第十三章靜定結構的位移計算第十三章靜定結構的位移計算1

第十三章梁和結構的位移§13–1概述§13–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分法§13–3疊加法§13–6

結構的剛度校核§13–4

圖乘法§13–5

互等定理第十三章梁和結構的位移§13–1概述§13–2

§13–1

概述工程中的彎曲變形ק13–1概述工程中的彎曲變形×3xyxyPy=y(x)梁在平面彎曲時，其軸線彎成一平面曲線，稱為梁的撓曲線。梁橫截面形心的豎向位移稱為截面的撓度，用y來表示。撓度以向下為正，向上為負。梁橫截面繞中性軸轉過的角度稱為截面的轉角，用

來表示。轉角以順時針為正，逆時針為負。梁不同截面的撓度和轉角不同，它們是截面坐標的函數，稱為梁的撓度方程和轉角方程。×xyxyPy=y(x)梁在平面彎曲時，其軸線4xyxyPy=y(x)梁變形時，橫截面始終保持平面，且始終與梁的軸線垂直，由高等數學可知：小變形下，很小，tg≌，于是得這就是梁的變形，撓度與轉角的關系。×xyxyPy=y(x)梁變形時，橫截面始終保5建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件6建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件7建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件8建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件9建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件10§13–3疊加法一、簡單梁簡單荷載下的變形ABEIlABEIlABEIlmPqק13–3疊加法一、簡單梁簡單荷載下的變形ABEIl11ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC×ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/212二、疊加法計算梁的變形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl==++×二、疊加法計算梁的變形ABl/2EIl/2PCm=PlABE13三、幾種基本變化⒈懸臂梁⑴荷載在內側，求端部位移abABPCEIyB×三、幾種基本變化⒈懸臂梁⑴荷載在內側，求端部位移abABP14⑵荷載在外側，求內側位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs=P×⑵荷載在外側，求內側位移abABPCEIyBABPCCabP15⒉外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCCBayc1P×⒉外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=16例6求圖示梁B，C截面的轉角和撓度。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+×例6求圖示梁B，C截面的轉角和撓度。ABCEIl/17ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+×ABCEIl/2l/2qABCEIqABCE18ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=ql/2 Fs=ql/2 M=ql2/8l/2×ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=q192、計算結構位移的一般公式1、

定義：應用虛功原理，通過加單位荷載求實際位移的方法。

單位載荷法×2、計算結構位移的一般公式1、定義：應用虛功原理，通過加單20經進一步推導，可得式中：E--彈性模量；G--剪切模量；A--橫截面積；

I--截面慣性矩；K--截面形狀系數。×3.荷載作用下的位移公式如果結構只有荷載作用，因支座移動引起的剛體位移Ci＝0，位移公式則為經進一步推導，可得式中：E--彈性模量；G--剪切模214.各類桿件結構在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架彎矩影響為主，位移計算公式（2）桁架桿受軸力。公式簡化為×（3）組合結構梁和桿，公式為前兩項（4）拱計軸力、彎矩影響，忽略剪切變形4.各類桿件結構在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架彎矩22×5、靜定桁架的位移計算步驟（1）設虛擬狀態；（2）計算（3）用桁架的位移計算公式計算位移。×5、靜定桁架的位移計算步驟（1）設虛擬狀態；（2）計算（323解（1）設虛擬狀態（如上圖b所示）（2）計算（3）代公式求C點的豎向位移×例13-1圖示桁架各桿的EA相等，求C結點的豎向位移解（1）設虛擬狀態（如上圖b所示）（2）計算（3）代公式24一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線（2）桿段的彎曲剛度EI為常數直梁和剛架的位移公式則為（3）圖和圖中至少有一個直線圖形

§13–4

圖乘法×一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線252．圖乘法原理×2．圖乘法原理×26圖乘法求位移的一般表達式為注意：[1]應取自直線圖中[2]若A與在桿件的同側,取正值，反之,取負值[3]如圖形較復雜，可分解為簡單圖形3.圖乘法的步驟[1]設虛擬狀態；[2]畫圖；圖；[3]圖乘求位移。×圖乘法求位移的一般表達式為注意：[1]應取自直線圖中3.27××28建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件294.圖形的分解當圖形的面積和形心不便確定時，可以將其分解成幾個簡單的圖形，分別與另一圖形相應的縱坐標相乘。梯-梯同側組合：×4.圖形的分解當圖形的面積和形心不便確定時，可以將梯-梯同30梯-梯同側組合：梯-梯異側組合×梯-梯同側組合：梯-梯異側組合×31二、圖乘法計算直梁和剛架的位移例13.4試求圖a所示外伸梁C點的豎向位移,梁的EI=常數解:MP、分別如圖BC段的MP圖是標準二次拋物線；AB段的MP圖較復雜，但可將其分解為一個三角形和一個標準二次拋物線圖形。×二、圖乘法計算直梁和剛架的位移例13.4試求圖a所示32由圖乘法得×由圖乘法得×33例13.5試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移解:荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖。在AB段,MP和圖均是三角形；在BC段，MP圖可看作是由B.C兩端的彎矩豎標所連成的三角形與相應簡支梁在均布荷載作用下的標準拋物線圖[即圖b中虛線與曲線之間包含的面積]疊加而成。×例13.5試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移解:荷載彎矩圖34圖乘再疊加×圖乘再疊加×35§13–6

梁的剛度條件一、梁的剛度條件梁要正常工作，其應力要控制在一定的范圍內，即滿足強度條件；同時梁的變形也要控制在一定的范圍內，即滿足剛度條件。土建類工程，主要要求梁的最大撓度與跨長之比要小于或等于容許值，即ק13–6梁的剛度條件一、梁的剛度條件36機械類工程，傳動軸是裝在軸承上，軸的轉角過大會損壞軸承，因此要求軸在軸承處的轉角必須小于或等于容許值，即二、提高梁的抗彎能力的主要措施⒈增大梁的抗彎剛度EI因各種鋼材的彈性模量差別不大，對于鋼梁來說，只有改善截面形狀，增大截面的慣性矩，才能提高梁的抗彎剛度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。×機械類工程，傳動軸是裝在軸承上，軸的轉角過大37⒉減小梁的跨度因梁的變形與跨度的若干次冪成正比，減小跨度可有效地降低梁的變形。如改變支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq×⒉減小梁的跨度因梁的變形與38§11–6簡單超靜定梁的解法計算梁的內力、應力、變形，首先要求出梁的支座反力。靜定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超靜定梁的支座反力數多于平衡方程數，需通過變形條件增加補充方程方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMAק11–6簡單超靜定梁的解法計算梁的39ACEIPl/2l/2FAMAFBB多余約束可以選擇，無論去掉哪個多余約束，最終結果相同。去掉多余約束支座B，將支座B的反力視為荷載，靜定梁AB在荷載P、FB作用下，B端撓度為零。×ACEIPl/2l/2FAMAFBB多余約束40BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl/4M圖⊕○－×BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl/4M41上述解超靜定梁的方法稱為變形比較法。具體解題步驟如下：⑴去掉多余約束，代之以相應的多余約束反力；⑵根據多余約束處的變形關系建立補充方程；⑶解補充方程求出多余約束反力；

⑷將多余約束反力視為主動力，將原超靜定梁視為靜定梁，然后按靜定梁求解其它問題。×上述解超靜定梁的方法稱為變形比較法。具體解題42例10解圖示超靜定梁，并畫彎矩圖。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：去掉可動支座C，代之以反力FC。ABPBCFCFCFC2aFC×例10解圖示超靜定梁，并畫彎矩圖。AB2aCaaEIPAB43ABCEIPFC=－3P/32M圖3Pa/16Pa/2⊕○－×ABCEIPFC=－3P/32M圖3Pa/16Pa/2⊕○－44例11求圖示各梁的固端彎矩。ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1′BCF2F2′解：將各梁從C處拆開，代以相應的約束反力。×例11求圖示各梁的固端彎矩。ABCDPEIEIEIa2aP45ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1′BCF2F2′×ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1′BCF2F246第十三章靜定結構的位移計算第十三章靜定結構的位移計算47

第十三章梁和結構的位移§13–1概述§13–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分法§13–3疊加法§13–6

結構的剛度校核§13–4

圖乘法§13–5

互等定理第十三章梁和結構的位移§13–1概述§13–48

§13–1

概述工程中的彎曲變形ק13–1概述工程中的彎曲變形×49xyxyPy=y(x)梁在平面彎曲時，其軸線彎成一平面曲線，稱為梁的撓曲線。梁橫截面形心的豎向位移稱為截面的撓度，用y來表示。撓度以向下為正，向上為負。梁橫截面繞中性軸轉過的角度稱為截面的轉角，用

來表示。轉角以順時針為正，逆時針為負。梁不同截面的撓度和轉角不同，它們是截面坐標的函數，稱為梁的撓度方程和轉角方程。×xyxyPy=y(x)梁在平面彎曲時，其軸線50xyxyPy=y(x)梁變形時，橫截面始終保持平面，且始終與梁的軸線垂直，由高等數學可知：小變形下，很小，tg≌，于是得這就是梁的變形，撓度與轉角的關系。×xyxyPy=y(x)梁變形時，橫截面始終保51建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件52建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件53建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件54建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件55建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件56§13–3疊加法一、簡單梁簡單荷載下的變形ABEIlABEIlABEIlmPqק13–3疊加法一、簡單梁簡單荷載下的變形ABEIl57ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC×ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/258二、疊加法計算梁的變形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl==++×二、疊加法計算梁的變形ABl/2EIl/2PCm=PlABE59三、幾種基本變化⒈懸臂梁⑴荷載在內側，求端部位移abABPCEIyB×三、幾種基本變化⒈懸臂梁⑴荷載在內側，求端部位移abABP60⑵荷載在外側，求內側位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs=P×⑵荷載在外側，求內側位移abABPCEIyBABPCCabP61⒉外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCCBayc1P×⒉外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=62例6求圖示梁B，C截面的轉角和撓度。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+×例6求圖示梁B，C截面的轉角和撓度。ABCEIl/63ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+×ABCEIl/2l/2qABCEIqABCE64ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=ql/2 Fs=ql/2 M=ql2/8l/2×ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=q652、計算結構位移的一般公式1、

定義：應用虛功原理，通過加單位荷載求實際位移的方法。

單位載荷法×2、計算結構位移的一般公式1、定義：應用虛功原理，通過加單66經進一步推導，可得式中：E--彈性模量；G--剪切模量；A--橫截面積；

I--截面慣性矩；K--截面形狀系數。×3.荷載作用下的位移公式如果結構只有荷載作用，因支座移動引起的剛體位移Ci＝0，位移公式則為經進一步推導，可得式中：E--彈性模量；G--剪切模674.各類桿件結構在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架彎矩影響為主，位移計算公式（2）桁架桿受軸力。公式簡化為×（3）組合結構梁和桿，公式為前兩項（4）拱計軸力、彎矩影響，忽略剪切變形4.各類桿件結構在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架彎矩68×5、靜定桁架的位移計算步驟（1）設虛擬狀態；（2）計算（3）用桁架的位移計算公式計算位移。×5、靜定桁架的位移計算步驟（1）設虛擬狀態；（2）計算（369解（1）設虛擬狀態（如上圖b所示）（2）計算（3）代公式求C點的豎向位移×例13-1圖示桁架各桿的EA相等，求C結點的豎向位移解（1）設虛擬狀態（如上圖b所示）（2）計算（3）代公式70一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線（2）桿段的彎曲剛度EI為常數直梁和剛架的位移公式則為（3）圖和圖中至少有一個直線圖形

§13–4

圖乘法×一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線712．圖乘法原理×2．圖乘法原理×72圖乘法求位移的一般表達式為注意：[1]應取自直線圖中[2]若A與在桿件的同側,取正值，反之,取負值[3]如圖形較復雜，可分解為簡單圖形3.圖乘法的步驟[1]設虛擬狀態；[2]畫圖；圖；[3]圖乘求位移。×圖乘法求位移的一般表達式為注意：[1]應取自直線圖中3.73××74建筑力學第十三章靜定結構的位移計算課件754.圖形的分解當圖形的面積和形心不便確定時，可以將其分解成幾個簡單的圖形，分別與另一圖形相應的縱坐標相乘。梯-梯同側組合：×4.圖形的分解當圖形的面積和形心不便確定時，可以將梯-梯同76梯-梯同側組合：梯-梯異側組合×梯-梯同側組合：梯-梯異側組合×77二、圖乘法計算直梁和剛架的位移例13.4試求圖a所示外伸梁C點的豎向位移,梁的EI=常數解:MP、分別如圖BC段的MP圖是標準二次拋物線；AB段的MP圖較復雜，但可將其分解為一個三角形和一個標準二次拋物線圖形。×二、圖乘法計算直梁和剛架的位移例13.4試求圖a所示78由圖乘法得×由圖乘法得×79例13.5試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移解:荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖。在AB段,MP和圖均是三角形；在BC段，MP圖可看作是由B.C兩端的彎矩豎標所連成的三角形與相應簡支梁在均布荷載作用下的標準拋物線圖[即圖b中虛線與曲線之間包含的面積]疊加而成。×例13.5試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移解:荷載彎矩圖80圖乘再疊加×圖乘再疊加×81§13–6

梁的剛度條件一、梁的剛度條件梁要正常工作，其應力要控制在一定的范圍內，即滿足強度條件；同時梁的變形也要控制在一定的范圍內，即滿足剛度條件。土建類工程，主要要求梁的最大撓度與跨長之比要小于或等于容許值，即ק13–6梁的剛度條件一、梁的剛度條件82機械類工程，傳動軸是裝在軸承上，軸的轉角過大會損壞軸承，因此要求軸在軸承處的轉角必須小于或等于容許值，即二、提高梁的抗彎能力的主要措施⒈增大梁的抗彎剛度EI因各種鋼材的彈性模量差別不大，對于鋼梁來說，只有改善截面形狀，增大截面的慣性矩，才能提高梁的抗彎剛度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。×機械類工程，傳動軸是裝在軸承上，軸的轉角過大83⒉減小梁的跨度因梁的變形與跨度的若干次冪成正比，減小跨度可有效地降低梁的變形。如改變支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq×⒉減小梁的跨度因梁的變形與84§11–6簡單超靜定梁的解法計算梁的內力、應力、變形，首先要求出梁的支座反力。靜定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超靜定梁的支座反力數多于平衡方程數，需通過變形條件增加補充方程方可求解。AB