分布不隨時間變化。故由該分布電荷產生的電場（電源外）必定與靜電場的性質相同，也是保守場，即電源外部的恒定電場的基本方程可歸納如下：微分形式四、恒定電場的基本方程與邊界條件在恒定電場中，積分形式積分形式2.恒定電場的邊界條件將恒定電場基本方程的積分形式應用到兩種不同導體的界面上，如圖所示，可得出恒定電場的邊界條件為法向邊界條件切向邊界條件2.恒定電場的邊界條件法向邊界條件切向邊界條件法向邊界條件切向邊界條件結論：在不同導體的分界面上，電流密度的法向分量連續，電場強度的切向分量連續。兩個邊界條件也可用電位表示法向邊界條件切向邊界條件法向邊界條件切向邊界條件結論：在不同導體的分界面上，電流密度五、恒定電場與靜電場的比擬把電源以外的恒定電場與不存在電荷區域的靜電場加以比較。

PN恒定電場PN靜電場圖2-15恒定電場與靜電場的比擬五、恒定電場與靜電場的比擬PN恒定電場PN靜電場圖2-15恒定電場中的場量和分別與靜電場中的場量和是相互對應的，它們在方程中的地位相同，是對偶量。且兩者都滿足拉普拉斯方程，若處在相同的邊界條件下，根據唯一性定理，這兩個場的電位函數必有相同的解。因此，可以把一種場的計算和實驗所得的結果，通過對偶量的代換，應用于另一種場。這種方法稱為靜電比擬法?？梢杂渺o電比擬法根據電容求電導。一個球形電容器的電容為

其中：a是內球半徑，b是外球殼半徑。恒定電場中的場量和分別與靜電場中的場量和是相互對應的，它們在只要將換為，就可由電容求得電導，而不必去求解電場，即【例】

試計算半徑為a的半球形接地電阻?！窘狻肯惹蟀霃綖閍的球形電容根據對偶關系知，對應的球形電導為故半球電阻為只要將換為，就可由電容求得電導，而不必去2.1庫侖定律電場強度一、庫侖定律注意下標?。∈潜碚髡婵针娦再|的物理量，稱為真空的介電常數（電容率）2.1庫侖定律電場強度一、庫侖定律注意下標??！適用范圍：點電荷，指當帶電體的尺度遠遠小于它們之間的距離時，將其電荷集中于一點的理想化模型。實際帶電體分布在一定的區域內，稱為分布電荷。定律的意義真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力F的大小與它們的電量和的乘積成正比；與它們之間的距離的平方成反比；力的方向沿著它們的連線，同號電荷之間是斥力，異號電荷之間是引力。適用范圍：庫侖定律為實驗定律。同時電荷之間的作用力滿足線性疊加原理。

電荷所受到的作用力是空間其余電荷單獨存在時作用力的矢量代數和，即

庫侖定律為實驗定律。同時電荷之間的作用力滿足線性疊加原理。二、電場強度（一）引入背景庫侖定律表明了兩個點電荷之間相互作用力的大小和方向，但沒有表明這種作用力是如何傳遞的。電場對處在其中的任何電荷都有作用力，稱為電場力。電荷間的相互作用力就是通過電場傳遞的。二、電場強度（二）定義電場強度：單位正實驗電荷所受到的作用力。實驗電荷是指帶電量很小，引入到電場內不影響電場分布的電荷。

點電荷產生的電場強度（二）定義源點：電荷所在點場點：觀察點源點：電荷所在點疊加性

如果真空中有n個點電荷，則r點處的電場強度可由疊加原理計算。即真空中n個點電荷在r點處的電場強度，等于各個點電荷單獨在該點產生電場強度的疊加。即疊加性（三）電荷密度電子是自然界中最小的帶電粒子之一，任何帶電體的電荷量都是以電子電荷量的整數倍數值量出現的。從微觀上看，電荷是以離散的方式出現在空間的。從工程或宏觀電磁學的觀點上看，大量的帶電粒子密集地出現在某空間體積內時，可以假定電荷以連續分布的形式充滿于該體積中?；谶@種假設，我們用電荷體密度（即體電荷密度）來描述電荷在空間的分布.（三）電荷密度電子是自然界中最小的帶電粒子之一，任何帶電體的體電荷密度的定義為電荷面密度為電荷線密度為體電荷密度的定義為電荷面密度為電荷線密度為恒定電場與靜電場的比擬課件分布式電荷產生電場的計算方法分布式電荷產生電場的計算方法【例】已知一個半徑為a的均勻帶電圓環，求軸線上任意一點的電場強度。【解】選擇圓柱坐標系，如圖2-3，圓環位于xoy平面，圓環中心與坐標原點重合，設電荷線密度為。則

【例】已知一個半徑為a的均勻帶電圓環，求軸線上所以軸線上任意一點的電場強度為圖2-3帶均勻線電荷的圓環

o

yxzRdqaPz圖2-3帶均勻線電荷的圓環oyxzRdqaPz2.2電位

一、靜電場的無旋性根據體電荷的場強表達式來推導靜電場的旋度。2.2電位一、靜電場的無旋性由矢量恒等式靜電場的無旋性Stokes定理結論：靜電場是無旋場（保守場），電場強度E沿任一閉合曲線的線積分均恒為零，靜電場中不存在旋渦源。

由矢量恒等式靜電場的無旋性Stokes定理結論：靜電場是無旋

二、電位由于靜電場的無旋性電場強度可用標量函數完整的描述靜電場的特性，即該標量函數稱為電位（電勢），單位：伏特（V）。式中的負號也表示電場是指向電位下降的方向。電位并不是唯一的。把任意一個常數C加到上，并不會影響E。因此要確定某一給定點的電位，必須任意設定空間某一點的電位為零，該點稱為參考點。dlPQCE圖2-4靜電場中的電位二、電位dlPQCE圖2-4靜電場中的電電場可由電位的負梯度來計算，那么電位是如何由電場計算呢？E從場中一點延任意路徑到另一點的線積分與路徑無關電場可由電位的負梯度來計算，那么電位是如何由電場計算呢？E從若選擇Q點為電位參考點，即，則場域內任一點P的電位為當電荷分布在有限區域時，通常取無窮遠為參考點，即若選擇Q點為電位參考點，即，則場域內任一點電荷 點電荷系 體電荷 面電荷 線電荷

點電荷 【例】

一個半徑為a的均勻帶電圓環，其電荷線密度為，求軸線上任一點的電位和電場強度?！窘狻窟x擇圓柱坐標系如圖

圖2-5帶均勻線電荷的圓環

o

yxzRdqaPz【例】一個半徑為a的均勻帶電圓環，其電荷線密度為2.3靜電場中的導體與電介質一、靜電場中的導體導體是一種擁有大量自由電子的物質，如金屬。在靜電場中，導體內的自由電子會在靜電力的作用下，做反電場方向的運動，直至積累在導體表面的電荷產生的附加電場在導體內處處與外加電場相抵消，此時導體內凈電場為零（即靜電平衡狀態）。2.3靜電場中的導體與電介質一、靜電場中的導體靜電平衡由知，導體中的電位為常數，導體為等位體，導體表面是等位面。導體內凈電荷密度為0，任何凈電荷只能分布在導體表面上（包括空腔導體的內表面）。體表面上場強的切向分量為0：；導體表面只可能有電場的法向分量；即電場E必垂直于導體表面靜電平衡二、靜電場中的電介質1.電介質電介質與導體不同，它的原子核與周圍的電子之間相互作用力很大，所有的電子均被束縛在原子核周圍，沒有可自由運動的自由電荷。因此在電場的作用下，唯一可能存在的運動，就是正負電荷向相反方向產生微小位移，從而形成極化電荷。這些極化電荷構成了新的附加場源，使原電場的分布發生變化。因而有必要單獨加以討論。二、靜電場中的電介質按照介質分子內部結構的不同，可將其分為兩類：一類是非極性分子，它的正負電荷的電中心重合，偶極矩為零。另一類是極性分子，其正負電荷的電中心不重合而，具有固有偶極矩。但由于分子的熱運動，它們的排列是隨機的。在沒有外加電場時，從整體上看呈電中性，即總的偶極矩為零。此外，還有部分介質是由離子組成的。我們主要討論由分子組成的介質。按照介質分子內部結構的不同，可將其分為兩類：一類是非極性分子2.電介質的極化電介質在外電場的作用下，極性分子中的正負電荷要產生相反方向的微小位移，形成電偶極子；而對于極性分子會向外電場方向偏轉，排列有序，總的電偶極矩不再為零。這兩種現象均稱為電介質的極化。極化的結果在電介質的內部和表面都產生了極化電荷，極化電荷產生的極化電場疊加在原來的電場上，使電場發生變化。3.電偶極子在極化了的電介質中，每個分子都起著電偶極子的作用。因此從微觀上討論電偶極子的場是很有必要的。電偶極子是指由間距很小的兩個等量異號點電荷組成的系統，如圖2-6所示。2.電介質的極化電偶極子的遠區場取電偶極子的軸與z軸重合，電偶極子的中心在坐標原點。則電偶極子在空間任意點P的電位為

其中：

由于，所以將展開并略去高階項，得Pr1r2rlOθ-q+q圖2-6電偶極子電偶極子的遠區場Pr1r2rlOθ-q+q圖2-6電偶極子

故 通常用電偶極矩表示電偶極子的大小和取向，它定義為電荷乘以有向距離，即

電偶極子的遠區場為

電偶極子的場圖如圖2-7所示。圖2-7電偶極子的場圖電偶極子的場圖如圖2-7所示。4．極化強度

為定量地計算介質極化的影響，引入極化強度矢量

P，以及極化電荷密度的概念。極化強度P定義為：在介質極化后，給定點上單位體積內總的電偶極矩，即

若p是體積中的平均偶極矩，是分子密度，則極化強度也可表示為

xPzyr0圖2-10切向邊界條件4．極化強度xPzyr0圖2-10切向邊界條件5.極化介質產生的電位當介質極化后，可等效為真空中一系列電偶極子。極化介質產生的附加電場，實質上就是這些電偶極子產生的電場，如圖2-8所示。在極化強度為P的電介質中取一體積元,則中的電偶極矩為，中的電偶極子在介質外r處產生的電位是整個極化介質產生的電位是利用矢量恒等式：5.極化介質產生的電位變換為

將上式與自由電荷和和等效面分布電荷在真空中共同產生的。等效體電荷密度和等效面電荷密度分別為

這個等效電荷也稱為極化電荷或束縛電荷。變換為 2.4高斯定理一、真空中的高斯定理立體角的概念定義：①球面面元：在一個半徑為R的球面上任取一個面元dS，則此面元可構成一個以球心為頂點的錐體，如圖所示，dS對球心所張成的立體角定義為dS與R2的比值。用dΩ表示。

②非球面面元：取投影dS?er與R2的比值2.4高斯定理一、真空中的高斯定理故曲面S對O所張的立體角為若S為封閉曲面，則故曲面S對O所張的立體角為高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷之間的關系。先考慮點電荷的電場穿過任意封閉曲面S的通量：對點電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為上式稱為真空中的高斯定理。高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷之間的如果閉合面內的電荷是密度為的體電荷積分形式微分形式散度定理如果閉合面內的電荷是密度為的體電荷積分形式微分形式散度定理高斯定理的積分形式：可直接用來計算某些對稱分布電荷所產生的場強值。高斯定理的微分形式：用來從電場分布計算電荷分布。高斯定理的積分形式：可直接用來計算某些對稱分布電荷所產生的場【例】

已知電荷按體密度分布于一個半徑為a的球形區域內，試計算球內、外的電場強度及其電位?！窘狻匡@然電場具有球對稱性

（1）時【例】已知電荷按體密度所以球外電場為（2）時所以球外電場為所以球內電場為恒定電場與靜電場的比擬課件【例】

已知半徑為a的球內、外的電場強度為求電荷分布?！窘狻?/p>

【例】已知半徑為a的球內、外的電場強度為二、介質中的高斯定理在有介質存在的情況下，總電場（也稱宏觀電場）是外加電場和極化介質產生的電場之和，即為閉合面內的總的凈束縛電荷。且所以二、介質中的高斯定理令D稱為電位移矢量（電感應強度、電通量密度），單位：庫侖每平方米（C/m2）

介質中的高斯定理的積分形式介質中的高斯定理的微分形式令D稱為電位移矢量（電感應強度、電通量密度），單位：庫侖每平實驗表明，對于各向同性的、線性的均勻介質，其極化強度P與宏觀電場強度成正比，即是介質的極化率當介質的極化強度P與宏觀電場強度E的方向一致，且比值相等時，稱為各向同性介質。若介質的極化率與E無關，稱為線性介質。若介質的極化率與坐標變量無關，則稱為均勻介質。實驗表明，對于各向同性的、線性的均勻介質，其極化強度P與宏觀電介質的本構關系為介質的介電常數；為介質的相對介電常數。電介質的本構關系為介質的介電常數；為介質的相對介電常數。【例】

一個半徑為a的導體球，帶電量為q，在導體球外套有半徑為b的同心介質球殼，殼外是空氣。試計算空間任一點的電場強度。【解】由于導體球和球外介質都是球對稱的，故場分布也應該是球對稱的，可以用高斯定理求解。當時，顯然，導體內場強為零，即當時，應用介質中的高斯定理，得

【例】一個半徑為a的導體球，帶電量為q，在導體球當時，應用真空中的高斯定理，得

三、靜電場的基本方程根據前面所學的靜電場的特性，我們可以總結出靜電場的基本方程為：

1.積分形式

當時，應用真空中的高斯定理，得1.積2.微分形式

理論上求解一組基本方程可唯一地確定靜電場的場強，但由于它們是矢量方程組，除了某些特例，直接求解相當困難。2.微分形式 理論上求解一組基本方程可唯一地確定靜電場的場強2.5靜電場的邊界條件在電磁場中，空間常常存在著兩種或兩種以上的不同媒質。由于電介質的極化特性不同，在兩種不同媒質的分界面上一般存在著面束縛電荷，它將使電場強度和電位移產生躍變。電場強度和電位移在不同媒質的分界面上的躍變規律，稱為邊界條件（或銜接條件）。由于分界面上的場量產生躍變，靜電場方程的微分形式不成立，故只能從靜電場方程的積分形式出發來討論場的邊界條件。

2.5靜電場的邊界條件在電磁場中，空間常常存在著兩種或兩

一、法向邊界條件在分界面上任取一點，包含該點做一閉合小圓柱，其上下底面與分界面平行，底面積非常小；側面與分界面垂直，且側高趨于零，如圖2-9。對此閉合面應用介質中的高斯定理得

或 稱為：靜電場法向分量的邊界條件

hSD2D1

1

2en圖2-10切向邊界條件一、法向邊界條件hSD2D112en圖2-10當介質分界面不存在自由電荷時，法向邊界條件變為 該邊界條件也可用電位來表示當介質分界面不存在自由電荷時，法向邊界條件變為 該邊界條件也二、切向邊界條件在分界面上任取一點，包含該點做一小矩形閉合回路。長邊（足夠短）分居界面兩側，并與界面平行，短邊趨于零，且與界面垂直，如圖2-10。由靜電場的保守性得

兩式稱為電場切向分量的邊界條件E12

11

2E2lhet圖2-10切向邊界條件電場強度E的切向分量在分界面上是連續的二、切向邊界條件E12112E2lhet圖2-1切向邊界條件也可用電位來表示在介質分界面不存在自由電荷時邊界條件實質上是靜電場基本方程在媒質分界面上的一種表現形式。只有同時滿足基本方程和邊界條件的場矢量D、E才是靜電場問題的解。切向邊界條件也可用電位來表示在介質分界面不存在自由電荷時【例】設平面y=0是兩種介質的分界面，在y>0的區域內，，而在y<0的區域內，。如已知，求、?！窘狻俊纠吭O平面y=0是兩種介質的分界面，在y>0的區域內，恒定電場與靜電場的比擬課件2.6泊松方程和拉普拉斯方程求出空間的所有電荷分布，要求完成不規則的積分運算，通常是很困難的。促使尋求解決問題的其它途徑，即求解電位所滿足的微分方程?？筛鶕o電場基本方程的微分形式，推導出電位與場源之間滿足的泊松方程和拉普拉斯方程。在中，代入和關系式，得電位的泊松方程2.6泊松方程和拉普拉斯方程求出空間的所有電荷分布，要求完成對于無電荷分布區域電位的拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是二階偏微分方程，在一般情況下不易求解。但是如果場源電荷和邊界形狀具有某種對稱性，那么電位也將具有某種對稱性。這將使電位的偏微分方程簡化為常微分方程，可以用直接積分法求解。常涉及場域限定在一個有限的范圍內。在有限空間區域內，可以有電荷，也可以沒有電荷，但在有限區域的分界面上都具有一定的邊界條件。這些給定邊界條件下求解場的問題，稱為邊值問題。所有這些問題的解決，都歸結為求解滿足給定邊值的泊松方程和拉普拉斯方程。對于無電荷分布區域電位的拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是

【例】

兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為，并充滿密度為的體電荷。求極板間電場強度?！窘狻坑捎跇O板面無限大，故板間電場為均勻場，且場源電荷僅與x有關，所以板間電場和電位也只是的函數。設處電位為0，處電位為。根據題意有【例】兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為

當時，

當時，

所以板間任意一點電位為

故板間任意一點電場為

2.7電容一、電容若兩個導體上的電量分別為-q和q，它們之間的電壓為u時，雙導體電容定義為

電容量是一個與兩個導體形狀、相對位置及周圍介質有關的常數，單位為：法（F）。孤立導體的電容可以看成是孤立導體與無窮遠之間的電容，即 2.7電容一、電容一個導體系統，如果它的形狀、相對位置及周圍介質確定，則其電容量也隨之確定。因此在計算系統電容時，計算思路為【例】如圖所示的球形電容器是由半徑分別為a、b的同心導體球面組成，兩導體之間充以介電常數為的電介質。求其電容量。【解】設球形電容器的內外導體上分別帶有+q和-q的電荷，由于電荷分布具有球面對稱，由高斯定理可得兩導體之間的電場強度為圖2-11球形電容器ab一個導體系統，如果它的形狀、相對位置及周圍介質確定，則其電容則內外導體之間的電壓為

故球形電容器的電容量為

則內外導體之間的電壓為多導體系統：有兩個以上導體的系統。

在多導體系統中，每個導體所帶的電量都會影響其它導體的電位。在線性媒質中，應用疊加原理，可得到每個導體的電位和各導體所帶電量的關系如下：二、部分電容電位系數只與導體的幾何形狀、尺寸、相對位置及介質特性有關，而與導體所帶電量無關。

多導體系統：有兩個以上導體的系統。在多導體系統中，每個導電容系數也只與導體的幾何參數及系統中介質的特性有關

電容系數也只與導體的幾何參數及系統中介質的特性有關

，稱為自部分電容；，稱為互部分電容。互部分電容也具有互易性，，2.8靜電場能量與靜電力一、靜電能電場的最基本特征是對場域中的電荷有力的作用，說明靜電場中儲存有能量，稱為靜電能。它是電場在建立過程中由外力做功轉化而來的。靜電能是勢能，其總能量只與靜電系統最終的電荷分布有關，與形成這種分布的過程無關?？杉僭O在電場的建立過程中，各帶電體的電荷密度均按同一比例因子增加，則各帶電體的電位也按同一比例因子增加。2.8靜電場能量與靜電力一、靜電能則當從0增加到1的過程中，對于某一體積元，新增加的微分電荷對于固定的，其電位為，所以整個空間增加的能量為系統總能量點電荷系和帶電導體的靜電能則當從0增加到1的過程中，對于某一體積元，新增加將代入得：將代入得：積分區域可無限擴大從而稱為電能密度對于各向同性的、線性的均勻介質有積分區域可無限擴大從而稱為電能密度對于各向同性的、線性的均

【例】

若真空中電荷均勻分布在半徑為a的球體內，計算電場能量。

【解法1】：由高斯定理可得球內外的電場為

所以

【例】若真空中電荷均勻分布在半徑為a的球體內，計算電場能【解法2】球內任一點的電位為

【解法2】球內任一點的電位為

二、靜電力根據庫侖定律或電場強度的定義可以計算電荷所受的電場力。在簡單問題中，這種方法是有效的，但在復雜系統中，這種計算是很困難的。這時就需要用虛位移法來計算電場力。在一個與電源相連接的帶電體系統中，假設某個帶電體在電場力的作用下產生了一個小位移，那么電場力就要對它做功。根據能量守恒原理應有：電場力所做的功+電場儲能的增量=外電源所提供的能量，即 由于各帶電體與電源相連，所以它們的電位是不變的，即有二、靜電力

而電場儲能的增量為

說明外電源所提供的能量一半使得電場儲能增加，另一半提供給電場力做功，亦即

或