數歸法(25分鐘50分一、選擇題每題5分，共20分1．對于不等式n＋n≤n＋1(n，某學生的證明過程如下：(1)當n時1≤1＋1，不等式成立．(2)假設n＝k(k)時，不等式成立，即

k＋k<k＋1，則n＝k＋1時（k＋1）＋＋1）＝k＋3k＋2<（k＋3k＋2＋）＝＋2）＝(k＋1)，所以當＝k時不等式成立上述證(A．過程全都正確B．n＝1驗不正確C．歸納假設不正確D．從＝k到n＝k＋1的推理不確【解析D.n＝1的證及歸假設都正確從＝k到＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數學歸納法的證題要求．12．用數學歸納法證明等式1＋a＋a＋…＋a＝1－a

(a≠1，n∈N

)

，在驗證n成時，左邊需計算的項()A．1

B＋aC．1＋a＋aD＋a＋a＋a【解析選A當n＝1時，等式邊＝1.3．凸邊有f(n)條角線，凸n＋1邊形角線的條數f(n為)A．f(n)＋n＋1B．f(n)C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2【解析選C.增加一個頂點，就加n＋1－3條對線，另外原來的一邊也變成了對角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)－1.11114．設＝＋＋，S為kkk＋32k1A＋2k＋2

11B．S＋＋2k＋12k＋21

11C＋－2k＋12k

11D．S＋－2k＋22k＋1111【解析選C.因式子右邊各分數分母是連續正整數，則由S＝＋＋…＋，k＋1k＋22k①11111得S＝＋＋＋.②k＋2k＋32k2k＋12（k＋1111由②－①，S－S＝＋－2k＋12（k＋1）k＋1＝

11－.故＝S＋－.2k＋12＋1）2k＋12（k＋1二、填空題每題5分，共10分n（2n＋15學歸納法證明1＋2＋＋(n－1)＋n＋(n＋…＋2＋1＝(n∈N)3時，由＝k的假設到證明n＝k時，等式左邊應增加的式子_．【解析根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，由于＝k，左邊＋2＋…＋(k－1)＋k＋(k－1)＋…＋2＋1，n＝k＋1時左邊＝1＋2＋…－1)＋k＋(k＋1)＋k＋(k＋…＋2＋1，較兩式，可知等式左邊應增加的式子(k.答案：＋1)＋k2x6．設f(x)＝，x＝1＝f(x)(n≥2，n).x＋2則x＝________；數列x}的通項公式________，212×2×23122【解析】(1)x＝f(x)＝＝f(x)＝＝＝，x＝f(x)＝＝.322415＋2＋2322(2)根據計算結果，可以歸納出x.n＋12證明：①當n時，x＝＝1與已知相符，歸納出的公式成立．1＋1②假設當n＝k(k∈N)時，公式立，即x

2k＋1

，22×2xk＋142那么，＝＝＝＝，x＋222k＋4（k＋1＋1＋2k＋1所以當n＝k＋1時，公式也成立由①②知，當n∈N時x＝

2n

.2

22答案：x＝3n＋1三、解答題每題10分共20分)n11117．用數學歸納法證明1＋≤1＋＋…＋≤＋n(n∈N).2232211【證明】當n＝1時，左式＝1＋，式＝＋122313所以≤1＋≤，題成立222(2)假設當n＝k(k∈N)時，命題立，k1111即1＋≤1＋＋＋＋≤＋k223221111111則當n＝k＋1時1＋＋＋＋＋＋＋…＋>1＋＋2·＝12322＋12＋22＋22k＋.2111111111又1＋＋＋＋＋＋＋…＋<＋k＋2·＝＋1)2322＋12＋22＋2222即當n＝k＋1時命題成立．由1)和(2)可知，命題對所有的n∈N都立．8．在數{}，{b}中a＝2＝4且，a

成等差數列b，a

成等比數列n∈N)求a及b，由此猜測數{a}，{b的通項公式證你的結論．【解析】由題意得＝a＋a，a

＝bb，由此可得＝6＝9，a＝12，b＝16＝20，b＝25.猜測＝n(n＝(n，n∈N.用數學歸納法證明如下：①當n時由a＝2，b＝4可得結論成立．②假設當n＝k(k≥2且k∈N)時結論成立，即a＝k(k＋1)，b＝(k＋1)，么當n＝k＋1，a

＝2(k－k(k＋1)(k＋2)＋1)[(k

＝

a

b

＝（k＋1）（k＋2）（k）

＝(k＋2)＝[(k＋1)＋1].所以n＝k＋1時，結論也成立．由①②可知a＝n(n＋1)，b＝(n

一切∈N都成立．【拓展提升】應用數學歸納法證題時應注意(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩，有些問題中驗證的初始值不一定為1.3

(2)遞推是關鍵分由n＝k到＝k＋1式子項數的變化是應用數學歸納法成功證明問題的保障．(3)利用假設是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設，這是數學歸納法證明的核心環節，否則這樣的證明就不是數學歸納法證明．(30分鐘60分一、選擇題每題5分，共20分1用學歸納法證明“凸n(n≥3)邊形的角和公式”時＝k＝k＋1內和增加了)π3πA．B．πC．22

D．2π【解析選B.如圖，由n＝k到＝k時凸n邊形內角和增加的是∠＋＋＝π.2．用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)·…·(n＝2·1·3·…·(2n，n到＝k＋1，邊需要增乘的代數式()2k＋12k＋3A．2kB．2(2k＋1)C．kk【解析選B.當n＝k時等式左邊(＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，而當n＝k＋1時等式左邊為k＋1＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋2)·(k＋3)·＋2)前邊少了一項(k＋1)，后邊多了兩項(k＋＋1)(k＋2)，故增乘的代數式為（k＋k＋1）（k＋k＋2）k＋1

＝2(2k＋1).3．當n＝1，3，4，5，6時比較2和n

的大小并猜想得到的結論(A≥1時，>nB．n≥3時，2>nC≥4時，>nD．n≥5時，2>n【解析選當n＝1時>1即2>n當n＝22＝2即2＝n當n時<3，即2<n；n＝4時，2＝4，＝n；n＝5時2>5，即>n；n＝6時2>6，即2>n；猜想當n≥5時，2>n；下面我們用數學歸納法證明猜想成立，4

(((1)當n＝5時，由以上可知猜想立，(2)設n＝k(k時，命題成立，即2>k，當n＝k＋1時，

＝2·2>2k＝k＋k>k＋(2k＋1)＝(k＋1)，即＝k＋1時，命題成立，由1)和(2)可得n時，>n；故當＝24時2＝n；n時2<n；n＝1及n取大于4的整數時，都有2>n.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3＋9存在自然數，使得對任意n∈N，能使整f(n)，則最大的的為)A．30BC．6【解析選C.因為f(1)＝36＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能36整除，猜想f(n)能36整除證明當n＝1時由上得證設n＝k(k≥2)時＝(2k能36整，則當n＝k＋1時f(k－f(k)＋9)·3

＋1

＋7)·3＝(6k＋27)·3k＋7)·3＝(4k＋20)·3＝36(k＋5)·3(k≥2)f(k＋1)被36整．因為f(1)不能被大于的數除，所以所求的最大的的值等于36.二、填空題每題5分，共20分5．用數學歸納法證明“當n為正數時x＋y被＋y整”，當第二步假設n－1(k∈N)命題為真時，進而需證n＝__________，命題為.【解析】因為n為正數，所以奇數2k－1之后的奇數是2k＋1.答案：＋16．觀察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……按照以上式子的規律：則第5個式________，猜想第nn∈N個式_______；【解析】第5個等式為5＋6＋7＋9＋11＋12＋13.第n個式為n＋(n＋1)＋(n＋…＋(3n－2)＝(2n，n.證明：①當n時等式左邊1，等式右邊(2＝1所以等式成立．②假設n＝k時，題成立，即k＋(k＋(k＋…＋(3k＝(2k－1)，5

{{}則當n時，＋1)＋[(k＋1]＋[(k＋1)＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋1)＋2)…＋(3k＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)＋8k－4k＋1＋8k＋1)＝[2(k－1]即時式成立．根據①②，可知對任意n∈N答案：＋10＋11＋12＋13＝9n＋(n＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)，n

等式都成立．7．在用數學歸納法證明“＋5

(n∈N)能被14整除”的過程中，當n＝k時，式子3

＋5

應變形為________.答案：＋5

)3＋5

(5－3)8．用數學歸納法證明“＋5n能6整”的過程中，當n＝k＋1時式(＋1)＋5(k＋1)變形為_________.【解析采取湊配法湊出歸納設k＋5k來(k＋1)＋5(k＋1)＝k＋3k＋3k＝(k＋1)答案：＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答題每題10分共20分)9．求證：

＋(a＋1)

能被a＋a＋1整，∈N.【證明】當n＝1時，＋(a＋1)＝a＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設當n＝k(k∈N，k≥1)時a

＋(a＋1)

能被a＋a＋1整除，則當n＝k＋1時a

＋(a＋1)＝a·a＋(a·(a＋1)

－1

]＋(a＋1)(a＋1)＝a[a

＋1

]＋(a＋1)(a＋1).由歸納假設，上式中的兩項均能被a＋1除，故時題成立．由1)(2)知，對任意n∈N，命題成立．10．列a

滿足S＝2n－a(n∈N*).(1)計算a，a，a，a，由此猜想通項公式a；(2)用數學歸納法證明(中猜．6

2(