（新高考）此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數學（十五）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選B．2．已知復數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數單位），則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選D．3．“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0”相切的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則兩圓圓心距SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩圓相外切，充分性成立；當兩圓相外切時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當兩圓相內切時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；可知若兩圓相切，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，必要性不成立，SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0”相切的充分不必要條件，故選A．4．現有以下結論：①函數SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；④函數SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．其中，正確的有（）個．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】對于①，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，①錯誤；對于②，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，說明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，顯然成立，②正確；對于③，SKIPIF1<0，當且僅SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0，顯然這樣的SKIPIF1<0不存在，所以結論不正確，③錯誤；對于④，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以結論不正確，④錯誤，故選B．5．若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調減函數，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意得，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調減函數，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數a的取值范圍是SKIPIF1<0，故選A．6．已知正項等比數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0是等比數列，公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選C．7．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（1）同理SKIPIF1<0，（2）解（1）（2）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選C．8．已知點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是拋物線的焦點，點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動點，我們可以通過找對稱點的方法求解兩條線段之和的最小值，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意，知拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的準線，點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動點，設SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，作圖如下，利用對稱性質知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0位置時，SKIPIF1<0的值最小，等于SKIPIF1<0，利用兩點之間距離知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可使得SKIPIF1<0有兩個不同取值的SKIPIF1<0的長度是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BC【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，使得SKIPIF1<0有兩個不同取值，故選BC．10．將函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度后，所得圖象對應的函數為SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（）A．函數SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱 B．函數SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0對稱C．函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減 D．函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有4個極值點【答案】AD【解析】由題意得SKIPIF1<0，對于A：令SKIPIF1<0，解得對稱軸方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得一條對稱軸方程為SKIPIF1<0，故A正確；對于B：令SKIPIF1<0，解得對稱中心為SKIPIF1<0，無論k取任何整數，SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在此范圍內單調遞增，故C錯誤；對于D：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0取得極值，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有4個極值點，故D正確，故選AD．11．骰子通常作為桌上游戲的小道具．最常見的骰子是六面骰，它是一個質地均勻的正方體，六個面上分別寫有數字SKIPIF1<0．現有一款闖關游戲，共有SKIPIF1<0關，規則如下：在第SKIPIF1<0關要拋擲六面骰SKIPIF1<0次，每次觀察向上面的點數并做記錄，如果這SKIPIF1<0次拋擲所出現的點數之和大于SKIPIF1<0，則算闖過第SKIPIF1<0關，SKIPIF1<0，假定每次闖關互不影響，則（）A．直接挑戰第SKIPIF1<0關并過關的概率為SKIPIF1<0B．連續挑戰前兩關并過關的概率為SKIPIF1<0C．若直接挑戰第SKIPIF1<0關，設SKIPIF1<0“三個點數之和等于SKIPIF1<0”，SKIPIF1<0“至少出現一個SKIPIF1<0點”，則SKIPIF1<0D．若直接挑戰第SKIPIF1<0關，則過關的概率是SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】對于A項，SKIPIF1<0，所以兩次點數之和應大于SKIPIF1<0，即直接挑戰第SKIPIF1<0關并過關的概率為SKIPIF1<0，故A正確；對于B項，SKIPIF1<0，所以挑戰第一關通過的概率SKIPIF1<0，則連續挑戰前兩關并過關的概率為SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C項，由題意可知，拋擲3次的基本事件有SKIPIF1<0，拋擲3次至少出現一個SKIPIF1<0點的共有SKIPIF1<0種，故SKIPIF1<0，而事件AB包括：含5，5，5的1種，含4，5，6的有6種，共7種，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；對于D項，當n=4時，SKIPIF1<0，基本事件有SKIPIF1<0個，而“4次點數之和大于20”包含以下35種情況：含5，5，5，6的有4種，含5，5，6，6的有6種，含6，6，6，6的有1種，含4，6，6，6的有4種，含5，6，6，6的有4種，含4，5，6，6的有12種，含3，6，6，6的有4種，所以SKIPIF1<0，故D正確，故選ACD．12．關于函數SKIPIF1<0，下列判斷正確的是（）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點B．函數SKIPIF1<0有且只有1個零點C．存在正實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立D．對任意兩個正實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】BD【解析】對于A，函數的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，函數單調遞減；SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，函數單調遞增，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點，即A錯誤；對于B，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，函數在SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴函數SKIPIF1<0有且只有1個零點，即B正確；對于C，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0上，函數SKIPIF1<0單調遞增，SKIPIF1<0上函數SKIPIF1<0單調遞減，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上函數單調遞減，函數無最小值，∴不存在正實數k，使得SKIPIF1<0恒成立，即C不正確；對于D，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0顯然成立，∴對任意兩個正實數x1，x2，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故D正確，故選BD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．三名教師和五名學生排成一排，要求每兩名教師之間至少隔著兩名學生，則共有________種．【答案】2880【解析】根據題意，分2步進行：第1步：將3名教師排成一排，中間有2個空位，有SKIPIF1<0種順序；第2步：對于5名學生又分2種情況：第一情況將5名學生分成兩組，一組有2人，另一組有3人，分別安排到3名教師的2個空位中，有SKIPIF1<0種安排方法；第二情況將5名學生分成三組，有兩組分別有2個學生，有一組有1個學生，將每組有2個人的安排到3名教師之間的2個空位中，剩下1人安排在兩端，有SKIPIF1<0種安排方法，所以5名學生有SKIPIF1<0種安排方法，根據分步乘法原理共有SKIPIF1<0種安排方法，故答案為2880．14．若圓SKIPIF1<0截直線SKIPIF1<0所得的最短弦長為SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】易知圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，所得弦最短，此時弦長為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．15．已知函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】1010【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為1010．16．已知函數SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的零點的個數為_______個；若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且僅有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍為________．【答案】1，SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0為增函數；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0為減函數，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取極大值，SKIPIF1<0時取到極小值，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，且為函數SKIPIF1<0的唯一零點；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且僅有兩個不同的零點，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，只需要SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0有且僅有SKIPIF1<0個交點，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為1，SKIPIF1<0．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上并作答．問題：在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知_________．（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】條件選擇見解析；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）選擇①由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．選擇②由余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由正弦定理得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求周長為SKIPIF1<0．18．（12分）如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，則點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值為SKIPIF1<0．19．（12分）已知等差數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0成等差數列，且SKIPIF1<0成等比數列．（1）求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）在任意相鄰兩項SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個2，使它們和原數列的項構成一個新的數列SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，求滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）83．【解析】（1）設等差數列SKIPIF1<0的公差為d，由題知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）在任意相鄰兩項SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個2，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的2的總和為SKIPIF1<0，又由（1）易知等差數列是單增數列，故數列SKIPIF1<0的前n項和是單增的，則求滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值即找到使SKIPIF1<0接近500的n值即可．當SKIPIF1<0恰取到SKIPIF1<0后的第SKIPIF1<0個項時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，去掉50個2即可得到SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值，即SKIPIF1<0．20．（12分）核酸檢測也就是病毒DNA和RNA的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋病的病毒檢測．通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染．某研究機構為了提高檢測效率降低檢測成本，設計了如下試驗，預備12份試驗用血液標本，其中2份陽性，10份陰性，從標本中隨機取出SKIPIF1<0份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結果為陽性，需對該組標本逐一檢測．以此類推，直到確定所有樣本的結果．若每次檢測費用為SKIPIF1<0元，記檢測的總費用為SKIPIF1<0元．（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的分布列和數學期望；（2）（ⅰ）比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種方案哪一個更好，說明理由；（ⅱ）試猜想100份標本中有2份陽性，98份陰性時，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種方案哪一個更好（只需給出結論不必證明）．【答案】（1）分布列見解析；SKIPIF1<0；（2）(ⅰ)SKIPIF1<0的方案更好一些；(ⅱ)SKIPIF1<0的方案更好一些．【解析】（1）當n=3時，共分4組，當2份陽性在一組，第一輪檢測4次，第二輪檢測3次，共檢測7次，若2份陽性各在一組，第一輪檢測4次，第二輪檢測6次，共檢測10次，檢測的總費用SKIPIF1<0的所有可能值為7a，10a，任意檢測有SKIPIF1<0種等可能結果，2份陽性在一組有SKIPIF1<0種等可能結果，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以檢測的總費用SKIPIF1<0的分布列為：X7a10aPSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的數學期望SKIPIF1<0．（2）(ⅰ)當n=4時，共分3組，當2份陽性在一組，共檢測7次，若2份陽性各在一組，共檢測11次，檢測的總費用SKIPIF1<0的所有可能值為7a，11a，任意檢測有SKIPIF1<0種等可能結果，2份陽性在一組有SKIPIF1<0種等可能結果，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以檢測的總費用SKIPIF1<0的分布列為：Y7a11aPSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的數學期望SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方案更好一些．(ⅱ)SKIPIF1<0時檢測總次數比n=4時的少，SKIPIF1<0時檢測總次數比SKIPIF1<0時的少，猜想SKIPIF1<0的方案更好一些．21．（12分）橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），離心率為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0．（1）求橢圓方程；（2）過SKI