《數值計算方法》課程實施大綱目錄1．教學理念 42．課程描述 52.1課程的性質及在學科專業結構中的地位和作用 52.2課程的前沿及發展趨勢 52.4學習本課程的必要性 53．教師簡介 64.先修課程 65課程目標 66課程內容 67.課程教學實施 128．學生課程要求 1548.1學生自學的要求 1548.2課外閱讀的要求 1548.3課堂討論的要求 1548.4課程實踐的要求 1549．課程考核方式及評分規程 1549.1出勤（遲到、早退等）、作業、報告等的要求 1549.2成績的構成與評分規則說明 1549.3考試形式及說明（含補考） 15510．學術誠信規定 15610.1考試違規與作弊 15610.2杜撰數據、信息等 15610.3學術剽竊等 15711．課堂規范 15811.1課堂紀律 15812．課程資源 16012.1教材與參考書 16012.2專業學術專著 16012.3專業刊物 16012.4網絡課程資源 16012.5課外閱讀資源 16013．其他必要說明（或建議） 16114．學術合作備忘錄（契約） 16214.1閱讀課程實施大綱，理解其內容 16214.2同意遵守課程實施大綱中闡述的標準和期望 1621．教學理念從我國的社會主義教育的任務和教育方針出發。為我樹立正確的教育價值觀指明了方向：（1）要完成科學知識的講授和社會經驗的傳遞，發展學生智育。（2）要發展學生的智能，使學生形成能力，掌握個人生存和為社會服務的本領。（3）要重視學生操作能力、動手能力、實踐能力的培養，在理論和實踐結合上掌握知識，學習技術，習得方法。（4）課堂中要適當對學生進行思想教育，逐步使學生樹立正確的世界觀、科學的人生觀、形成良好道德品質、行為習慣，樹立與市場經濟相適應的思想和品格。上述四個方面的要求作為自己行為的教學的選取目標和原則學生通過學習，掌握數值計算方法的基本理論與方法，學會通過一種計算機語言編程解決計算問題。通過教師的教學，學生要獲得的具體的進步和發展，學生的進步和發展是衡量課堂教學有效性的唯一尺度。每堂課上完，教師應該布置作業，以檢查教學的有效性。教師應該首先選取適當的教材，結合我們學校學生實際情況，又和其它高校的教材有所區別。我認為，對我們學校的學生，其學習重點不是理論的論證和推導，而是公式的應用和實踐，應選取則重點方法講解和例題演算的教材。選擇好了教材后，教學中相關內容的講解還要取舍，還要參考別的教材，教學中突出層次性和實踐性。在課程內容的安排上，最基本的理論和算法是講授的重點，比較難或很抽象的方法讓學生作為了解知識學習，只要學生能掌握該課程的基本理論和常用算法就達到了目的。例如：第7章數值積分和數值微分中，插值求積公式、龍貝格積分方法和高斯積分法。課程實施主要采用講授法、引導法、提問法、對比法、歸納法、演示法、練習法以及案例分析法等多種教學方法，同時結合教師自身的研究，以基于研究的學習亦作為教學方法的重要方面，充分調動學生的學習熱情，使學生通過積極的思維、操作、演練，主動地獲取知識，確保學生學有所得。在上課形式上，運用多媒體教學手段，方便對新近前沿研究領域、成果的介紹，以實現良好的教學效果。2．課程描述2.1課程的性質及在學科專業結構中的地位和作用數值計算方法是數學科學與計算機技術結合的一門應用性很強的學科，它是計算數學的一個重要分支，本課程重點介紹計算機上常用的基本計算方法的原理和使用；同時對計算方法作適當的分析。數值計算方法是信息與計算科學專業和應用數學專業學生的一門專業選修課。當今在科學技術領域應用計算機計算已經成為與理論、試驗并列的重要研究手段。本課程目的是讓學生熟練掌握Matlab語言，大型數學問題能用m文件編程并上機計算。2.2課程的前沿及發展趨勢 數值計算方法是目前大學本科信息與計算科學專業的一門主要專業基礎課程。早在50年代末到60年代初由于數字電子計算機的應用在我國開始起步，國內一些綜合性大學相繼創辦了計算數學專業，開設了計算方法、程序設計等專業課程。當時使用的教材“計算方法”借用前蘇聯的教材或自編教材。1977年在上海召開的教材會議上，決定把計算數學專業的基礎課計算方法分解為三部分：數值逼近、數值代數和微分方程數值解進行講授。計算數學專業后又兩次更名，1987年第一次更名為計算數學及其應用軟件專業，數值計算方法課程還是分為三門課程來開設。1998年教育部進一步將計算數學及其應用軟件專業更名為現在的信息與計算科學專業，計算方法課程在原三門的基礎上更名為數值計算方法（內容包含數值逼近、數值代數以及常微分方程數值解）和偏微分方程數值解。目前國內大多數高校均開辦了信息與計算科學專業2.4學習本課程的必要性數值計算方法是數學與工程技術應用不可或缺的“接口”。“數值計算方法”是計算數學的一個主要部分。伴隨著計算機技術的飛速發展和計算數學方法與理論的日益成熟，科學計算已成為第三種科學研究的方法和手段。數值計算方法是研究怎樣利用計算工具來求出數學問題的數值解，并對算法的收斂性、穩定性和誤差進行分析、計算的全過程。數值計算方法的計算對象是微積分，線性代數，常微分方程中的數學問題。本課程只介紹科學與工程計算中最常用的基本數值方法，包括插值與逼近及最小二乘擬合、數值積分與數值微分、矩陣的特征值與特征向量求解、線性方程組與非線性方程求根、以及常微分方程數值解法等。現代科學發展依賴于理論研究、科學實驗與科學計算三種主要手段，它們相輔相成，可以互相補充又都不可缺少。由于計算機技術的發展及其在各技術科學領域的應用推廣與深化，新的計算性學科分支紛紛興起，如計算力學、計算物理、計算化學、計算經濟學等等，不論其背景與含義如何，要用計算機進行科學計算都必須建立相應的數學模型，并研究其適合于計算機編程的計算方法。本課程既有數學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性的技術特征，其理論性和實踐性都較強。3．教師簡介4.先修課程學習本課程的基礎是高等數學、高等代數、Matlab語言程序設計、微分方程、計算機基本操作、高級程序設計語言等5課程目標科學計算技術是計算機應用的一個重要方面，數值分析主要介紹在計算機上求解數值問題的計算方法的建立、理論及應用。通過教學使學生具備數值分析的基礎知識與技能，為以后進一步從事科學計算方面的學習、研究和應用打下基礎。要求學生牢固掌握基本概念、基本理論和方法建立的原理、掌握科學與工程計算中常用計算方法的構造及誤差分析，討論方、穩定性、復雜性等，并將算法設計與計算機的實現緊密相結合，提高在計算機上角題的技巧與能力。課堂教學并輔助以上機實驗。6課程內容第一章緒論（誤差）教學要點:了解數值分析的背景、對象與特點。理解誤差的來源與分類、有效數字、誤差估計、算法的數值穩定性與病態算法。熟練掌握與誤差相關的概念以及避免誤差危害的若干原則。充分理解誤差的來源與分類。明確誤差（限）、相對誤差（限）、有效數字的概念，并能運用這些概念做誤差的簡單分析。熟練地運用運算的誤差分析方法，理解誤差在運算中的傳播。明確避免誤差危害的若干原則。教學時數：4學時教學內容：數值分析研究的對象和特點數值計算的誤差誤差的來源與分類誤差與有效數字數值運算的誤差估計誤差的定性分析與避免誤差的危害病態問題與條件數算法的數值穩定性避免誤差危害的若干原則考核要求:1.數值分析研究的對象和特點(識記)2.誤差的一些基本概念2.1誤差的來源與分類(識記)2.2誤差與有效數字(識記)2.3數值運算的誤差估計(領會并應用)3.誤差的定性分析與避免誤差的危害。3.1.病態問題與條件數;(領會)3.2.算法的數值穩定性;(領會)3.3避免誤差危害的若干原則。(領會)第二章

插值法教學要點:了解插值法的背景及其應用，掌握用拉格朗日插值公式、牛頓插值公式進行插值的方法。明確理解等距節點插值、埃爾米特插值和分段低次插值、插值余項、誤差估計。理解樣條插值。.1．明確掌握并能熟練運用拉格朗日、牛頓插值公式插值的方法。2．明確等距節點插值、埃爾米特插值和分段低次插值、插值余項、誤差估計方法。理解樣條插值。教學時數：8學時教學內容：引言拉格朗日插值線性插值與拋物插值拉格朗日插值多項式插值余項、誤差估計均差與牛頓插值公式均差及其性質牛頓插值公式差分與等距節點插值公式差分及其性質等距節點插值公式埃爾米特插值分段低次插值高次插值的病態性質分段線性插值分段三次埃爾米特插值樣條插值考核要求:插值函數、插值多項式、分段插值（識記）2拉格朗日插值1插值與拋物插值（領會與應用）2．2拉格朗日插值多項式（領會與應用）2．3插值余項、誤差估計（理解）差與牛頓插值公式3．1差分及其性質（領會）3．2牛頓插值公式（領會與應用）差分與等距節點插值公式4．1差分及其性質（領會）4．2等距節點插值公式（領會與應用）埃爾米特插值（領會）分段低次插值6．1插值的病態性質（識記）6．2分段線性插值（領會與應用）6．3分段三次埃爾米特插值（領會）7．樣條插值（了解）第三章曲線擬合的最小二乘法教學要點:掌握曲線擬合的最小二乘法。教學時數：4學時教學內容：函數逼近的基本概念函數逼近范數及其性質曲線擬合的最小二乘法考核要求:1范數及其性質（識記）2．曲線擬合的最小二乘法（領會與應用）第四章數值積分與數值微分教學要點:理解數值求積的基本思想、代數精度的概念、插值型的求積公式、龍貝格算法和用高斯公式進行數值積分。理解數值積分法以及幾種低階求積公式的余項使用。掌握牛頓—柯特斯公式、幾種低階求積公式（二階、三階）、復化求積法。理解數值微分方法。理解數值求積的基本思想、代數精度的概念、插值型的求積公式。明確掌握并能熟練運用牛頓—柯特斯公式。掌握并能運用復化求積公式，理解龍貝格求積公式。理解高斯求積公式。理解數值微分方法。教學時數8學時教學內容：第一節引言數值求積的基本思想代數精確度的概念插值型的求積公式第二節牛頓—柯特斯公式柯特斯系數偶數階求積公式的代數精度幾種低階求積公式的余項第三節復化求積公式復化梯形公式復化拋物形求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式數值微分中點方法和誤差分析插值型的求導公式利用數值積分求導考核要求:1．引言1．1代數精確度的概念（識記）1．2插值型的求積公式（理解）2．牛頓—柯特斯公式2．1柯特斯系數（領會并應用）2．2偶數階求積公式的代數精度（理解）2．3幾種低階求積公式的余項（識記）3．復化求積公式3．1復化梯形公式（領會與應用）3．2復化拋物形求積公式（領會與應用）4．龍貝格求積公式（理解）5．高斯求積公式（理解）6．數值微分6．1中點方法和誤差分析（領會）6．2插值型的求導公式（領會）第五章解線性方程組的直接方法教學要點:掌握高斯主元消去法以及三角分解法。了解矩陣范數、誤差分析。理解向量范數和平方根法。掌握高斯（主元）消去法以及三角分解法。明確LU三角分解法。理解向量范數、矩陣范數及其性質。了解解線性方程組的誤差分析。教學時數：8學時教學內容：引言與預備知識向量和矩陣特殊矩陣高斯消去法1.高斯消去法2.矩陣的三角分解高斯主元消去法1.列主元消去法2.高斯—約當消去法矩陣三角分解法1.直接三角分解2.平方根法向量和矩陣范數誤差分析考核要求:1．引言與預備知識1．1向量和矩陣（領會）1．2特殊矩陣（領會）2．高斯消去法2．1高斯消去法（領會）2．2矩陣的三角分解（領會）3.高斯主元消去法3．1列主元高斯消去法（應用）3．2高斯—約當消去法（理解）4．矩陣三角分解法4.1直接三角分解（掌握）4.2平方根法（領會）5．向量和矩陣范數（領會）6．誤差分析（了解）第六章解線性方程組的迭代法教學要點:掌握基本的迭代法、了解迭代法的收斂性。掌握基本的迭代法（雅可比，高斯—塞德爾）。2．了解迭代法的收斂性。教學時數：4學時教學內容：第一節引言第二節基本迭代法2．1雅可比迭代法2．2高斯—塞德爾迭代法第三節迭代法的收斂考核要求:1．基本迭代法2．1雅可比迭代法（領會并應用）2．2高斯—塞德爾迭代法（領會并應用）2．迭代法的收斂（了解）第七章非線性方程求解教學要點:理解迭代法的基本思想、迭代過程的收斂性、迭代過程的收斂速度、解非線性方程組的牛頓迭代法。理解迭代過程的加速原理、拋物線法。掌握二分法、牛頓法、弦截法。理解迭代法的基本思想。理解迭代過程的收斂性和加速原理。3．掌握二分法、牛頓法、弦截法及其應用。4．理解解非線性方程組的牛頓法。教學時數：8學時教學內容：方程求根與二分法引言二分法迭代法及其收斂性不動點迭代法不動點的存在性與收斂性局部收斂性與收斂階迭代收斂的加速方法埃特金加速收斂方法斯蒂芬森迭代法牛頓法牛頓法及其收斂性牛頓法應用舉例簡化牛頓法與牛頓下山法重根情形弦截法與拋物線法弦截法拋物線法第六節解非線性方程組的牛頓迭代法。考核要求:1．方程求根與二分法1．1二分法（領會）2．迭代法及其收斂性2．1不動點迭代法（理解）2．2不動點的存在性與收斂性（領會）迭代收斂的加速方法埃特金加速收斂方法（領會）斯蒂芬森迭代法（了解）牛頓法4．1牛頓法及其收斂性（領會與應用）4．2牛頓法應用舉例（領會）4．3簡化牛頓法與牛頓下山法（領會）弦截法與拋物線法5．1弦截法（領會與應用）5．2拋物線法（了解）第六節解非線性方程組的牛頓迭代法（了解）7.課程教學實施章節名稱第一章數值分析的若干基本概念1.1序言及數值計算基本思想1.2誤差的基本原理第1周第1次課講授2學時教學目的及要求理解什么是數值分析，科學計算的重要性。科學計算的過去和將來。數值分析的學科特點。構造數值算法的基本思想。學習計算方法需要注意的地方。了解誤差的來源的幾個方面。理解并運用誤差的概念，掌握有效數字的定義及相對誤差的定義。相對誤差和有效數字之間的關系。誤差的傳播教學內容提要備注什么是數值分析科學計算的重要性科學計算的過去和將來本課程要講授的主要內容數值分析的學科特點構造算法的基本思想近似替代；離散化；遞推化。學習“計算方法”需要注意的幾點誤差的來源：模型誤差；觀測誤差；截斷誤差；舍如誤差。誤差的定義。有效數字的概念及練習相對誤差；相對誤差和有效數字之間的關系。定理1.1和1.2，以及他們的應用算術運算的誤差一及二，函數的誤差估計，多員函數的誤差估計。積和商的相對誤差估計。和與差相對誤差估計一、二、三。多元函數誤差估計公式的應用及一元函數誤差估計公式的應教學重點與難點有效數字的計算，相對誤差計算討論、練習、作業P21，3,4章節名稱1.3誤差定性分析與避免誤差危害1.4向量范數與矩陣范數第1周第2次課講授2學時教學目的及要求了解數值計算應注意的幾個基本原則。掌握向量、矩陣范數的定義及計算教學內容提要備注病態問題與條件數二、數值計算中應注意的幾個原則：關于數值穩定性的算法注意避免兩個相近數的相減。簡化計算步驟,減少運算次數。避免除數的絕對值遠小于被除數的絕對值5.防止大數吃掉小數。三、（1）向量范數定義：對任一向量X，按一定規則確定一個實數與其相對應，該實數記為||X||，若||X||滿足下面三個性質：（1）||X||30，||X||=0當且僅當X=0。（2）對任意實數l，||lX||=|l|||X||。（3）對任意向量Y?Rn，||X+Y||￡||X||+||Y||。則稱該實數||X||為向量X的范數常用向量范數和范數的等價性（2）矩陣范數的定義及誘導的矩陣范數教學重點與難點數值的穩定性；求解矩陣范數討論、練習、作業P21,7,10

章節名稱第2章非線性方程的求根2.1方程求根及二分法第2周第1次課講授2學時教學目的及要求了解方程的求根區間，掌握二分法，教學內容提要備注一、方程求根非線性方程的分兩類2則可用搜索法求有根區間.求根問題的三個方面：存在性，分布，精確化。二、二分法二分法簡述二分法優、缺點；用途。教學重點與難點掌握二分法（根的搜索）討論、練習、作業P45，1

章節名稱2.2迭代法及收斂性第2周第2次課講授2學時教學目的及要求掌握一般迭代法的構造和收斂性條件教學內容提要備注不動點迭代二、不動點的存在性與迭代法的收斂性三、局部收斂性與收斂階教學重點與難點迭代法的收斂性判別討論、練習、作業P46，7

章節名稱2.3迭代收斂的加速方法2.4牛頓迭代法（1）第3周第1次課講授2學時教學目的及要求掌握斯蒂芬森及埃特金加速迭代法構造掌握牛頓迭代法的構造及收斂特點教學內容提要備注一、迭代法說明:(2.2)不收斂,(3.3)可能收斂;(2.2)線性收斂,(3.3)平方收斂二、埃特金加速收斂法，三牛頓迭代法3.1牛頓法及其收斂性（略講）3.2、牛頓法應用舉例教學重點與難點Newton法的公式討論、練習、作業P46,8,9

章節名稱2.4牛頓迭代法（2）2.5割線法和拋物線法2.6非線性方程組的牛頓迭代法第3周第2次課講授2學時教學目的及要求掌握牛頓下山法和重根計算了解割線法和拋物線法掌握非線性方程組的牛頓迭代法教學內容提要備注簡化牛頓法與牛頓下山法二、重根情形二、割線法§6解非線性方程組的迭代法教學重點與難點重點：牛頓下山法和割線法難點：非線性方程組的計算討論、練習、作業P46,10,14(2)

章節名稱第3章解線性方程組的數值解法3.1引言3.2高斯消元法和三角分解第4周第1次課講授2學時教學目的及要求了解線性方程組的解，掌握高斯消元法，理解矩陣三角分解的思想，掌握高斯主元素消元法教學內容提要備注3.1引言一般b≠0,當系數矩陣A非奇異(即detA≠0)時，方程組（3.1）有惟一解。簡記為Ax=b，其中線性方程組的數值解法一般有兩類：直接法：就是經過有限步算術運算，可求得方程組精確解的方法（若計算過程中沒有舍入誤差），如克萊姆法則就是一種直接法，直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。迭代法:就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組的精確解的方法。也就是從解的某個近似值出發，通過構造一個無窮序列去逼近精確解的方法。(一般有限步內得不到精確解)3.2高斯消元法設有線性方程組：AX=b例1（略）一般地,順序高斯消去法:（1）消元過程第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到其中第二步：若用…….……第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到其中第n-1步：……（2）回代過程若則說明:若線性方程組的系數矩陣非奇異，則它總可以通過帶行交換的高斯消去法進行求解定理5(1)可以通過高斯消去法求解(2)系數矩陣非奇異，總可以通過帶行交換的高斯消去法進行求解.列主元高斯消去法的必要性,簡例:算法.乘除法運算工作量消元過程乘除法次數回代過程乘除法次數,總的乘除法運算次數,非零判斷次數最多為：行交換的元素個數為:二、矩陣的三角分解下面建立高斯消去法與矩陣的因式分解的關系.…………三、高斯主元素消去法例3’采用3位十進制，用消元法求解解法1：解法2：，全主元消去法;列主元消去法。一、列主元消去法設有線性方程組：AX=b第一步:先在A的第一列選取絕對值最大的元素作主元素，然后交換第1行和第i1行(當i1≠1時),再進行第1次消元.……第k步選主元素,然后交換第k行和第ik行(當ik≠k時),再進行第k次消元……第n-1步回代求解算法(列主元消去法).……下面用矩陣描述列主元消去法說明:L,U,Ip的存貯.教學重點與難點重點：高斯消元法，矩陣三角分解難點：高斯主元素消元法討論、練習、作業P87,1章節名稱3.3常用的直接三角分解方法第4周第2次課講授2學時教學目的及要求掌握Lu分解法求解線性方程組了解改進的平方根法教學內容提要備注若線性方程組Ax=b的系數矩陣A完成三角分解，A=LU，那么解方程組Ax=b等價于求解兩個三角形方程組Ly=b，Ux=y，即由再由：可解得：容易看出，式（3-14）與式（3-13）的運算規律相同，或者由：可知，若將b作A的最后一列處理，在將A化為上三角陣的同時，也將b化作了y，故在利用三角分解求解方程組Ax=b時，只需將右端向量b列在表3-1的最后一列，按uij的計算方法即可求出yk（或在式（3-13）中求uij時，增加一列，j算到n+1）下表3-3是求解線性方程Ax=b的緊湊格式，其計算順序與計算方法與三角分解相同。按表3-3計算后，再按式（3-15）即可求出方程組的解。例6解：按表3-3計算所以：三角分解法的幾點說明1、用三角分解法求線性方程的乘除法運算量也是n3/3數量級。由于在求出uij,lij和yi后，aij和bi無需保留，故上機計算時，可把L，U和y存在A，b所占的單元，回代時x取代y，整個計算過程中不需要增加新的存貯單元。2、從三角分解法的推導及例中可以看出，系數矩陣的三角分解與右端項無關。因而在計算多個系數矩陣為A而右端不同的線性方程組系時，用三角分解法更為簡便（如可用于求逆矩陣）。3、完成A=LU分解后可以較容易地求出行列式|A|的值：4、三角分解法一般也可采用選主元的技術，以使算法更具數值穩定性。5、也可以把矩陣A分解成一個下三角矩陣與一個單位上三角矩陣的乘積，矩陣的這種分解稱為克勞特（Crout）分解6、分解法的優點除上述2、3外，還有a可求解A2z=b,因為算A2計算量大，可用可根據A的形狀設計算法，當A為大型稀疏，且非零元素有規律如帶狀，三對角等，作分解時能充分利用A的特點，L，U能保持A的原狀，即L與A的下三角相同，U與A的上三角形狀相同工程實際問題的計算中，線性方程組的系數矩陣常常具有對稱正定性，即其各階順序主子式及全部特征值均大于零。矩陣的這一特性使它的三角分解也有更簡單的形式，從而導出一些特殊的解法。對稱正定矩陣概念：若A為對稱正定矩陣，則：A的所有順序主子矩陣Ak(k=1,2,…,n)也是對稱正定陣2.A是非奇異陣，且A1也是對稱正定陣；3、A的對角線元素aii>0(i=1,2,…,n)；4.A的所有特征值>0；5.A的所有順序主子式均為正數，即det(Ak)>0,k=1,2,…,n)。若A是對稱正定矩陣，則存在唯一的單位下三角矩陣L和對角陣證明：首先A可直接作LU分解，記為A=LU1，其中：其中U0是單位上三角陣，則由A的對稱性可得：再由唯一性得U0=LT，所以A=LDLT，并且這種分解是唯一的，又由于U1的對角線元素Ukk就是Gauss消元法的主元素：由于LD1/2是下三角陣，因此有推論：若A是對稱正定矩陣，則存在唯一的主對角線元素都為正的下三角陣L，使得：A=LLT矩陣的這種分解稱為Choleskg分解。用比較法可以導出L的計算公式。設：比較A與LLT的相應元素，即由A=LLT可得：計算順序按列進行。完成矩陣A的Cholesky分解后，求解方程組AX=b就轉化求：求解對稱正定線性方程組的方法稱為平方根法，也稱為Cholesky分

解法，這種方法無需選主元，計算過程也是穩定的。由于A的對稱性，平方根法的乘除運算量為n3/6數量級，約為直接分解法的一半。上機計算時，所需存貯單元也少，只要存貯A的下三角部分和右端項b，計算中L存放于A的存貯單元，y,x存放在b的存貯單元。平方根法的不足之處在于需作n次開方運算。它們的解分別為：例7用平方根法解對稱正定方程組：解：先分解系數矩陣A，只對A的下三角部分運算即可，所以只存放A的下三角部分：由定理3.2，對稱正定矩陣A又可以作如下分解其中，L是單位下三角陣，D是對角陣，U=DLT。首先由緊湊格式的三角分解可得：由于U=DLT，即比較兩邊的對應元素可得：教學重點與難點重點：LU分解法。難點：矩陣的Cholesky分解討論、練習、作業P87,2

章節名稱3.3常用的直接三角分解方法（2）3.4方程組的性態和直接法的誤差分析第5周第1次課講授2學時教學目的及要求掌握三對角方程組的求解法方程組的病態問題和誤差分析教學內容提要備注1三對角方程組的追趕法在很多問題中，需要解如下形式的三對角方程組，三對角方程組的系數矩陣為三對角陣，對于這種特殊而又簡單的方程組，用前面介紹的方法求解由于有大量的零元素既占內存又浪費計算時間，顯然很不經濟。充分注意到三對角方程組的特點，根據順序消元的思想導出一個簡便的算法——追趕法。首先進行順序消元，且每步將主元系數化為1，將方程組化為：其中系數按下式計算：然后回代求解，得：例4用追趕法解下列三對角方程組解：首先將方程組化為（先追）然后回代（趕）求解：

x5=0，x4=30/7，

x3=6/7，x2=12/7，

x1=0可以看出，追趕法本質上還是順序消元法，但由于計算過程中只涉及系數矩陣的非零元，因此大大節約了計算機內存與計算量，按乘除法次數進行比較，Gauss消元法約為n3/3，全主元法為n3/2，而追趕法僅為5n-3次，可見追趕法是求解三對角方程組的非常好的方法。2病態方程組和矩陣的條件數無論用哪種方法求解線性方程組，一般情況下都會產生誤差，本節討論線

性方程組解的誤差。方程組的解為一組數，稱為解向量，近似解向量與準確解向量之差稱為誤差

向量，為了估計誤差向量的大小，以及在迭代法討論收斂性的需要，首先需引入衡量向量與矩陣大小的度量——范數。這三個性質刻畫了向量長度的基本特征，并可以用其將平面向量長度的概念推廣到一般n維向量，于是有如下定義定義1下面將給出范數的種類：分別稱為向量x的2范數，1范數，無窮范數。容易證明它們都滿足上述三條性質。可以看出，2范數是平面向量長度計算公式在形式上的推廣，也是線性代數中的內積定義。此處引入多種范數來刻畫向量的大小，是為了在不同情況下用不同的范數研究問題。向量范數的證明：（只對第三條）對∞范數：前面2條顯然，對第三條，由于對任意實數x,y，絕對值不等式：|x+y|≤|x|+|y|成立，因而有:對2范數利用實數的柯西不等式于是，有：Rn中范數的等價性例如可證明如下等價性：不難證明：——亦即1范數與范數是等價的。所以，2范數與范數是等價的。事實上:Rn中任意兩種范數部是等價的。向量的誤差有了向量范數，就可以用它來表示方程組解向量的誤差，設x是方程組Ax=b的準確解向量，是近似解向量，則:分別稱為的關于P范數的絕對誤差與相對誤差。顯然，范數不同，其誤差值是不一樣的定義2對任意n階方陣A=(aij)nn，若對應一個非負實數||A||，滿足：則稱||A||為矩陣A的范數。與向量范數定義比較，前三條性質只是向量范數定義的推廣，而第四條性質則是矩陣乘法性質的要求，它使矩陣范數在數值計算中使用更方便。常用的矩陣范數有：它們分別叫做矩陣的范數，1范數，2范數，E范數，矩陣E范數是向量2范數的推廣，矩陣范數，1范數計算容易，而矩陣2范數與ATA的特征值有關，所以又稱為譜范數，它的計算較困難，但因為它有一些好的性質，所以也是常用的范數。可以證明，這些范數都滿足定義2。以||A||為例，前2條性質顯然成立，而對：最大行和矩陣范數的證明（續）范數的相容性在誤差估計中，由于矩陣與向量會同時用到，我們總但對任意的向量范數與矩陣范數卻未必如此，因而特別地把滿足此不等式的范數稱為相容的，可以證明，上述常用的范數是相容的，即有在使用范數時，應選用相容的矩陣范數與向量范數。有了矩陣范數，就可以用它描述矩陣的誤差，設是A的近似矩陣，稱為A的殘差陣，則：分別稱為A的關于P范數的絕對誤差與相對誤差。例103方程的性態和條件數數值穩定的算法是否一定能求得精度比較高的解呢？回答是不一定，解的精度還與方程組本身的性態有關，下面來考察幾個例：可以看出，后兩個方程組與第一個方程組相比，系數矩陣或右端向量僅有0.0005以下的誤差，但準確解卻相差很大。例12若其系數，常數項改用三位有效數字的小數表示，則方程組為：初始數據的誤差（相對）<0.3%=0.003，而解的相對誤差卻超過50%。在許多實際問題中，線性方程組的系數矩陣和右端項的元素大多為前面計算的結果，因此上述例中的微小誤差是避免不了。而對上述例中的方程組，無論用多么穩定的算法求解，計算中產生的微小誤差就使解面目全非，所以這些方程組的性態是很差的。當方程組Ax=b的系數矩陣與右端向量b的微小變動（小擾動）而引起解嚴重失真時，稱此方程組為病態方程組，其系數矩陣A稱為病態矩陣，否則稱為良態方程組，A稱為良態矩陣，為了定量刻畫方程組“病態”的程度，下面對方程組Ax=b在系數矩陣A及右端項b有擾動的幾種情形進行討論方程組的性態討論——病態、良態（續）此不等式表明，當右端項有擾動時，解的相對誤差不超過b的相對誤差的倍。當b為精確的而A有微小擾動A時，在A充分小時也同樣可推得：而當A,b同時有微小擾動A，b時，則可進一步導出更一般的誤差估計式：在b充分小時，此式右端實際上即為：在三種情況下得到的這三個不等式反映了解的相對誤差與A及b的相對誤差的關系；數||A||||A-1||越小，解的相對誤差也越小；反之數||A||||A-1||越大，解的相對誤差也越大，實際上這個數反映了解對方程組原始數據的敏感程度，揭示了矩陣A和方程組本身的性態，稱之為方程組或矩陣A條件數，記作cond(A)越大，A的病態程度越嚴重。至于cond(A)多大才算病態，這是一個相對概念，沒有一個嚴格的數量界限。判斷病態矩陣的幾點參考求條件數要計算逆陣的范數，很不方便，如下一些現象可作為判斷病態矩陣的參考。（1）在用主元消去法時消元過程出現小主元（如例12）（2）矩陣A中元素間數量級相差很大；（3）A的行列式det(A)滿足（行列式值相對很大）：（4）矩陣的某些行（或列）近似相關（如例11）。的特例，它是典型的“病態”陣，n越大，“病態”越嚴重，如n=6時，cond(A)=29×106，對嚴重“病態”的方程組。教學重點與難點重點：追趕法難點：方程組解的誤差討論、練習、作業P88,8,11章節名稱3.6解線性方程組的迭代法第5周第2次課講授2學時教學目的及要求掌握Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法，掌握迭代法的收斂條件教學內容提要備注線性代數方程組的迭代解法的基本思想：構造適當的迭代公式，任選一個初始向量x(0)進行迭代計算，使生成的向量序列。…，,…收斂于方程組的精確解。3.6.1簡單迭代法的一般形式方程組Ax=b,A非奇異，化為等價的方程組構造簡單迭代公式其中任取.M為迭代矩陣.簡單迭代公式的分量形式若存在極限則稱向量序列收斂于向量并記為這時，稱簡單迭代法是收斂的，否則就是發散的。收斂時令k→∞，有，等價地有Ax*=b.控制迭代結束的實用標準：其中是指定的精度要求。解向量例16改寫為取，構造迭代公式其矩陣形式為其中根據迭代公式計算得設精度要求為ε=0.005，計算結果：由于故求得方程組的解為3.6.2雅可比(Jacobi)迭代法公式的構造：方程組Ax=b,設A非奇異，其主對角元aii≠0，(i=1,2,…,n)，并且絕對值相對來說比較大。從第i個方程中分離出xi，得到等價的方程組雅可比迭代公式例17用雅可比迭代法求解方程組精度要求為=0.005。解等價的方程組為構造雅可比迭代公式計算結果:所以x=x(5)滿足精度要求，得x1=0.99990,x2=0.99974,x3=0.99981雅可比迭代公式的分量形式：即i=1,2,…,n雅可比迭代的矩陣形式為B為雅可比迭代矩陣。例18用Jacobi迭代法求解線性方程組：解：由第一個方程解x1，第二個方程解x2，第三個方程解x3得Joacbi迭代格式為：取x(0)=(0,0,0)T代入迭代式（3-6）或（3-7）得：繼續迭代下去，迭代結果見表表3-1迭代9次，得近似解x(9)=(10.9994,11.9994,12,9992)T，此方程組的準確解為x=(11,12,13)T，從表3-1可以看出，隨著迭代次數的增加，迭代結果越來越接近精確解。3.7.3高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法思想：設想把x1(k+1)算出后立即代替x1(k)用于后面分量的計算，當x2(k+1)算出后立即代替x2(k)用于后面分量的計算，…，期望這樣會收斂得快些。例19用高斯-賽德爾迭代法求解方程組解方程組化為等價的方程組高斯-賽德爾迭代公式迭代計算：0.9(7+2×0.9+0)/10=0.88(4+0.88)/5=0.976(7+2×0.9976+0.976)/10=0.99712(4+0.99712)/5=0.99942計算結果:故x(3)即為滿足精度的近似解，得x1=0.99994,x2=0.99993,x3=0.99999高斯-賽德爾(Seidel)迭代公式令迭代公式即其矩陣形式是雅可比迭代矩陣B與L、U的關系為：B=L+U改寫迭代公式為:x(k+1)-Lx(k+1)=Ux(k)+f,即(I–L)x(k+1)=Ux(k)+f，x(k+1)=(I–L)-1Ux(k)+(I–L)–1f可見，這也是簡單迭代法，其迭代矩陣為M=(I–L)-1U(高斯-賽德爾迭代矩陣）前面的例題中，高斯-賽德爾迭代公式為高斯-賽德爾迭代矩陣為例20用Gauss-Seidel迭代法求解解：Gauss-Seidel迭代格式為：仍取x(0)=(0,0,0)T，

計算結果見下表：顯然，用Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收斂快，這個結論在多數情況下是成立的，但也有Gauss-Seidel迭代比Jacuobi迭代收斂慢，甚至還有Jacobi迭代收斂，Gauss-Seidel迭代發散的情形。求例2中的Gauss-Seidel法的迭代陣M的兩種方法方法2：可按代入法求M，以避免計算逆矩陣，在Gauss-Seidel迭代式中，第二個式子中的以第一個式子代替。可將第二式右端上標都化為k（可以不管常數）：GS迭代法和Jacobi迭代法的比較：通常當兩種方法都收斂時，GS迭代法往往收斂快一些。但有時Jacobi迭代法收斂而GS迭代法發散；有時又相反。例如方程組雅可比迭代公式發散，但GS迭代公式收斂方程組的雅可比迭代公式收斂而GS迭代公式發散。3.8迭代法的收斂性定理3.4簡單迭代法x(k+1)=Mx(k)+g收斂的充分必要條件是迭代矩陣M的譜半徑ρ(M)<1。其中ρ(M)是指M的特征值ρ1,ρ2,…,ρn中按模最大者，即方程組雅可比迭代矩陣所以雅可比迭代收斂高斯-賽德爾迭代矩陣所以GS迭代法也收斂教學重點與難點會用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法解線性代數方程組討論、練習、作業P89,17,22

章節名稱第4章插值法4.1插值問題與插值多項式4.2拉格朗日插值

第6周第1次課講授2學時教學目的及要求插值多項式的構造拉格朗日插值計算教學內容提要備注4.1插值法的基本理論4.1.1插值問題及代數多項式插值函數y=f(x)給出一組函數值x:x0x1x2……xny:y0y1y2……yn其中x0,x1,x2,…,xn是區間[a,b]上的互異點，要構造一個簡單的函數φ(x)作為f(x)的近似表達式，使滿足(插值原則、插值條件)這類問題稱為插值問題f(x)的插值函數,f(x)被插值函數x0,x1,x2,…,xn插值基點求插值函數的方法稱為插值法。若x∈[a,b]，需要計算f(x)的近似值φ(x),則稱x為插值點。當選擇代數多項式作為插值函數時，稱為代數多項式插值問題:代數多項式插值問題:設函數y=f(x)在[a,b]有定義,且已知在n+1個點a≤x0<x1<……<xn≤b上的函數值y0,y1,……,yn.,要求一個次數不高于n的多項式使滿足插值原則稱Pn(x)為f(x)的n次插值多項式。這樣的插值多項式是否存在、唯一？定理4.1在n+1個互異基點處滿足插值原則且次數不超過n的多項式Pn(x)是存在并唯一的。證其系數行列式因此方程組存在唯一的解，因此Pn(x)存在并唯一。4.1.2插值多項式的誤差截斷誤差：也稱為Pn(x)的余項定理4.2設函數f(x)在包含基點x0,x1,…,xn的區間[a,b]上連續，在(a,b)上具有n+1階導數，Pn(x)為滿足插值原則的n次插值多項式，則對任一點x∈[a,b]，總存在相應的點ξ∈(a,b)，使其中推論當f(x)是次數不超過n的多項式時，其n次插值多項式就是f(x)本身。誤差公式的用法：如果，則截斷誤差估計為設min{x0,x1,…,xn}=a，max{x0,x1,…,xn}=b當插值點x∈(a,b)時稱為內插，否則稱為外插。例1若利用在100和144的值，對做一次插值，估計誤差是多少？解插值基點x0=100,x1=144,插值點線性插值和二次插值1線性插值n=1時的代數多項式插值已知f(x0)=y0，f(x1)=y1,x0≠x1要構造線性函數P1(x)=a0+a1x,使滿足插值條件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1.（線性插值多項式）拉格朗日線性插值多項式）公式的結構：它是兩個一次函數的線性組合（線性插值基函數）基函數的性質線性插值多項式的截斷誤差為ξ是在包含x,x0,x1的區間內某數。例2給定函數y=lnx在兩點10、11的值如下表，試用線性插值求ln10.5的近似值，并估計截斷誤差解f(x)=lnx,x0=10,x1=11,x=10.5ln10.5≈P1(10.5)=2、二次插值n=2時的代數多項式插值已知f(x)在三個互異點x0,x1,x2的函數值y0,y1,y2要構造次數不超過二次的多項式使滿足插值條件公式的構造：先對每個基點xi構造二次插值基函數li(i=0,1,2)，使滿足（拉格朗日二次插值多項式）P2(x)的截斷誤差為ξ是包含x0,x1,x2,x的區間內某數。例3已知函數y=f(x)的觀測數據如表所示，試求其拉格朗日插值多項式，并計算f(1.5)的近似值。解二次插值也稱之為拋物插值。當三點(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)位于一條直線上時，顯然插值函數的圖形是直線。4.2.2n次拉格朗日插值作基點xi的n次插值基函數(i=0,1,…,n)：基函數具有性質:n次拉格朗日插值多項式計算框圖：教學重點與難點重點：拉格朗日插值難點：拉格朗日插值的誤差討論、練習、作業P123,1,4

章節名稱4.3均差與牛頓插值公式4.4差分與牛頓前后插值公式第6周第2次課講授2學時教學目的及要求掌握Newton插值多項式的構造與差商及差分的性質教學內容提要備注目的：構造具有如下形式的插值多項式它滿足遞推性：4.4.1均差及均差表一階均差二階均差例如設則k階均差例如零階均差定義為函數值本身，即均差具有對稱性：任意改變基點的次序后其值不變。例如f[0,2,4]=f[2,0,4]=f[4,2,0]等等。均差表計算規律：任一個k(≥1)階均差的數值等于一個分式的值，其分子為所求均差左側的數減去左上側的數，分母為所求均差同一行最左邊的基點值減去由它往上數第k個基點值。注意：均差表中，對角線上的均差是構造牛頓型插值公式的重要數據。均差表的數據構成一個矩陣F：F00=f(x0)F10=f(x1),F11=f[x0,x1]F20=f(x2),F21=f[x1,x2],F22=f[x0,x1,x2]F30=f(x3),F31=f[x2,x3],F32=f[x1,x2,x3],F33=f[x0,x1,x2,x3]一般有Fi-1,j-1=f[xi-j,,…,xi-1]Fi,j-1=f[xi-j+1,…,xi]Fi,j=f[xi-j,xi-j+1,…,xi-1,xi]計算機上計算均差表的公式例4已知函數y=f(x)的觀測數據如表，試構造均差表，并求f[2,4,5]及f[2,4,5,6]的值。解n=4,構造均差表f[2,4,5]=-5，f[2,4,5,6]=54.4.2牛頓均差型插值多項式根據線性插值的點斜式可得牛頓均差型線性插值多項式：設由可得牛頓均差型二次插值多項式：牛頓均差型n次插值多項式(n次牛頓均差插值多項式)余項公式的牛頓形式：計算牛頓均差插值多項式的步驟：（1）作均差表（2）根據公式計算牛頓型插值多項式（表中對角線上各均差值就是Pn(x)的各項系數）。例5已知函數y=f(x)的觀測數據如例4.4，試用全部基點構造牛頓均差插值多項式，并用二次插值求f(3)的近似值解用全部基點時，n=4，先作均差表,見例4.4。P4(x)=f(0)+f[0,2](x-0)+f[0,2,4](x-0)(x-2)+f[0,2,4,5](x-0)(x-2)(x-4)+f[0,2,4,5,6](x-0)(x-2)(x-4)(x-5)=1+2x-x(x-2)(x-4)+x(x-2)(x-4)(x-5)用二次插值求f(3)時n=2，x=3，作內插取x0=2,x1=4,x2=5f(3)≈P2(3)=f(2)+f[2,4](3–2)+f[2,4,5](3-2)(3-4)=7-5(3-2)(3-4)=12若插值基點等距分布，牛頓型插值多項式還可以利用差分得到簡化,。差分設基點等距，xi=x0+th,i=0,1,…,n.h稱為步長。一階差分：一階向前差分、一階前差一階向后差分、一階后差二階差分：二階前差二階后差k階前差和k階后差零階差分規定為簡記為例6設f(x)=x2+x,取步長h=0.5,計算解令x0=0,則x1=0.5,x2=1△f(0)=f(0.5)-f(0)=0.75，△f(0.5)=f(1)-f(0.5)=1.25△2f(0)=△(△f(0))=△f(0.5)-△f(0)=1.25–0.75=0.5用數學歸納法可以證明前差、后差、均差之間的下述關系：利用差分可以簡化等距基點的牛頓型插值公式，稱為前差（或后差）插值公式。教學重點與難點掌握Newton插值多項式的構造與差商及差分的性質討論、練習、作業P124,8,11

章節名稱4.5埃爾米特插值第7周第1次課講授2學時教學目的及要求掌握分段低階插值多項式的構造及特點。掌握三次樣條插值多項式的構造及特點教學內容提要備注Newton插值和Lagrange插值雖然構造比較簡單，但都存在插值曲線在節點處有尖點，不光滑，插值多項式在節點處不可導等缺點為了保證插值多項式能更好地逼近，對增加一些約束條件，例如要求在某些結點處與相切，即具有相同的導數值.一、Hermite插值問題求一個次數不大于n+n+1的代數多項式，滿足：稱以上的插值問題為Hermite插值問題.二、Hermite插值公式推導令其中，都是n+n+1次待定多項式，并且它們滿足以下條件：（3）（4）顯然滿足條件(3),(4)的多項式(2)的次數不大于n+n+1次，且滿足插值條件(1).1、求解由條件(3)知是的二重零點.且由條件(3)知是的零點.其中，A,B是待定系數即由上述兩式解得：將A,B代入式(5)，得其中，，，，將C代入式(7)，得其中，綜合(1)(2)得到即式(6),(8)2求解由條件(4)知是的二重零點.且由條件(4)知是的零點.將D代入式(9)，得其中，，由式(2)(6)(8)(10)所表示的多項式稱為Hermite插值多項式其中由式(6)(8)(10)所表示的多項式稱為Hermite插值基函數證明：兩個節點的三次Hermite插值多項式通常稱之為“標準化”的基函數，而上述三次Hermite插值基函數可由其表示出：因此n=1的三次Hermite插值多項式可用標準化的基函數表示為更便于上機使用，上式中h=x1-x0。例9解:，，作為多項式插值,三次已是較高的次數，次數再高就有可能發生Runge現象,因此，對有n+1節點的插值問題，我們可以使用分段兩點三次Hermite插值例10按下表求Hermite插值：例11設：已知函數f(x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f(0)=0，求不超過3次的Hermite插值多項式H(x)教學重點與難點重點：埃米特插值的構造難點：埃米特插值的誤差討論、練習、作業P124,17章節名稱第5章函數逼近及與曲線擬合5.1正交多項式5.2函數逼近第7周第2次課講授2學時教學目的及要求理解函數逼近的思想理解正交多項式教學內容提要備注5.1函數逼近的基本概念一、函數逼近與函數空間二、范數與賦范線性空間內積與內積空間§5.2正交多項式一、正交函數族與正交多項式二、勒讓德多項式勒讓德多項式性質三、切比雪夫多項式四、其他常用正交多項式3教學重點與難點重點：正交多項式難點：勒讓德多項式和拉蓋爾多項式討論、練習、作業P153,1,4

章節名稱5.3最佳一致逼近多項式5.4曲線擬合的最小二乘法第8周第1次課講授2學時教學目的及要求掌握曲線擬合的最小二乘法教學內容提要備注5.3.1基本概念及其理論5.3.3、切比雪夫多項式在函數逼近中的應用5.4.1擬合問題的提出及其最小二乘法例7已知實測數據表試用最小二乘法求多項式曲線與此數據組擬合.例8已知實測數據表試求它的最小二乘擬合.…二、用正交函數作最小二乘擬合教學重點與難點曲線最小二乘法擬和多項式討論、練習、作業P153,12,13,20

章節名稱第6章數值積分與數值微分6.1數值積分基本概念第8周第2次課講授2學時教學目的及要求理解數值積分的思想教學內容提要備注計算定積分的值是經常遇到的一個問題，由微積分理論知道：只要求出f(x)的一個原函數F(x)，就可以利用牛頓—萊布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定積分值：但是，在工程技術領域，在實際使用上述求積分方法時，往往會遇到下面情況：1.函數f(x)沒有具體的解析表達式，只有一些由實驗測試數據形成的表格或圖形。2.f(x)的原函數無法用初等函數表示出來，如：f(x)的結構復雜，求原函數困難，即不定積分難由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數值計算方法，進而建立起上機計算定積分的算法，此外，數值積分也是研究微分方程和積分方程的數值解法的基礎。同樣，對函數f(x)求導，也有類似的問題，需要研究數值微分方法5.1.1構造數值求積公式的基本思想定積分I=∫abf(x)dx在幾何上為x=a,x=b,y=0和y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。定積分計算之所以困難，就在于這個曲邊梯形中有一條邊y=f(x)是曲邊，而不是規則圖形。由積分中值定理，對連續函數f(x)，在區間[a,b]內至少存在一點，使：也就是說，曲邊梯形的面積I恰好等于底為（b-a），高為f(的規則圖形—矩形的面積，f()為曲邊梯形的平均高度，然而點的具體位置一般是不知道的，因此難以準確地求出f()的值。但是，由此可以得到這樣的啟發，只要能對平均高度f()提供一種近似算法，便可以相應地得到一種數值求積公式。如，用兩端點的函數值f(a)與f(b)取算術平均值作為平均高度f()的近似值，這樣可導出求積公式：更一般地，可以在區間[a,b]上適當選取某些點xk(k=0,1,…,n)，然后用f(xk)的加權平均值近似地表示f()，這樣得到一般的求積公式：其中，點xk稱為求積節點，系數Ak稱為求積系數，Ak僅僅與節點xk的選取有關，而不依賴于被積函數f(x)的具體形式，即xk決定了，Ak也就相應的決定了。回顧定積分的定義，積分值I是和式的極限：其中xk是[a,b]的每一個分割小區間的長度，它與f(x)無關，去掉極限，由此得到近似計算公式：因此，式（7-1）可作為一般的求積公式，其特點是將積分問題歸結為函數值的計算，從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數的困難，適合于函數給出時計算積分，也非常便于設計算法。便于上機計算。求積公式（7-1）的截斷誤差為：Rn也稱為積分余項。5.2插值型求積公式5.2.1插值型求積公式設給定一組節點ax0<x1<…<xn-1<xnb，且已知f(x)在這些節點上的函數值，則可求得f(x)的拉格朗日插值多項式：其中lk(x)為插值基函數。取f(x)Ln(x)，則有：記則有這種求積系數由式所確定的求積公式稱為插值型求積公式。根據插值余項定理，插值型求積公式的求積余項為：其中[a,b]且與x有關。在插值中，因f(x)不知道，所以無法估計插值誤差。而在這里，f(x)作為被積函數，上式卻可以用于估計積分的誤差。6.2.2代數精度數值積分是一種近似方法，但其中有的公式能對較多的函數準確成立，而有的公式只對較少的函數準確成立。為了反映數值積分公式在這方面的差別，引入代數精度的概念。定義1如果某個求積公式對所有次數不大于m的多項式都精確成立，而至少對一個m+1次多項式不精確成立，則稱該公式具有m次代數精度。一般來說，代數精度越高，求積公式越好。為了便于應用，由定義1容易得到下面定理。定理1一個求積公式具有m次代數精度的充分必要條件是該求積公式對1,x,x2,…,xm精確成立，而對xm+1不精確成立。同理可證明矩形公式的代數精度也是一次的上述過程表明，可以從代數精度的角度出發來構造求積公式。例如，對于求積公式（7-1），若事先選定一組求積節點xk(k=0,1,…,n,)，xk可以選為等距點，也可以選為非等距點，則可令公式對f(x)=1,x,…,xn精確成立，即得：這是關于A0、A1、…、An的線性方程組，系數行列式為范德蒙行列式，其值不等于零，故方程組存在唯一的一組解。求解該方程組即可確定求積系數Ak，所得到的求積公式（7-1）至少具有n次代數精度。例2確定求

積公式使其具有盡可能高的代數精度。解求積公式中含有三個待定參數，可假定近似式（7-3）的代數精度為m=2，則當f(x)=1，x，x2時，式（7-3）應準確成立，即有：檢查（7-4）對m=3是否成立，為此，令f(x)=x3代入（7-4），此時左邊。再檢查（7-4）對m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此時:因此近似式（7-4）的代數精度為m=3.公式（7-4）不僅對特殊的次數不高于3次的多項式f(x)=1,x,x2,x3準確成立，而且對任意次數不高于3次的多項式，a0+a1x+a2x2+a2x3（f(x)=1,x,x2,x3的線性組合）也準確成立，事實上，令R(f)表式（7-4）的截斷誤差：教學重點與難點重點：插值型求積公式的構造難點：插值型求積公式的精度計算討論、練習、作業P189,1

章節名稱6.2牛頓一柯特斯公式第9周第1次課講授2學時教學目的及要求教學內容提要備注5.3.1牛頓-柯特斯求積公式的構造建立數值積分公式的基本思想：選取一個簡單的函數φ(x)近似代替f(x)，得再推導出簡便實用的計算公式，稱為數值積分公式。牛頓-柯特斯的思想：選取φ(x)為插值多項式Pn(x)，推導出實用的數值積分公式。在[a,b]作等距的插值基點a=x0<x1<……<xn=b，令推導具體計算公式由積分作代換x=a+sh,則當x=a時s=0，當x=b時x=n，dx=hds,x–xj=(s–j)h,=i(i-1)…1(-1)(-2)…(-(n-i))h=(-1)n-Ii!(n-i)!hn由略去余項得牛頓－柯特斯求積公式稱為柯特斯求積系數柯特斯求積系數表：例如：n=2時，有n=3時，有柯特斯系數的性質：(1)理由：取f(x)≡1，則f(n+1)(x)≡0,Rn(f)≡0，于是(2)系數有對稱性。(3)當n≥8時開始出現負值的柯特斯系數。牛頓－柯特斯求積公式當n=1時,有,梯形公式.此公式來源于舍去余項的結果，相當于用直線P1(x)代替f(x)計算積分。,牛頓－柯特斯求積公式當n=2時有拋物線公式（Simpson）此公式來源于舍去余項的結果，相當于用拋物線P2(x)代替f(x)計算積分。當n=4時，所得的公式稱作柯特斯公式，它有五個節點，其系數：所以柯特斯公式是：例3用n=1,2,3,4的牛頓－柯特斯求積公式計算下面定積分的近似值:解.當n=1,（梯形公式）當n=2,（拋物線公式）當n=3,當n=4,5.3.2梯形公式和拋物線公式的誤差估計牛頓－柯特斯求積公式具有上面的形式，且余項為定理5.1牛頓－柯特斯求積公式的代數精確度至少為n。而且當n是偶數時，公式的代數精確度可達到n+1。證明當f(x)是1,x,x2,…,xm時，求積公式成為準確的等式。因此牛頓－柯特斯求積公式的代數精確度至少為n。（其余證明略）定理5.2（梯形公式的誤差）設f(x)在[a,b]上具有連續的二階導數，則梯形公式的誤差可表達為證由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不變號，在[a,b]中連續根據定積分的第二中值定理，存在一點η∈[a,b],使定理5.3（拋物線公式的誤差）設f(x)在[a,b]上具有連續的四階導數，則拋物線求積公式的誤差可表達為例4試證拋物線公式的代數精確度為3。證明拋物線公式是誤差當f(x)=x0,x,x2,x3時，R2(f)=0,拋物線公式成為準確等式.當f(x)=x4時≠0，拋物線公式不能準確成立。因此，公式的代數精確度為3。例4分別用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式計算積分：解：由梯形公式得：辛卜生公式（得：由柯特斯公式得：事實上，積分的精確值：與之相比可以看到，柯特斯公式的結果最好，具有七位有效數字；辛卜生公式的結果次之，具有四位有效數字；而梯形公式的結果最差，只有兩位有效數字。6.3.3牛頓一柯特斯公式的穩定性和收斂性牛頓一柯特斯公式對f(x)=1精確成立，即：由此可得：下面來分析f(xk)的誤差對數值求積結果的影響。設f(xk)有誤差k，并設.則由此引起的計算誤差為：關于收斂性可以證明，并非對一切連續函數f(x)，都有：，也就是說牛頓—柯特斯公式的收斂性沒有保證。因此，在實際計算中，一般不采用高階(n8)的牛頓—柯特斯公式。教學重點與難點討論、練習、作業

章節名稱6.4復化求積公式第9周第2次課講授2學時教學目的及要求教學內容提要備注在實驗計算中常用的就是以上三種低階的N-C公式，但若積分區間比較大，直接使用這些求積公式，則精度難以保證；若增加節點，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當n8時，由于N-C公式的收斂性和穩定性得不到保證，因此不能采用高階的公式，事實上，增加節點，從插值的角度出發，必然會提高插值多項式的次數，Runge現象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高精度，當增加求積節點時，考慮對被積函數用分段低次多項式近似，由此導出復化求積公式6.4.1復合梯形公式及其誤差公式的構造思想：將積分區間等分成n個小區間，在每個小區間上分別用梯形求積公式再相加起來，得到實用的計算公式。設f(x)在[a,b]上有連續的二階導數，n是正整數.[a,b]等分成n個小區間在上運用梯形公式，各式相加后得，由于f″(x)連續，且有對f″(x)應用連續函數的介值定理知存在ξ∈[a,b],使因此略去余項后便得復合梯形公式余項為例用n=6的復合梯形公式計算積分的近似值。解1.827655練習用n=6的復合梯形公式計算積分解復化梯形公式的數值穩定性討論下面簡單討論復化梯形公式的數值穩定性。設計算函數值f(xk)時產生誤差為k(k=0,1,…,n)，則用式復化梯形公式計算結果的誤差為：因此，無論n為多大，復化梯形公式是數值穩定的。6.4.2復合拋物線公式及其誤差n取為偶數。在區間分別應用拋物線求積公式（設f(x)在[a,b]上有連續的4階導數各式相加，舍去余項可得復合拋物線求積公式n為偶數當n=2時即為上節的拋物線公式。利用連續函數的介值定理有可推得Sn的余項為例用n=6的復合拋物線公式計算積分的近似值。解例用復合拋物線公式計算積分的近似值,使絕對誤差小于10–6。解解不等式求得n=6。用n=6的復合拋物線公式計算積分，見上例用復合拋物線求積公式計算定積分的一般步驟：1）由被積函數和積分區間，計算并作出估計:（2）由不等式解出偶數n的最小值。3）計算函數值計算出Sn。5.4.3復化Cotes公式及其誤差將區間[a,b]分成n等分，分點為：用Cotes公式得到復化Cotes公式：復化Cotes公式的截斷誤差為：例6根據函數表[解]：（1）由復化梯形公式,n=8,h=1/8：（2）由復化Simpson公式,n=4,h=1/4：與準確值I=0.9460831…比較，顯然用復化Simpson公式計算精度較高。事實上，由誤差公式有RT(f)=O(h2),RS(f)=O(h4)，故當h比較小時，用復化Simpson公式計算誤差較小。由誤差估計公式不僅可以計算所求近似值的誤差，反之，亦可由給定的精度估計應取多大步長。例7若用復化求積公式計算積分的近似值，要求計算結果有

四位有效數字，n應取多大？[解]因為當0≤x≤1時有0.3<e-1≤e-x≤