1、第三章 復(fù)變函數(shù)積分教學(xué)目的與要求了解：復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)，會(huì)求復(fù)變函數(shù)的積分；理解： 復(fù)變函數(shù)積分的定義； 柯西積分定理。掌握：柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式；教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：柯西積分定理、柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式。 教學(xué)難點(diǎn)：柯西積分定理、柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式。課外思考題2,3,5(2),6(1),7(3)(5),9,10內(nèi)容提要有向曲線復(fù)積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)柯西積分定理原函數(shù)的定義復(fù)合閉路 定 理柯西積分公 式高階導(dǎo)數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)一、有向曲線(1)若曲線C是開(kāi)口弧段，若規(guī)定它的端點(diǎn)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，則沿曲線C從A到B的方向?yàn)榍€C的正方向(簡(jiǎn)稱(chēng)正

2、向)，把正向曲線記為C或C+。而由B到A的方向稱(chēng)為的負(fù)方向(簡(jiǎn)稱(chēng)負(fù)向)，負(fù)向曲線記為C- 。在討論復(fù)變函數(shù)積分時(shí)，將要用到有向曲線的概念，若一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點(diǎn)和終點(diǎn)，則稱(chēng)該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)積分的概念(2)若C是簡(jiǎn)單閉曲線，通常總規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)方向。(3)若C是復(fù)平面上某一個(gè)復(fù)連通域的邊界曲線，則C的正方向這樣規(guī)定：當(dāng)人沿曲線C行走時(shí)，區(qū)域總保持在人的左側(cè)，因此外部邊界部分取逆時(shí)針?lè)较颍鴥?nèi)部邊界曲線取順時(shí)針為正方向。設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成

3、n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為二、復(fù)變函數(shù)積分的定義在每個(gè)弧段上任意取一點(diǎn)(1)若C是封閉曲線，則沿此閉曲線的積分，記為關(guān)于定義的說(shuō)明:(2)若C是x軸上的區(qū)間axb，而f(z)=u(x)，這個(gè)積分定義就是一元實(shí)變函數(shù)定積分的定義。三、積分存在條件及其計(jì)算定理一（積分存在定理）若在光滑曲線C上連續(xù)，則 存在，且 若C不光滑，C1,C2光滑，C1,C2相接為C，即C=C1+C2分段光滑，規(guī)定定理表明, 當(dāng)f(z)即u(x,y),v(x,y)在光滑曲線C上連續(xù),不但存在，還可通過(guò)兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)的曲線積分來(lái)計(jì)算。 為便于記憶公式，可把 f(z)dz 理解為 (u+iv)(dx+idy) , 則 復(fù)積分 的計(jì)算化

4、為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的曲線積分.上式說(shuō)明了兩個(gè)問(wèn)題：(1)當(dāng)f(z) 是連續(xù)函數(shù)，且C是光滑曲線時(shí)，積分 一定存在；(2) 可通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算。若光滑曲線C的方程為t=對(duì)應(yīng)曲線 C 的起點(diǎn)，t=對(duì)應(yīng)曲線 C 的終點(diǎn)。記則因此可用來(lái)計(jì)算復(fù)變函數(shù)。一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分 把復(fù)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的曲線積分。當(dāng)曲線積分的積分路徑C由參數(shù)方程給出時(shí)，復(fù)積分又可以轉(zhuǎn)化為單變量的定積分。 注意：在今后的積分中，總假定被積函數(shù)是連續(xù)的， 曲線 C 是按段光滑的。若C是由等光滑曲線依次相互連接所組成的按段光滑曲線，則 由高等數(shù)學(xué)理論，其復(fù)積分的實(shí)部、虛部滿足實(shí)積分與路徑無(wú)

5、關(guān)的條件，所以 的值不論C是怎樣的曲線都等于 ，這說(shuō)明有些函數(shù)的積分值與積分路徑無(wú)關(guān)。例1 計(jì)算 ，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段。解：直線的方程可寫(xiě)成在C上，于是又因?yàn)槔? 計(jì)算 解：(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x于是(1)從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段(2)拋物線y=x2上從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的弧段；，其中C為(3)從原點(diǎn)沿x軸到點(diǎn)1再到1+i的折線。(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x于是y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為于是于是例3 求 解：積分路徑的參數(shù)方程為C為以z0為中心，r為半徑的正向圓周，n為整數(shù)。重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心

6、和半徑無(wú)關(guān)。故四、復(fù)積分的基本性質(zhì)(1)常數(shù)因子k 可以提到積分號(hào)外，即 (2)函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即 (3)若f(z)沿C可積，且C由C1 和 C2連接而成，則 (4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號(hào)，即(5)若在C上， ，且C的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則這里ds 表示弧長(zhǎng)的微分。其中C-為C的負(fù)向曲線。估值不等式例4 證明：證明： 小 結(jié)主要學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì)。應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì)。重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法。積分存在的條件及計(jì)算(1)化成線積分(2)用參數(shù)方程將積分化成定積分則設(shè)簡(jiǎn)單光滑曲線C的參數(shù)方程是設(shè)沿逐段光滑的曲

7、線C連續(xù)，則積分存在，且思考題復(fù)函數(shù)f(z)的積分定義式與一元函數(shù)定積分是否一致？思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分。若f(x)是實(shí)值的，若C是實(shí)軸上區(qū)間，則一般不能把起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的函數(shù)f(z)的積分記作，因?yàn)檫@是一個(gè)線積分，要受積分路線的限制，必須記作。第二節(jié) 柯西積分定理通過(guò)前面的例題發(fā)現(xiàn)，例1中的被積函數(shù)f(z)=z在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的，它沿連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的任何的積分值都相同，換句話說(shuō)，積分與路徑無(wú)關(guān)。例2中的被積函數(shù)f(z)=Rez是不解析的，積分與路徑有關(guān)。由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān), 可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性。函數(shù)f(z)在什么條件下，積分僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)

8、有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)呢？ 若函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)f(z)沿B的任何一條封閉曲線C的積分為零，即一、基本定理柯西古薩基本定理定理中的 C 可以不是簡(jiǎn)單曲線。如下圖所示。此定理也稱(chēng)為柯西積分定理。柯西介紹古薩介紹BBCCz1z0C1C2C1C2z0z1柯西資料 柯西（Cauchy，1789-1857），出生于巴黎。他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫(xiě)作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書(shū)，其中有些還是經(jīng)典之作，不過(guò)并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評(píng)高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)說(shuō)，法國(guó)科學(xué)院“會(huì)刊”創(chuàng)刊的

9、時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來(lái)規(guī)定論文最長(zhǎng)的只能有四頁(yè)，所以，柯西較長(zhǎng)的論文只得投稿到其它地方。 柯西在幼年時(shí)，他的父親常帶領(lǐng)他到法國(guó)參議院內(nèi)的辦公室，并且在那里指導(dǎo)他進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此他有機(jī)會(huì)遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對(duì)他的才能十分賞識(shí)；拉格朗日認(rèn)為他將來(lái)必定會(huì)成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)。 GoursatBorn: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris, France古薩資料關(guān)于定理的說(shuō)明：(1)若曲

10、線 C 是區(qū)域 B 的邊界，函數(shù)f(z)在B內(nèi)與C(2)若曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界, 函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析，上解析，即在閉區(qū)域在閉區(qū)域上連續(xù)，那么定理仍成立。上解析，則例1 計(jì)算積分解：根據(jù)柯西古薩定理，有函數(shù)在內(nèi)解析，思考題應(yīng)用柯西古薩定理應(yīng)注意什么?思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”。(2)注意定理的不能反過(guò)來(lái)用。反例：圓環(huán)域內(nèi)解析，單位圓是該區(qū)域內(nèi)一條閉曲線，但即不能由,而說(shuō)f(z)在C內(nèi)處處解析。反例：在單位圓內(nèi)處處不解析，但定理一 若函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么由定理知：解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁(yè)圖)1.兩個(gè)主要定理：二、原函數(shù)

11、與不定積分積分與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路線C無(wú)關(guān)。若起點(diǎn)為z0，終點(diǎn)為z1，若固定z0，讓z1在B內(nèi)變動(dòng)，并令z1=z，便可確定B內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)定理二 若函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析此定理與微積分學(xué)中的可變上限積分的求導(dǎo)定理完全類(lèi)似。那么函數(shù)必為B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，并且2.原函數(shù)的定義：原函數(shù)之間的關(guān)系：f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。顯然是f(z)的一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)以上討論可知：證明：設(shè)G(z)和H(z)是f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，那么于是(C為任意常數(shù)) 若f(z)在區(qū)域B內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)F(z)，那么它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，一般表達(dá)式為F(z)+C(C為任意常數(shù)) 若函數(shù)f(z)在單

12、連通域B內(nèi)處處解析，G(z)為f(z)的一個(gè)原函數(shù)，那么 稱(chēng)f(z)的原函數(shù)一般表達(dá)式F(z)+C（C為任意常數(shù)）為f(z)的不定積分，記作3.不定積分的定義定理三(類(lèi)似于牛頓-萊布尼茲公式)說(shuō)明：有了以上定理，復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算。這里z0,z1為單連通域B內(nèi)的兩點(diǎn)。證明：根據(jù)柯西-古薩基本定理,證畢例2 求解：由牛頓-萊布尼茲公式知，因?yàn)閦是解析函數(shù)，它的原函數(shù)是的值。例3 求解：(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)的值。例4 求解：方法一由牛頓-萊布尼茲公式知，因?yàn)閦cosz是解析函數(shù)，它的一個(gè)原函數(shù)是 zsinz+cosz，的值。方法二此方法使用了微積分中“分

13、部積分法”課堂練習(xí)答案小 結(jié)介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓萊布尼茲公式。在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合, 更好的理解本課內(nèi)容。思考題解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓萊布尼茲公式有何異同?思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類(lèi)似的。兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大。但在復(fù)積分中要求f(z)為單連域中的解析函數(shù)，且積分路線是曲線C，因而z0,z都是復(fù)數(shù)；在實(shí)積分中要求f(x)為區(qū)域a,b上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，a,x都是實(shí)數(shù)。1、問(wèn)題的提出根據(jù)第一節(jié)例3可知, 由此希望將基本定理推廣到多連域中。三、基本定理的推廣實(shí)例，計(jì)算因?yàn)閨z|=2是包含z=1在內(nèi)的閉曲線， 解析函數(shù)沿閉

14、曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。閉路變形原理說(shuō)明：在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn)。2、復(fù)合閉路定理1)閉路變形原理2)復(fù)合閉路定理例5 計(jì)算積分解：依題意知,C包含這兩個(gè)奇點(diǎn)。所以f(z)在C所圍區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)z=0及z=1。因?yàn)椋珻為包含圓周在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2，C1只包含奇點(diǎn)z=0，C2只包含奇點(diǎn)z=1,根據(jù)復(fù)合閉路定理,例6 計(jì)算積分解：圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路。根據(jù)閉路復(fù)合定理，得C1和C2圍成一個(gè)圓環(huán)域，函數(shù)在此圓環(huán)域和其邊界上處處解析，C為正向圓周|z|=2和負(fù)向圓周|z|=1所組成。小

15、 結(jié)講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理，掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn)。常用結(jié)論:思考題復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用? 要注意什么問(wèn)題?思考題答案利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法。使用復(fù)合閉路定理時(shí), 要注意曲線的方向。一、問(wèn)題的提出根據(jù)閉路變形原理知，該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變, 求這個(gè)值。第三節(jié) 柯西積分公式 C為B內(nèi)圍繞z0的閉曲線。所以一般不為零，若f(z)在B內(nèi)解析，那么在z0不解析。設(shè)B為一單連通域，z0為B中一點(diǎn)。積分曲線C取作以z0為中心，半徑為很小的的正向圓周由f(z)的連續(xù)性，在C上函數(shù)f(z)的值將隨著的縮小而逐漸接近于它的圓

16、心z0處的值，二、柯西積分公式定理 設(shè)函數(shù)f(z)在以簡(jiǎn)單正向閉曲線C所圍成的區(qū)域B內(nèi)解析，在C上連續(xù)，則對(duì)B內(nèi)任意一點(diǎn)z0，有柯西積分公式關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示。(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法，而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式。(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。例1 求下列積分：解：由柯西積分公式(1)因?yàn)閒(z)=cosz在復(fù)平面內(nèi)解析，z=-i 位于內(nèi),由柯西積分公式令在|z|2內(nèi)解析，z=i位于|z|2內(nèi)，例2 計(jì)算積分解：由柯西積

17、分公式因?yàn)?f(z)=ez 在復(fù)平面內(nèi)解析，z=1位于|z|2內(nèi)，例3解：由閉路復(fù)合定理, 得例4解:根據(jù)柯西積分公式知，比較兩式得因?yàn)檎n堂練習(xí)答案：小 結(jié) 柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式，它的證明基于柯西古薩基本定理，其重要性在于：一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過(guò)積分表示， 故它是研究解析函數(shù)的重要工具。柯西積分公式:思考題柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的, 能否推廣到無(wú)界區(qū)域中?思考題答案可以。其中積分方向應(yīng)是順時(shí)針?lè)较颉Ｒ弧?wèn)題的提出問(wèn)題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)? (2)若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù)。(2)高

18、階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示， 這與實(shí)變函數(shù)完全不同。解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)二、主要定理定理六 若f(z)在正向閉曲線C所圍區(qū)域B內(nèi)解析，在C上連續(xù)，則對(duì)B內(nèi)任意一點(diǎn)z0，有 不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo)，而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分。高階導(dǎo)數(shù)公式的作用：例1 計(jì)算下列積分，其中C為正向圓周：解：根據(jù)公式(1)函數(shù)在C內(nèi)z=1處不解析，但在C內(nèi)處處解析，在C內(nèi)以i為中心作一個(gè)正向圓周C1，以-i為中心作一個(gè)正向圓周C2，則函數(shù)在由C,C1,C2圍成的區(qū)域內(nèi)解析,(2)函數(shù)在C內(nèi)的z=i處不解析，根據(jù)復(fù)合閉路定理推導(dǎo)1推導(dǎo)2例2解：例3解:由柯西古薩基本定理得由柯西積分公式得課堂練習(xí)參考答案1、由柯西古薩基本定理得2、根據(jù)公式設(shè)C是不通過(guò)