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高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義數(shù)列極限1利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則I單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增加有上界數(shù)列必有極限單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限1)設(shè)求證明:先證明是遞增數(shù)列.事實(shí)上假設(shè)成立，則因此是遞增數(shù)列.

用歸納法證明于是是有界數(shù)列.

顯然成立.而成立.

設(shè)成立，則

因此，成立.

由單調(diào)有界定理收斂，設(shè)在兩邊取極限，得,解得

或但由于于是3)設(shè)求

證明:顯然首先證明.

若假設(shè)則根據(jù)歸納法可得成立.

又由即是遞增數(shù)列且有上界,由單調(diào)有界定理知收斂，

設(shè)在兩邊取極限，得

得解得或但由于因此從而

證明:注意兩個(gè)事實(shí)：1)單調(diào)遞增趨于e單調(diào)遞減趨于e。

2)4)設(shè)求證：存在。

有不等式故單調(diào)下降，且于是存在。

注記：其中是歐拉常數(shù)。

更一般的情形,設(shè)單調(diào)遞減且，求證：存在。

證明:故單調(diào)下降。而于是存在。

5)驗(yàn)證證明由于于是因此即將區(qū)間進(jìn)行n等分,則取區(qū)間的右端點(diǎn):

可用定積分來(lái)計(jì)算數(shù)列的和式極限問(wèn)題

若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并有,則7)設(shè)求解：令則故

8)求極限解：

4利用微分近似公式9)設(shè)存在,定義數(shù)列求利用此結(jié)果求極限

解于是因此若令,則若令,則

5利用Taylor公式

10)試求的值

解利用Taylor公式可得其中,于是

.其中為整數(shù),

12)設(shè)數(shù)列由給出,,求證證明:顯然是單調(diào)減少且趨于0的,而

于是于是于是

即13)求最小的和最大的使對(duì)所有正整數(shù)n都有

解:令,則可證明時(shí),,于是于是最大的而最小的14)設(shè)證明

證明:因故利用Stolz公式，

得

15)設(shè)證明證明:顯然是單調(diào)增加的,又可證明事實(shí)上若有極限,則矛盾,因此

又令,由施篤茲(stolz)定理可得.

而,于是,因此16)求極限解而18)設(shè)數(shù)列滿足請(qǐng)問(wèn)收斂嗎？若收斂，求；若發(fā)散，說(shuō)明理由.解：則單減有下界根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂，令在兩邊取極限得，于是有由于于是故，從而收斂.

而19)證明：數(shù)列收斂，并求其極限。

證明：設(shè)該數(shù)列通項(xiàng)為，則令則由拉格朗日中值定理存在介于之間，使得

由題意得令則由且由夾逼定理得即同理可得

所以，20)設(shè)證明：存在

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