通信原理1通信原理1通信原理第10章數字信號最佳接收2通信原理第10章數字信號最佳接收2第10章數字信號最佳接收10.1數字信號的統計特性以二進制為例研究接收電壓的統計特性。假設：通信系統中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設發送的二進制碼元為“0”和“1”，其發送概率分別為P(0)和P(1)，則有

P(0)+P(1)=1 若此通信系統的基帶截止頻率小于fH，則根據低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。設在一個碼元持續時間Ts內以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值：，則有k＝2fHTs。3第10章數字信號最佳接收10.1數字信號的統計特性3第10章數字信號最佳接收由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為 式中，n－噪聲的標準偏差；

n2

－噪聲的方差，即噪聲平均功率； i＝1，2，…，k。設接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯合概率密度函數為

4第10章數字信號最佳接收由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態分布第10章數字信號最佳接收由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、互相獨立的。這樣，此k維聯合概率密度函數可以表示為當k很大時，在一個碼元持續時間Ts內接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成5第10章數字信號最佳接收由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概第10章數字信號最佳接收利用上式關系，并注意到 式中n0

－噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯合概率密度函數可以改寫為： 式中

n=(n1,n2,…,nk)－

k維矢量，表示一個碼元內噪聲的k個抽樣值。需要注意，f(n)不是時間函數，雖然式中有時間函數n(t)，但是后者在定積分內，積分后已經與時間變量t無關。n是一個k維矢量，它可以看作是k維空間中的一個點。6第10章數字信號最佳接收利用上式關系，并注意到6第10章數字信號最佳接收在碼元持續時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數k（它和系統帶寬有關）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內噪聲的能量：由于噪聲的隨機性，每個碼元持續時間內噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸的碼元中有一些會發生錯誤，而另一些則無錯。7第10章數字信號最佳接收在碼元持續時間Ts、噪聲單邊功率譜第10章數字信號最佳接收設接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:

r(t)=s(t)+n(t) 則在發送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變為s(t)。所以，當發送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為 式中r=s+n

—

k維矢量，表示一個碼元內接收電壓的k個抽 樣值；

s

－

k維矢量，表示一個碼元內信號電壓的k個抽樣值。

8第10章數字信號最佳接收設接收電壓r(t)為信號電壓s(t第10章數字信號最佳接收同理，當發送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為順便指出，若通信系統傳輸的是M進制碼元，即可能發送s1，s2，…，si，…，sM之一，則按上述原理不難寫出當發送碼元是si時，接收電壓的k維聯合概率密度函數為

仍需記住，以上三式中的k維聯合概率密度函數不是時間t的函數，并且是一個標量，而r仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。9第10章數字信號最佳接收同理，當發送碼元“1“的信號波形為第10章數字信號最佳接收10.2數字信號的最佳接收“最佳”的準則：錯誤概率最小產生錯誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進制數字通信系統中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。判決規則 設在一個二進制通信系統中發送碼元“1”的概率為P(1)，發送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 式中

Pe1=P(0/1)－發送“1”時，收到“0”的條件概率；

Pe0=P(1/0)－發送“0”時，收到“1”的條件概率； 上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。10第10章數字信號最佳接收10.2數字信號的最佳接收10第10章數字信號最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續時間內的電壓可以用一個k維矢量表示。接收設備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發送碼元“0”，還是“1”。 由接收矢量決定的兩個聯合概率密度函數f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r當作1維矢量畫出。）： 可以將此空間劃分為兩個區域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規則規定為： 若接收矢量落在區域A0內，則判為發送碼元是“0”； 若接收矢量落在區域A1內，則判為發送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)11第10章數字信號最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每個碼第10章數字信號最佳接收 顯然，區域A0和區域A1是兩個 互不相容的區域。當這兩個區 域的邊界r0確定后，錯誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫為 式中，P(A0/1)表示發送“1”時，矢量r落在區域A0的條件概率 P(A1/0)表示發送“0”時，矢量r落在區域A1的條件概率 這兩個條件概率可以寫為： 這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)12第10章數字信號最佳接收 顯然，區域A0和區域A1是兩個A第10章數字信號最佳接收 將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示Pe是r0的函數。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導 并令導函數等于0， 求出最佳分界點r0的條件：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)13第10章數字信號最佳接收 將上兩式代入A0A1rf0(r)第10章數字信號最佳接收 即 當先驗概率相等時，即P(1)=P(0)時，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量r落在區域A0應判為收到的是“0”的判決準則，這時有： 若 則判為“0”； 反之， 若 則判為“1”。 在發送“0”和發送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)

若f0(r)>f1(r)，則判為“0”若f0(r)<f1(r)，則判為“1”14第10章數字信號最佳接收A0A1rf0(r)f1(r)r0第10章數字信號最佳接收 這個判決準則常稱為最大似然準則。按照這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設在一個M進制數字通信系統中，可能的發送碼元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發送碼元是si時，接收電壓的k

維聯合概率密度函數為 于是，若 則判為si(t)，其中，15第10章數字信號最佳接收 這個判決準則常稱為最大似然準則。第10章數字信號最佳接收10.3確知數字信號的最佳接收機確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。判決準則當發送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為當發送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準則式，經過簡化，得到：16第10章數字信號最佳接收10.3確知數字信號的最佳接收機第10章數字信號最佳接收 若 則判為發送碼元是s0(t)；若 則判為發送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數，得到若

則判為發送碼元是s0(t)；反之則判為發送碼元是s1(t)。由于已經假設兩個碼元的能量相同，即 所以上式還可以進一步簡化。17第10章數字信號最佳接收 若17第10章數字信號最佳接收 若 式中 則判為發送碼元是s0(t)；反之，則判為發送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定的加權因子。

最佳接收機

按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：18第10章數字信號最佳接收 若18第10章數字信號最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比較判決積分器積分器19第10章數字信號最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)Wr(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t=Ts第10章數字信號最佳接收若此二進制信號的先驗概率相等，則上式簡化為最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成20r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t=Ts第10章數字信號最佳接收由上述討論不難推出M進制通信系統的最佳接收機結構上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接收法。由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器21第10章數字信號最佳接收由上述討論不難推出M進制通信系統第10章數字信號最佳接收10.4確知數字信號最佳接收的誤碼率總誤碼率 在最佳接收機中，若

則判為發送碼元是s0(t)。因此，在發送碼元為s1(t)時，若上式成立，則將發生錯誤判決。所以若將r(t)=s1(t)+n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發生錯誤的條件概率P(0/1)。此條件概率的計算結果如下22第10章數字信號最佳接收10.4確知數字信號最佳接收的誤第10章數字信號最佳接收式中同理，可以求出發送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率式中23第10章數字信號最佳接收23第10章數字信號最佳接收因此，總誤碼率為先驗概率對誤碼率的影響 當先驗概率P(0)=0及P(1)=1時，a=-及b=，因此由上式計算出總誤碼率Pe=0。在物理意義上，這時由于發送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發生錯誤。同理，若P(0)=1及P(1)=0，總誤碼率也為零。24第10章數字信號最佳接收因此，總誤碼率為24第10章數字信號最佳接收當先驗概率相等時：

P(0)=P(1)=1/2，a=b。這樣，上式可以化簡為 式中 上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差[s0(t)–s1(t)]的能量有關，而與波形本身無關。差別越大，c值越小，誤碼率Pe也越小。當先驗概率不等時： 由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。25第10章數字信號最佳接收當先驗概率相等時：25第10章數字信號最佳接收先驗概率相等時誤碼率的計算 在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區別。現在給出定量地描述碼元區別的一個參量，即碼元的相關系數，其定義如下： 式中

E0、E1為信號碼元的能量。 當s0(t)=s1(t)時，＝1，為最大值；當s0(t)=-s1(t)時，＝－1，為最小值。所以的取值范圍在-1+1。26第10章數字信號最佳接收先驗概率相等時誤碼率的計算26第10章數字信號最佳接收

當兩碼元的能量相等時，令E0=E1=Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到

為了將上式變成實用的形式，作如下的代數變換： 令 則有 27第10章數字信號最佳接收 當兩碼元的能量相等時，令E0=第10章數字信號最佳接收 于是上式變為 式中 利用下式中2和n0關系 代入上式，得到誤碼率最終表示式：28第10章數字信號最佳接收 于是上式變為28第10章數字信號最佳接收式中 —誤差函數 —補誤差函數

Eb—碼元能量；

—碼元相關系數；

n0—噪聲功率譜密度。 上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等能量數字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實際通信系統中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。29第10章數字信號最佳接收29第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線dB30第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線dB30第10章數字信號最佳接收最佳接收性能特點誤碼率僅和Eb/n0以及相關系數有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統帶寬B等于1/Ts， 則有

按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts)Hz。對于已調信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts)Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。31第10章數字信號最佳接收最佳接收性能特點31第10章數字信號最佳接收相關系數

對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，相關系數最大，即=1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe=1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區別，接收端是在沒有根據的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數最小，即=-1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于

例如，2PSK信號的相關系數就等于-1。當兩種碼元正交，即相關系數

等于0時，誤碼率等于例如，2FSK信號的相關系數就等于或近似等于零。32第10章數字信號最佳接收相關系數對于誤碼率的影響很大第10章數字信號最佳接收若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則 誤碼率為比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。33第10章數字信號最佳接收若兩種碼元中有一種的能量等于零，例第10章數字信號最佳接收多進制通信系統若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結果如下： 式中，M－進制數； E－M進制碼元能量；

n0－單邊噪聲功率譜密度。 由于一個M進制碼元中含有的比特數k等于log2M，故每個比特的能量等于 并且每比特的信噪比為 下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關系曲線。

34第10章數字信號最佳接收多進制通信系統34第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線

由此曲線看出，對于 給定的誤碼率，當k

增大時，需要的信噪 比Eb/n0減小。當k增 大到時，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時只要Eb/n0等于 0.693(-1.6dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n035第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線Pe0.693Eb/n0第10章數字信號最佳接收10.5隨相數字信號的最佳接收假設：

2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關；通信系統中存在帶限白色高斯噪聲；接收信號碼元相位的概率密度服從均勻分布。因此，可以將此信號表示為：

及將此信號隨機相位的概率密度表示為：36第10章數字信號最佳接收10.5隨相數字信號的最佳接收3第10章數字信號最佳接收判決條件：由于已假設碼元能量相等，故有 在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，按照下式條件作判決： 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發送碼元是“0”， 若接收矢量r使f0(r)<f1(r)，則判發送碼元是“1”。 現在，由于接收矢量具有隨機相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經過復雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：37第10章數字信號最佳接收判決條件：由于已假設碼元能量相等，第10章數字信號最佳接收 若接收矢量r使M12<M02，則判為發送碼元是“0”， 若接收矢量r使M02<M12，則判為發送碼元是“1”。 上面就是最終判決條件，其中： 按照上面判決準則構成的隨相信號最佳接收機的結構示于下圖中。38第10章數字信號最佳接收 若接收矢量r使M12第10章數字信號最佳接收最佳接收機的結構相關器平方cos0t相加相關器平方sin0t相關器平方cos1t相加相關器平方sin1t比較r(t)Y0X1Y1X039第10章數字信號最佳接收最佳接收機的結構相關器平方cos第10章數字信號最佳接收誤碼率： 隨相信號最佳接收機的誤碼率，用類似10.4節的分析方法，可以計算出來，結果如下：最后指出，上述最佳接收機及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機和誤碼率。因為隨相信號的相位帶有由信道引入的隨機變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號。對于隨相信號而言，非相干接收已經是最佳的接收方法了。40第10章數字信號最佳接收誤碼率：40第10章數字信號最佳接收10.6起伏數字信號的最佳接收仍以2FSK信號為例簡要地討論其最佳接收問題。假設：通信系統中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；信號是互不相關的等能量、等先驗概率的2FSK信號。2FSK信號的表示式式中，A0和A1是由于多徑效應引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布：41第10章數字信號最佳接收10.6起伏數字信號的最佳接收4第10章數字信號最佳接收

式中，s2為信號的功率； 而且0和1的概率密度服從均勻分布： 此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t,i,Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關系為42第10章數字信號最佳接收 42第10章數字信號最佳接收接收矢量的概率密度:由于接收矢量不但具有隨機相位，還具有隨機起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為：

43第10章數字信號最佳接收接收矢量的概率密度:43第10章數字信號最佳接收 經過繁復的計算，上兩式的計算結果如下：式中

n0－噪聲功率譜密度；

n2－噪聲功率。44第10章數字信號最佳接收 經過繁復的計算，上兩式的計算結第10章數字信號最佳接收誤碼率： 實質上，和隨相信號最佳接收時一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機的結構和隨相信號最佳接收機的一樣。但是，這時的最佳誤碼率則不同于隨相信號的誤碼率。這時的誤碼率等于 式中， －接收碼元的統計平均能量。45第10章數字信號最佳接收誤碼率：45第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線 由此圖看出，在有衰落時， 性能隨誤碼率下降而迅速 變壞。當誤碼率等于10-2

時，衰落使性能下降約 10dB；當誤碼率等于10-3

時，下降約20dB。46第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線46相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非相干2FSK信號相干2PSK信號差分相干2DPSK信號同步檢測2DPSK信號第10章數字信號最佳接收10.7實際接收機和最佳接收機的性能比較實際接收機的Pe最佳接收機的Pe47相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非相干2F第10章數字信號最佳接收10.8數字信號的匹配濾波接收法什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信號噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。假設條件：接收濾波器的傳輸函數為H(f)，沖激響應為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為 式中，s(t)－信號碼元，

n(t)－高斯白噪聲；48第10章數字信號最佳接收10.8數字信號的匹配濾波接收法第10章數字信號最佳接收并設信號碼元s(t)的頻譜密度函數為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f)=n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。輸出電壓假定濾波器是線性的，根據線性電路疊加定理，當濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即 式中49第10章數字信號最佳接收并設信號碼元s(t)的頻譜密度函數第10章數字信號最佳接收輸出噪聲功率由這時的輸出噪聲功率No等于輸出信噪比在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為50第10章數字信號最佳接收輸出噪聲功率50第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求

r0的最大值若其中k為任意常數，則上式的等號成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有式中51第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的傳輸特性：51第10章數字信號最佳接收 而且當 時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。 上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。52第10章數字信號最佳接收 而且當52第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的沖激響應函數：

由上式可見，匹配濾波器的沖激響應h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了t0。53第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的沖激響應函數：53000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章數字信號最佳接收圖解54000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)第10章數字信號最佳接收實際的匹配濾波器 一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現的，其沖激響應必須符合因果關系，在輸入沖激脈沖加入前不應該有沖激響應出現，即必須有： 即要求滿足條件 或滿足條件 上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0=Ts。故匹配濾波器的沖激響應可以寫為55第10章數字信號最佳接收實際的匹配濾波器55第10章數字信號最佳接收 這時，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為： 上式表明，匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關函數的k倍。k是一個任意常數，它與r0的最大值無關；通常取k＝1。56第10章數字信號最佳接收 這時，若匹配濾波器的輸入電壓為s第10章數字信號最佳接收【例10.1】設接收信號碼元s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。 【解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。 其頻譜為 由 令k=1，可得其匹配濾波器的傳輸函數為 由 令k=1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應為tTss(t)157第10章數字信號最佳接收【例10.1】設接收信號碼元s(t第10章數字信號最佳接收

此沖激響應示于下圖。 表面上看來，h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t=Ts

/2為軸線反轉而來。由于s(t)的波形對稱于t=Ts/2，所以反轉后，波形不變。 由式 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號波形如下：

tTsh(t)1tTsso(t)58第10章數字信號最佳接收 tTsh(t)1tTsso(t)第10章數字信號最佳接收 由其傳輸函數

可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下： 因為上式中的(1/j2f)是理想積分器的傳輸函數，而exp(-j2fTs)是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數。延遲Ts理想積分器＋－59第10章數字信號最佳接收 由其傳輸函數延遲Ts理想＋－59第10章數字信號最佳接收【例10.2】設信號的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。 【解】 上式給出的信號波形 是一段余弦振蕩， 如右圖所示： 其頻譜為Ts60第10章數字信號最佳接收【例10.2】設信號的表示式為T第10章數字信號最佳接收 因此，其匹配濾波器的傳輸函數為 上式中已令t0=Ts。 此匹配濾波器的沖激響應為：

為了便于畫出波形簡圖，令 式中，n=正整數。這樣，上式可以化簡為

h(t)的曲線示于下圖：61第10章數字信號最佳接收 因此，其匹配濾波器的傳輸函數為6第10章數字信號最佳接收 這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出： 由于現在s(t)和h(t)在區間(0,Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算： 顯然，當t<0和t>2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。(b)沖激響應Ts62第10章數字信號最佳接收(b)沖激響應Ts62第10章數字信號最佳接收 當0

t<Ts時，上式等于 當Ts

t

2Ts時，上式等于 若因f0很大而使(1/4f0)可以忽略，則最后得到63第10章數字信號最佳接收 當0t<Ts時，上式等第10章數字信號最佳接收按上式畫出的曲線示于下圖中。(a)信號波形(b)沖激響應(c)輸出波形TsTsTs2Ts64第10章數字信號最佳接收按上式畫出的曲線示于下圖中。(a)第10章數字信號最佳接收匹配濾波器接收電路的構成對于二進制確知信號，使用匹配濾波器構成的接收電路方框圖示于下圖中。圖中有兩個匹配濾波器，分別匹配于兩種信號碼元。在抽樣時刻對抽樣值進行比較判決。哪個匹配濾波器的輸出抽樣值更大，就判決那個為輸出。若此二進制信號的先驗概率相等，則此方框圖能給出最小的總誤碼率。匹配濾波器1匹配濾波器2抽樣比較判決抽樣t=Tst=Ts輸入輸出65第10章數字信號最佳接收匹配濾波器接收電路的構成匹配濾波器第10章數字信號最佳接收匹配濾波器可以用不同的硬件電路實現，也可以用軟件實現。目前，由于軟件無線電技術的發展，它日益趨向于用軟件技術實現。在上面的討論中對于信號波形從未涉及，也就是說最大輸出信噪比和信號波形無關，只決定于信號能量E與噪聲功率譜密度n0之比，所以這種匹配濾波法對于任何一種數字信號波形都適用，不論是基帶數字信號還是已調數字信號。例10.1中給出的是基帶數字信號的例子；而例10.2中給出的信號則是已調數字信號的例子。66第10章數字信號最佳接收匹配濾波器可以用不同的硬件電路實現第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的性能

用上述匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最佳接收時理論上能達到的最高輸出信噪比。證明如下： 匹配濾波器輸出電壓的波形y(t)可以寫成

在抽樣時刻Ts，輸出電壓等于

可以看出，上式中的積分是相關運算，即將輸入r(t)與s(t)作相關運算，而后者是和匹配濾波器匹配的信號。它表示只有輸入電壓r(t)=s(t)+n(t)時，在時刻t=Ts才有最大的輸出信噪比。式中的k是任意常數，通常令k=1。67第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的性能67第10章數字信號最佳接收 用上述相關運算代替上圖中的匹配濾波器得到如下圖所示的相關接收法方框圖。

匹配濾波法和相關接收法完全等效，都是最佳接收方法。積分積分s1(t)s0(t)抽樣比較判決抽樣t=Tst=Ts輸入輸出68第10章數字信號最佳接收 用上述相關運算代替上圖中的匹配濾第10章數字信號最佳接收【例10.3】設有一個信號碼元如例10.2中所給出的s(t)。試比較它分別通過匹配濾波器和相關接收器時的輸出波形。 【解】此信號碼元通過相關接收器后，輸出信號波形等于 上式中已經假定f0很大，從而結果可以近似等于t/2，即與t成直線關系。這兩種結果示于下圖中。由此圖可見，只有當t=Ts時，兩者的抽樣值才相等。相關器輸出匹配濾波器輸出69第10章數字信號最佳接收【例10.3】設有一個信號碼元如例第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的實際應用 匹配濾波器的沖激響應h(t)應該和信號波形s(t)嚴格匹配，包括對相位也有要求。對于確知信號的接收，這是可以做到的。對于隨相信號而言，就不可能使信號的隨機相位和h(t)的相位匹配。但是，匹配濾波器還是可以用于接收隨相信號的。下面就對此作進一步的分析。 設匹配濾波器的特性仍如例10.2所給出： 并設此匹配濾波器的輸入是r(t)，則此濾波器的輸出y(t)由卷積公式求出為：70第10章數字信號最佳接收匹配濾波器的實際應用70第10章數字信號最佳接收 式中 由上式看出，當t=Ts時，y(t)的包絡和10.5節隨相信號最佳接收判決條件式中的M0和M1形式相同。所以，按照10.5節隨相信號最佳接收時的判決準則比較M0和M1，就相當于比較上式的包絡。71第10章數字信號最佳接收71 因此，10.5節中的隨相信號最佳接收機結構圖可以改成如下圖所示的結構： 在此圖中，有兩個匹配濾波器，其特性分別對二進制的兩種碼元匹配。匹配濾波器的輸出經過包絡檢波，然后作比較判決。 由于起伏信號最佳接收機的結構和隨相信號的相同，所以上圖同樣適用于對起伏信號作最佳接收。匹配濾波器f0包絡檢波器比較判決匹配濾波器f1包絡檢波器t=TsM0M1r(t)y0(t)y1(t)第10章數字信號最佳接收72 因此，10.5節中的隨相信號最佳接收機結構圖可以改成如下圖第10章數字信號最佳接收10.9最佳基帶傳輸系統何謂最佳基帶傳輸系統？ 設基帶數字信號傳輸系統由發送濾波器、信道和接收濾波器組成： 其傳輸函數分別為GT(f)、C(f)和GR(f)。 在第6章中將這3個濾波器集中用一個基帶總傳輸函數H(f)表示： H(f)=GT(f)C(f)GR(f)抽樣判決73第10章數字信號最佳接收10.9最佳基帶傳輸系統抽樣73第10章數字信號最佳接收 在第6章中，為了消除碼間串擾，要求H(f)必須滿足奈奎斯特第一準則。當時忽略了噪聲的影響，只考慮碼間串擾。 現在，我們將分析在H(f)滿足消除碼間串擾的條件之后，如何設計GT(f)、C(f)和GR(f)，以使系統在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 將消除了碼間串擾并且噪聲最小的基帶傳輸系統稱為最佳基帶傳輸系統。設計最佳基帶傳輸系統的方法

由于信道的傳輸特性C(f)往往不易得知，并且還可能是時變的。所以，在系統設計時，有兩種分析方法： 1）假設信道具有理想特性，即假設C(f)=1。 2）考慮到信道的非理想特性。74第10章數字信號最佳接收 在第6章中，為了消除碼間串擾，要第10章數字信號最佳接收10.9.1理想信道的最佳傳輸系統最佳傳輸系統的條件

假設信道傳輸函數C(f)=1。于是，基帶系統的傳輸特性變為 H(f)=GT(f)GR(f) 上式中GT(f)雖然表示發送濾波器的特性，但是若傳輸系統的輸入為沖激脈沖，則GT(f)還兼有決定發送信號波形的功能，即它就是信號碼元的頻譜。 現在，將分析在H(f)按照消除碼間串擾的條件確定之后，如何設計GT(f)和GR(f)，以使系統在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 由對匹配濾波器頻率特性的要求可知，接收匹配濾波器的傳輸函數GR(f)應當是信號頻譜S(f)的復共軛。現在，信號的頻譜就是發送濾波器的傳輸函數GT(f)，所以要求接收匹配濾波器的傳輸函數為： 上式中已經假定k=1。75第10章數字信號最佳接收10.9.1理想信道的最佳傳輸系第10章數字信號最佳接收 由H(f)=GT(f)GR(f)，有 將上式代入所要求的接收匹配濾波器的傳輸函數 得到 即 上式左端是一個實數，所以上式右端也必須是實數。因此，上式可以寫為 所以得到接收匹配濾波器應滿足的條件為76第10章數字信號最佳接收 由H(f)=GT(f)第10章數字信號最佳接收

由于上式條件沒有限定對接收濾波器的相位要求，所以可以選用 這樣，由H(f)=GT(f)GR(f)，得到發送濾波器的傳輸特性為 上兩式就是最佳基帶傳輸系統對于收發濾波器傳輸函數的要求。77第10章數字信號最佳接收 77第10章數字信號最佳接收最佳基帶傳輸系統的誤碼率性能 設基帶信號碼元為M進制的多電平信號。一個碼元可以取下列M種電平之一： 其中d為相鄰電平間隔的一半，如下圖所示。圖中的M＝8。 在接收端，判決電路的判決 門限值則應當設定在：d3d7d-5d-3d-d0t-7d5d78第10章數字信號最佳接收最佳基帶傳輸系統的誤碼率性能d3d第10章數字信號最佳接收 按照這樣的規定，在接收端抽樣判決時刻，若噪聲值不超過d，則不會發生錯誤判決。但是，當噪聲值大于最高信號電平值或小于最低電平值時，不會發生錯誤判決；也就是說，對于最外側的兩個電平，只在一個方向有出錯的可能。這種情況的出現占所有可能的1/M。所以，錯誤概率為 式中，是噪聲的抽樣值，而P(||>d)是噪聲抽樣值大于d的概率。 現在來計算上式中的P(||>d)。設接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，則有79第10章數字信號最佳接收 按照這樣的規定，在接收端抽樣判決第10章數字信號最佳接收

上式中的積分值是一個實常數，我們假設其等于1，即假設 故有 這樣假設并不影響對誤碼率性能的分析。由于接收濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統計特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲的一維概率密度函數等于 對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過d的概率：80第10章數字信號最佳接收 80第10章數字信號最佳接收

上式中已作了如下變量代換：將上式代入誤碼率公式，得到81第10章數字信號最佳接收 81第10章數字信號最佳接收

現在，再將上式中的Pe和d/的關系變換成Pe和E/n0的關系。由上述討論我們已經知道，在M進制基帶多電平最佳傳輸系統中，發送碼元的頻譜形狀由發送濾波器的特性決定： 發送碼元多電平波形的最大值為 等。這樣，利用巴塞伐爾定理 計算碼元能量時，設多電平碼元的波形為Ax(t)，其中x(t)的最大值等于1，以及82第10章數字信號最佳接收 82第10章數字信號最佳接收 則有碼元能量等于 因此，對于M進制等概率多電平碼元，求出其平均碼元能量E等于 因此有 于是得到誤碼率的最終表示式：83第10章數字信號最佳接收 則有碼元能量等于83第10章數字信號最佳接收 當M＝2時， 上式是在理想信道中，消除碼間串擾條件下，二進制雙極性基帶信號傳輸的最佳誤碼率。

M進制多電平信號的誤碼率曲線： 由此圖可見，當誤碼率 較低時，為保持誤碼率 不變，M值增大到2倍， 信噪比大約需要增大 7dB。Pe110-110-210-310-410-610-5E/n0

(dB)M=248160510152025303584第10章數字信號最佳接收 當M＝2時，Pe110-110-第10章數字信號最佳接收10.9.2非理想信道的最佳基帶傳輸系統最佳傳輸條件 接收信號碼元的頻譜等于GT(f)C(f)。為了使高斯白噪聲條件下的接收誤碼率最小，在接收端可以采用一個匹配濾波器。為使此匹配濾波器的傳輸函數GR(f)和接收信號碼元的頻譜匹配，要求

GR(f)=GT*(f)C*(f) 基帶傳輸系統的總傳輸特性為 H(f)=GT(f)C(f)GR(f)=GT(f)C(f)

GT*(f)C*(f) =|GT(f)|2|C(f)|2

此總傳輸特性H(f)能使其對于高斯白噪聲的信噪比最小，但是還沒有滿足消除碼間串擾的條件。為了消除碼間串擾，由第6章的討論得知，H(f)必須滿足：85第10章數字信號最佳接收10.9.2非理想信道的最佳基帶第10章數字信號最佳接收

為此，可以在接收端增加一個橫向均衡濾波器T(f)，使系統總傳輸特性滿足上式要求。故從上兩式可以寫出對T(f)的要求: 式中86第10章數字信號最佳接收 86第10章數字信號最佳接收 從上述分析得知，在非理想信道條件下，最佳接收濾波器的傳輸特性應該是傳輸特性為GR(f)的匹配濾波器和傳輸特性為T(f)的均衡濾波器級連。非理想信道的最佳基帶傳輸系統方框圖最后需要說明的是，上面的討論是假定發送濾波器和信道特性已給定，由設計接收濾波器使系統達到最佳化。在理論上，自然也可以假定接收濾波器和信道特性已給定，設計發送濾波器使系統達到最佳；或者只給定信道特性，聯合設計發送和接收濾波器兩者使系統達到最佳。但是，分析結果表明，這樣做的效果和僅使接收濾波器最佳化的結果差別不大。在工程設計時，還是以設計最佳接收濾波器的方法較為實用。GT(f)C(f)GT*(f)C*(f)T(f)最佳接收濾波器n(t)87第10章數字信號最佳接收 從上述分析得知，在非理想信道條件第10章數字信號最佳接收10.10小結88第10章數字信號最佳接收10.10小結88通信原理89通信原理1通信原理第10章數字信號最佳接收90通信原理第10章數字信號最佳接收2第10章數字信號最佳接收10.1數字信號的統計特性以二進制為例研究接收電壓的統計特性。假設：通信系統中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設發送的二進制碼元為“0”和“1”，其發送概率分別為P(0)和P(1)，則有

P(0)+P(1)=1 若此通信系統的基帶截止頻率小于fH，則根據低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。設在一個碼元持續時間Ts內以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值：，則有k＝2fHTs。91第10章數字信號最佳接收10.1數字信號的統計特性3第10章數字信號最佳接收由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為 式中，n－噪聲的標準偏差；

n2

－噪聲的方差，即噪聲平均功率； i＝1，2，…，k。設接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯合概率密度函數為

92第10章數字信號最佳接收由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態分布第10章數字信號最佳接收由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、互相獨立的。這樣，此k維聯合概率密度函數可以表示為當k很大時，在一個碼元持續時間Ts內接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成93第10章數字信號最佳接收由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概第10章數字信號最佳接收利用上式關系，并注意到 式中n0

－噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯合概率密度函數可以改寫為： 式中

n=(n1,n2,…,nk)－

k維矢量，表示一個碼元內噪聲的k個抽樣值。需要注意，f(n)不是時間函數，雖然式中有時間函數n(t)，但是后者在定積分內，積分后已經與時間變量t無關。n是一個k維矢量，它可以看作是k維空間中的一個點。94第10章數字信號最佳接收利用上式關系，并注意到6第10章數字信號最佳接收在碼元持續時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數k（它和系統帶寬有關）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內噪聲的能量：由于噪聲的隨機性，每個碼元持續時間內噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸的碼元中有一些會發生錯誤，而另一些則無錯。95第10章數字信號最佳接收在碼元持續時間Ts、噪聲單邊功率譜第10章數字信號最佳接收設接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:

r(t)=s(t)+n(t) 則在發送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變為s(t)。所以，當發送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為 式中r=s+n

—

k維矢量，表示一個碼元內接收電壓的k個抽 樣值；

s

－

k維矢量，表示一個碼元內信號電壓的k個抽樣值。

96第10章數字信號最佳接收設接收電壓r(t)為信號電壓s(t第10章數字信號最佳接收同理，當發送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為順便指出，若通信系統傳輸的是M進制碼元，即可能發送s1，s2，…，si，…，sM之一，則按上述原理不難寫出當發送碼元是si時，接收電壓的k維聯合概率密度函數為

仍需記住，以上三式中的k維聯合概率密度函數不是時間t的函數，并且是一個標量，而r仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。97第10章數字信號最佳接收同理，當發送碼元“1“的信號波形為第10章數字信號最佳接收10.2數字信號的最佳接收“最佳”的準則：錯誤概率最小產生錯誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進制數字通信系統中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。判決規則 設在一個二進制通信系統中發送碼元“1”的概率為P(1)，發送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 式中

Pe1=P(0/1)－發送“1”時，收到“0”的條件概率；

Pe0=P(1/0)－發送“0”時，收到“1”的條件概率； 上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。98第10章數字信號最佳接收10.2數字信號的最佳接收10第10章數字信號最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續時間內的電壓可以用一個k維矢量表示。接收設備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發送碼元“0”，還是“1”。 由接收矢量決定的兩個聯合概率密度函數f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r當作1維矢量畫出。）： 可以將此空間劃分為兩個區域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規則規定為： 若接收矢量落在區域A0內，則判為發送碼元是“0”； 若接收矢量落在區域A1內，則判為發送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)99第10章數字信號最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每個碼第10章數字信號最佳接收 顯然，區域A0和區域A1是兩個 互不相容的區域。當這兩個區 域的邊界r0確定后，錯誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫為 式中，P(A0/1)表示發送“1”時，矢量r落在區域A0的條件概率 P(A1/0)表示發送“0”時，矢量r落在區域A1的條件概率 這兩個條件概率可以寫為： 這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)100第10章數字信號最佳接收 顯然，區域A0和區域A1是兩個A第10章數字信號最佳接收 將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示Pe是r0的函數。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導 并令導函數等于0， 求出最佳分界點r0的條件：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)101第10章數字信號最佳接收 將上兩式代入A0A1rf0(r)第10章數字信號最佳接收 即 當先驗概率相等時，即P(1)=P(0)時，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量r落在區域A0應判為收到的是“0”的判決準則，這時有： 若 則判為“0”； 反之， 若 則判為“1”。 在發送“0”和發送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)

若f0(r)>f1(r)，則判為“0”若f0(r)<f1(r)，則判為“1”102第10章數字信號最佳接收A0A1rf0(r)f1(r)r0第10章數字信號最佳接收 這個判決準則常稱為最大似然準則。按照這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設在一個M進制數字通信系統中，可能的發送碼元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發送碼元是si時，接收電壓的k

維聯合概率密度函數為 于是，若 則判為si(t)，其中，103第10章數字信號最佳接收 這個判決準則常稱為最大似然準則。第10章數字信號最佳接收10.3確知數字信號的最佳接收機確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。判決準則當發送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為當發送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準則式，經過簡化，得到：104第10章數字信號最佳接收10.3確知數字信號的最佳接收機第10章數字信號最佳接收 若 則判為發送碼元是s0(t)；若 則判為發送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數，得到若

則判為發送碼元是s0(t)；反之則判為發送碼元是s1(t)。由于已經假設兩個碼元的能量相同，即 所以上式還可以進一步簡化。105第10章數字信號最佳接收 若17第10章數字信號最佳接收 若 式中 則判為發送碼元是s0(t)；反之，則判為發送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定的加權因子。

最佳接收機

按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：106第10章數字信號最佳接收 若18第10章數字信號最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比較判決積分器積分器107第10章數字信號最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)Wr(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t=Ts第10章數字信號最佳接收若此二進制信號的先驗概率相等，則上式簡化為最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成108r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t=Ts第10章數字信號最佳接收由上述討論不難推出M進制通信系統的最佳接收機結構上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接收法。由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器109第10章數字信號最佳接收由上述討論不難推出M進制通信系統第10章數字信號最佳接收10.4確知數字信號最佳接收的誤碼率總誤碼率 在最佳接收機中，若

則判為發送碼元是s0(t)。因此，在發送碼元為s1(t)時，若上式成立，則將發生錯誤判決。所以若將r(t)=s1(t)+n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發生錯誤的條件概率P(0/1)。此條件概率的計算結果如下110第10章數字信號最佳接收10.4確知數字信號最佳接收的誤第10章數字信號最佳接收式中同理，可以求出發送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率式中111第10章數字信號最佳接收23第10章數字信號最佳接收因此，總誤碼率為先驗概率對誤碼率的影響 當先驗概率P(0)=0及P(1)=1時，a=-及b=，因此由上式計算出總誤碼率Pe=0。在物理意義上，這時由于發送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發生錯誤。同理，若P(0)=1及P(1)=0，總誤碼率也為零。112第10章數字信號最佳接收因此，總誤碼率為24第10章數字信號最佳接收當先驗概率相等時：

P(0)=P(1)=1/2，a=b。這樣，上式可以化簡為 式中 上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差[s0(t)–s1(t)]的能量有關，而與波形本身無關。差別越大，c值越小，誤碼率Pe也越小。當先驗概率不等時： 由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。113第10章數字信號最佳接收當先驗概率相等時：25第10章數字信號最佳接收先驗概率相等時誤碼率的計算 在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區別。現在給出定量地描述碼元區別的一個參量，即碼元的相關系數，其定義如下： 式中

E0、E1為信號碼元的能量。 當s0(t)=s1(t)時，＝1，為最大值；當s0(t)=-s1(t)時，＝－1，為最小值。所以的取值范圍在-1+1。114第10章數字信號最佳接收先驗概率相等時誤碼率的計算26第10章數字信號最佳接收

當兩碼元的能量相等時，令E0=E1=Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到

為了將上式變成實用的形式，作如下的代數變換： 令 則有 115第10章數字信號最佳接收 當兩碼元的能量相等時，令E0=第10章數字信號最佳接收 于是上式變為 式中 利用下式中2和n0關系 代入上式，得到誤碼率最終表示式：116第10章數字信號最佳接收 于是上式變為28第10章數字信號最佳接收式中 —誤差函數 —補誤差函數

Eb—碼元能量；

—碼元相關系數；

n0—噪聲功率譜密度。 上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等能量數字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實際通信系統中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。117第10章數字信號最佳接收29第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線dB118第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線dB30第10章數字信號最佳接收最佳接收性能特點誤碼率僅和Eb/n0以及相關系數有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統帶寬B等于1/Ts， 則有

按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts)Hz。對于已調信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts)Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。119第10章數字信號最佳接收最佳接收性能特點31第10章數字信號最佳接收相關系數

對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，相關系數最大，即=1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe=1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區別，接收端是在沒有根據的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數最小，即=-1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于

例如，2PSK信號的相關系數就等于-1。當兩種碼元正交，即相關系數

等于0時，誤碼率等于例如，2FSK信號的相關系數就等于或近似等于零。120第10章數字信號最佳接收相關系數對于誤碼率的影響很大第10章數字信號最佳接收若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則 誤碼率為比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。121第10章數字信號最佳接收若兩種碼元中有一種的能量等于零，例第10章數字信號最佳接收多進制通信系統若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結果如下： 式中，M－進制數； E－M進制碼元能量；

n0－單邊噪聲功率譜密度。 由于一個M進制碼元中含有的比特數k等于log2M，故每個比特的能量等于 并且每比特的信噪比為 下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關系曲線。

122第10章數字信號最佳接收多進制通信系統34第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線

由此曲線看出，對于 給定的誤碼率，當k

增大時，需要的信噪 比Eb/n0減小。當k增 大到時，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時只要Eb/n0等于 0.693(-1.6dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n0123第10章數字信號最佳接收誤碼率曲線Pe0.693Eb/n0第10章數字信號最佳接收10.5隨相數字信號的最佳接收假設：

2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關；通信系統中存在帶限白色高斯噪聲；接收信號碼元相位的概率密度服從均勻分布。因此，可以將此信號表示為：

及將此信號隨機相位的概率密度表示為：124第10章數字信號最佳接收10.5隨相數字信號的最佳接收3第10章數字信號最佳接收判決條件：由于已假設碼元能量相等，故有 在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，按照下式條件作判決： 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發送碼元是“0”， 若接收矢量r使f0(r)<f1(r)，則判發送碼元是“1”。 現在，由于接收矢量具有隨機相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經過復雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：125第10章數字信號最佳接收判決條件：由于已假設碼元能量相等，第10章數字信號最佳接收 若接收矢量r使M12<M02，則判為發送碼元是“0”， 若接收矢量r使M02<M12，則判為發送碼元是“1”。 上面就是最終判決條件，其中： 按照上面判決準則構成的隨相信號最佳接收機的結構示于下圖中。126第10章數字信號最佳接收 若接收矢量r使M12第10章數字信號最佳接收最佳接收機的結構相關器平方cos0t相加相關器平方sin0t相關器平方cos1t相加相關器平方sin1t比較r(t)Y0X1Y1X0127第10章數字信號最佳接收最佳接收機的結構相關器平方cos第10章數字信號最佳接收誤碼率： 隨相信號最佳接收機的誤碼率，用類似10.4節的分析方法，可以計算出來，結果如下：最后指出，上述最佳接收機及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機和誤碼率。因為隨相信號的相位帶有由信道引入的隨機變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號。對于隨相信號而言，非相干接收已經是最佳的接收方法了。128第10章數字信號最佳接收誤碼率：40第10章數字信號最佳接收10.6起伏數字信號的最佳接收仍以2FSK信號為例簡要地討論其最佳接收問題。假設：通信系統中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；信號是互不相關的等能量、等先驗概率的2FSK信號。2FSK信號的表示式式中，A0和A1是由于多徑效應引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布：129第10章數字信號最佳接收10.6起伏數字信號的最佳接收4第10章數字信號最佳接收

式中，s2為信號的功率； 而且0和