現(xiàn)代制造實(shí)驗(yàn)第三章2二、一元線性回歸解決的問題例如：在某表盤表面腐蝕刻線，試驗(yàn)中，腐蝕時間（x）與腐蝕深度（y）的關(guān)系如下表。序號1234567891011腐蝕時間（x）(S)551020304050606590120腐蝕速度（y）μm46813161719252529463從表中得出：腐蝕深度隨時間增加而加深，不是函數(shù)關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系，作圖如下：102030120405070608090100110102050604030序號1234567891011腐蝕時間（x）(S)551020304050606590120腐蝕速度（y）μm46813161719252529464102030120405070608090100110102050604030要解決的問題：1）求變量x和y之間的回歸直線方程（經(jīng)驗(yàn)公式）

2）判斷變量x,y之間是否為線性相關(guān)關(guān)系;3)如何應(yīng)用根據(jù)一個變量的值，預(yù)測和控制另一變量的取值。如已知少年的年齡，預(yù)測身高控制：已知y，求x5二、回歸直線方程的確定102030120405070608090100110102050604030最小二乘法：如果某直線與全部觀察點(diǎn)數(shù)據(jù)yi(i=1,2,3)的離差和，比任何其它直線與全部觀測數(shù)據(jù)的離差平方和都小。直線有無窮多610203012040507060809010011010205060403071020301204050706080901001101020506040308對Q求導(dǎo)，求最小值求出a、b分別為9腐蝕時間（x）(S)551020304050606590120腐蝕速度（y）μm468131617192525294610腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）4681316171925252946102030120405070608090100110102050604030111、就回歸方法而言，即使對于一組本身沒有線性關(guān)系（如圓，雙曲)線數(shù)據(jù)也能求出一條回歸直線。只是沒有實(shí)際意義。

2、必須對所得到的方程進(jìn)行判斷確定該回歸方程有沒有實(shí)際意義.是否與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符。即用一定的方法判斷所關(guān)聯(lián)的兩個變量之間的相關(guān)程度究竟有多大。三、回歸方程判別兩種方法：顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)判別121、顯著性檢驗(yàn)判斷變量x,y之間是否為線性相關(guān)關(guān)系,即用線性方程描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差是否過大。腐蝕時間（x）(S)551020304050606590120腐蝕速度（y）μm468131617192525294613102030120405070608090100110102050604030y14整個數(shù)據(jù)圍繞總平均值上下波動（兩部分組成：誤差＋自變量導(dǎo)致因變量變化）102030120405070608090100110102050604030y應(yīng)將整個試驗(yàn)點(diǎn)全部考察：15推導(dǎo)略展開，有：102030120405070608090100110102050604030y1617對于本例腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）46813161719252529461819102030120405070608090100110102050604030腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）4681316171925252946202相關(guān)系數(shù)判別法腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）468131617192525294621腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）468131617192525294622

1)r的大小表示兩個變量之問的線性相關(guān)程度2）當(dāng)r=0，表示兩個變量之間沒有線性關(guān)系，稱為線性無關(guān)，3）當(dāng)r=1，b1×b2=1即所有的觀測點(diǎn)都落在回歸線上，存在著完全線性相關(guān)的關(guān)系，4）0<r<1，時，兩個變量之問存在著一定的線性相關(guān)，其中。r的絕對值越大，表示線性相關(guān)的程度越緊密。2324腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）4681316171925252946252627102030120405070608090100110102050604030腐蝕時間（x）551020304050606590120腐蝕速度（y）46813161719252529461、預(yù)測對于任意給定的觀測點(diǎn)x0,推斷觀察值y0落在什么地方。四、預(yù)測與控制28根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)觀測值落在:1020304050706080901020506040302Sy2Sy291020304050706080901020506040302Sy2Sy3010203040507060809010205060403031102030405070608090102050604030X1X22、控制32102030405070608090102050604030X1X233腐蝕時間（x）(S)551020304050606590120腐蝕速度（y）μm4681316171925252946例如：在某表盤表面腐蝕刻線，試驗(yàn)中，腐蝕時間（x）與腐蝕深度（y）的關(guān)系如下表。34六、化非線性為線性35P2.011.781.751.731.68M0.7630.7150.7100.6950.698P1.821.401.360.930.53M0.6730.6300.6120.4980.37136X=lgP0.030.250.2430.2380.225Y=lgM-0.117-0.146-0.149-0.158-0.156X=lgP0.2100.1460.134-0.032-0.276Y=lgM-0.172-0.201-0.213-0.303-0.4313738例：盛鋼水的鋼包，在使用中由于鋼液及爐渣對包襯耐火材料的侵蝕，使其容積不斷擴(kuò)大，在生產(chǎn)中，積累了鋼包的容積與使用輸出次數(shù)的十三組數(shù)據(jù),見下表序號使用次數(shù)x容積y序號使用次數(shù)x容積y123456723457810106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.498910111213111415161819110.59110.60110.90110.76111.00111.20392468101412161810610711011110910820從圖中可以看出可能為雙曲線關(guān)系：40對試驗(yàn)數(shù)據(jù)作倒數(shù)變換，利用線性回歸系數(shù)計(jì)算公式得：序號使用次數(shù)x容積y序號使用次數(shù)x容積y123456723457810106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.498910111213111415161819110.59110.60110.90110.76111.00111.2041序號使用次數(shù)x容積y序號使用次數(shù)x容積y123456723457810106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.498910111213111415161819110.59110.60110.90110.76111.00111.2042一、多元線性回歸多元線性回歸是研究變量y與多個變量x1、x2、…..xp之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。設(shè)一個指標(biāo)跟p個因素有關(guān)，做N次實(shí)驗(yàn)，求指標(biāo)和P個因素水平的相關(guān)關(guān)系式。第α次試驗(yàn)數(shù)據(jù)是：共N次試驗(yàn)數(shù)據(jù)滿足下式可用下面形式的方程表示一、多元線性回歸多元線性回歸是研究變量y與多個變量x1、x2、…..xp之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。設(shè)一個指標(biāo)跟p個因素有關(guān)，做N次實(shí)驗(yàn)，求指標(biāo)和P個因素水平的相關(guān)關(guān)系式。第α次試驗(yàn)數(shù)據(jù)是：共N次試驗(yàn)數(shù)據(jù)滿足下式可用下面形式的方程表示45指標(biāo)因素1因素2因素p1y1x11X12x1p2y2x21x22x2pαyαxα1xα2xαpNynxn1xn2xnp實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)安排

多元線性回歸是研究變量y與多個變量x1、x2、…..xp之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。做N次試驗(yàn)，N>p，有做N次試驗(yàn)，N>p，有

計(jì)算回歸系數(shù)及建立多元線性回歸方程步驟：設(shè)試驗(yàn)求變量y與多個變量x1、x2、…..xp之間的相關(guān)關(guān)系，做N次試驗(yàn)（N>p）。要解決的問題：如何安排試驗(yàn)：矩陣A計(jì)算繁瑣，如A的行列式為0，導(dǎo)致計(jì)算不能進(jìn)行原因：

回歸方程顯著并不意味著每個白變量對變量y的影響都重要，從回歸方程中剔除那些次要的可有可無的變量，重新建立起更為簡單的回歸方程，這就需要對每一個變量進(jìn)行考查，如果某變量對y的作用不顯著，那么在多元線性回歸模型中它前面的系數(shù)就可取值為零。重新建立不包含該因子的多元回歸方程。篩選出有顯著影響的因子作為自變量，并建立“最優(yōu)”回歸方程。研究任意一個變量xp方法：用余下的p-1變量對于做回歸平方和，稱為回歸平方和個因素，這個因素是所有不顯著因素小廠值為最小的，然后更新建立回歸方程，樹對新的回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，直到余下的回歸系數(shù)都顯著為止。解決這個問題的根本設(shè)想是：在安排試驗(yàn)時就選擇這樣一些點(diǎn)做試驗(yàn)，使得回歸系數(shù)之間不存在相關(guān)，即相關(guān)矩陣c為0矩陣，這時從回歸方程小剔除任一個變量都不需要引起什么新的計(jì)算，(1)確定因素變化范圍二、回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)一次回歸正交試驗(yàn)是選用二水平的正交安排試驗(yàn)?zāi)康模菏咕仃嘇成為對角矩陣，則逆存在，且計(jì)算簡單，精度高(避免病態(tài)矩陣)。

在研究p個因素z1,z2,…..zp,用z1j、z2j分別表示每個因素的上下限。Z1j為下水平，Z2j為下水平Z0j為零水平(2)編碼(線性變換)(3)選擇二水平正交表

序號試驗(yàn)號1231234112212121221將1、2改為＋1、－1

序號試驗(yàn)號1231234(1)1(1)1(2)-1(2)-1(1)1(2)-1(1)1(2)-1(1)1(2)-1(2)-1(1)1（4）組織試驗(yàn)例：車床上某種材料的車刀，其耐用度T與切削速度v（m/min）、走刀量s（mm/r）、切削速度t(mm)三個因素之間存在一定關(guān)系，據(jù)推導(dǎo)，它們之間由如下關(guān)系：求多因素經(jīng)驗(yàn)公式解：兩邊取對數(shù)，則：(1)確定水平區(qū)間

序號因素vst上水平1200.060.3下水平800.020.1零水平確定零水平(2)對各因素的水平編碼切削速度v（m/min）x1走刀量s（mm/r）切削速度t(mm)

序號因素vst切削速度上水平1200.060.3下水平800.020.1零水平1000.040.2將計(jì)算結(jié)果添入下表：(2)對各因素的水平編碼計(jì)算切削速度t(毫米)x1編碼將切削速度值帶入下式走刀量s（毫米/轉(zhuǎn)）x2切削深度tx3

序號因素vst上水平1（120）1（0.06）1（0.3）下水平-1（80）-1（0.02）-1（0.1）零水平0（100）0（0.04）0（0.2）試驗(yàn)水平變?yōu)橄卤恚海?）確定二水平正交表精度低，試驗(yàn)次數(shù)少，可選取L4（23）正交表選用L8（27）12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112列號試驗(yàn)L8（27）正交表（將1、2改為＋1、－1）1234567123456781111-1-1-1-111-1-111-1-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-11-1-11-111-1-111-1-111-1-11-111-1列號試驗(yàn)L8（27）正交表（將1、2改為＋1、－1）任取三列，如1、2、4列安排因素列號試驗(yàn)L8（27）正交表（去掉5、6、7列）每個因素占一列，常數(shù)項(xiàng)占一列，共四列。其中常數(shù)項(xiàng)列均為1123412345678111111111-11-11-11-111-1-111-1-11111-1-1-1-1結(jié)合下表安排試驗(yàn)

序號因素vst上水平1（120）1（0.06）1（0.3）下水平-1（80）