11.2.1三角形的內(nèi)角第十一章三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)11.2

與三角形有關(guān)的角第1課時

三角形的內(nèi)角和

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件11.2.1三角形的內(nèi)角第十一章三角形導(dǎo)入新課講授1學(xué)習(xí)目標(biāo)2.會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.（難點）1.會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)2.會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.（難點）1.會用2我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對，我有一個鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.導(dǎo)入新課情境引入我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最3三角形三個內(nèi)角的和等于180°.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？講授新課三角形的內(nèi)角和定理的證明一探究：在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.三角形三個內(nèi)角的和等于180°.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要4如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)=180°-75°-20°幾何問題借助方程來解.∴∠CED=∠B=78°．解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°三角形三個內(nèi)角的和等于180°.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，3x＋x＋(x＋15)＝180.=180°-75°-20°∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，(兩直線平行，同位角相等)∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC3x＋x＋(x＋15)＝180.例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.驗證結(jié)論三角形三個內(nèi)角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點A作l∥BC，∴∠B=∠1.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=1805證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，CBAED126CBAEDF證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同學(xué)們還有其他的方法嗎？CBAEDF證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.想一想：7思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助8例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：∵AD是△ABC的角平分線，且∠BAC=40°∴∠BAD=∠BAC=20°.∴在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的內(nèi)角和定理的運用二例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=79【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°∵CD是∠ACB的平分線∴∠BCD＝∠ACB＝30°∵DE∥BC∴∠EDC＝∠BCD＝30°在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝510【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù).解：如圖所示，由題意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．DE【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南11例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥A12∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠CED=∠B=78°．∴∠BPC=180°-60°=120°．∠C=∠2.∴∠ACE＝×90°＝45°，會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.3x＋x＋(x＋15)＝180.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．所以3x＝99，x＋15＝48.=180°-75°-20°三角形的內(nèi)角和定理的運用【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∠CAD=15°，∠EBC=80°5.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．拓展∠AED+∠EDF=180°，5.如圖，在△ABC中，BP平13【變式題】你能直接寫出∠BPC與∠A

之間的數(shù)量關(guān)系嗎？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A

．【變式題】你能直接寫出∠BPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系嗎？解：14基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.總結(jié)歸納4基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三15當(dāng)堂練習(xí)1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=30x=50當(dāng)堂練習(xí)1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=3016【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．解析：根據(jù)已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE即可求得∠DCE的度數(shù)．比例關(guān)系可考慮用方程思想求角度.【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，C17解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，182.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°2.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________19例3

在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數(shù)學(xué)思想.例3在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，∠203.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．3.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=1214.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度數(shù).解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.4.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分22課堂小結(jié)三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于180°課堂小結(jié)三角形的證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)2311.2.1三角形的內(nèi)角第十一章三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)11.2

與三角形有關(guān)的角第1課時

三角形的內(nèi)角和

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件11.2.1三角形的內(nèi)角第十一章三角形導(dǎo)入新課講授24學(xué)習(xí)目標(biāo)2.會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.（難點）1.會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.（重點）學(xué)習(xí)目標(biāo)2.會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.（難點）1.會用25我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對，我有一個鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.導(dǎo)入新課情境引入我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最26三角形三個內(nèi)角的和等于180°.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？講授新課三角形的內(nèi)角和定理的證明一探究：在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.三角形三個內(nèi)角的和等于180°.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要27如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)=180°-75°-20°幾何問題借助方程來解.∴∠CED=∠B=78°．解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°三角形三個內(nèi)角的和等于180°.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，3x＋x＋(x＋15)＝180.=180°-75°-20°∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，(兩直線平行，同位角相等)∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC3x＋x＋(x＋15)＝180.例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.驗證結(jié)論三角形三個內(nèi)角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點A作l∥BC，∴∠B=∠1.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=18028證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，CBAED1229CBAEDF證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同學(xué)們還有其他的方法嗎？CBAEDF證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.想一想：30思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助31例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：∵AD是△ABC的角平分線，且∠BAC=40°∴∠BAD=∠BAC=20°.∴在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的內(nèi)角和定理的運用二例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=732【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°∵CD是∠ACB的平分線∴∠BCD＝∠ACB＝30°∵DE∥BC∴∠EDC＝∠BCD＝30°在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝533【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù).解：如圖所示，由題意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．DE【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南34例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥A35∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠CED=∠B=78°．∴∠BPC=180°-60°=120°．∠C=∠2.∴∠ACE＝×90°＝45°，會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.3x＋x＋(x＋15)＝180.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．所以3x＝99，x＋15＝48.=180°-75°-20°三角形的內(nèi)角和定理的運用【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∠CAD=15°，∠EBC=80°5.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．拓展∠AED+∠EDF=180°，5.如圖，在△ABC中，BP平36【變式題】你能直接寫出∠BPC與∠A

之間的數(shù)量關(guān)系嗎？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A

．【變式題】你能直接寫出∠BPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系嗎？解：37基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.總結(jié)歸納4基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三38當(dāng)堂練習(xí)1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=30x=50當(dāng)堂練習(xí)1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=3039【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．解析：根據(jù)已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE即可求得∠DCE的度數(shù)．比例關(guān)系可考慮用方程思想求角度.【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，C40解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝