1、第三節 格林公式及其應用教學目的：理解和掌握格林公式及應用 教學重點：格林公式 教學難點：格林公式的應用 教學內容：一、Green公式單連通區域. 設為單連通區域，若內任一閉曲線所圍的部分都屬于.稱為單連通區域（不含洞），否則稱為復連通區域（含洞）.規定平面的邊界曲線的方向，當觀看者沿行走時，內在他近處的那一部分總在他的左邊，如定理1. 設閉區域由分段光滑的曲線圍成，函數和在上具有一階連續偏導數，則有=.為的取正向的邊界曲線.即格林公式證：對既為- 型又為-型區域：連續，=： 又 =+ =對于-型區域，同理可證 = 原式成立對于一般情況，可引進輔助線分成有限個符合上述條件區域，在上應用格林公式

2、相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證.幾何應用，在格林公式中，取，= 說明：1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區域均成立 2）記法= 3）在一定條件下用二重積分計算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計算二重積分. 4）幾何應用. 例1 計算 ： 解： 原式=， ，計算星形線圍成圖形面積 =二 平面上曲線積分與路徑無關的條件與路無關：是為一開區域，在內具有一階連續偏導數，若內任意指定兩點及內從到的任意兩條曲線 恒成立，則稱在內與路徑無關.否則與路徑有關. 例1 ：從到的折線從到的直線 解：=3 ：,即 =定理：設，在單連通區域內有連續的一階偏導數，則以下四個條件相互等價（1）內任一閉曲線，=.（

3、2）對內任一曲線，與路徑無關（3）在內存在某一函數使在內成立.（4），在內處處成立.證明：（1）（2） 在內任取兩點，及連接的任意兩條曲線， 為內一閉曲線 由（1）知，即+=（2）（3）若在內與路徑無關.當起點固定在（）點，終點為后，則是的函數，記為.下證：=的全微分為=. ，連續，只需證， ， 由定義 =+ =+ =， 即， 同理.（3）（4）若=，往證=， 由具有連續的一階偏導數故=（4）（1）設為內任一閉曲線，為所圍成的區域.=.例2曲線積分， 為過，和點的圓弧.解： 令，則， 與路徑無關. 取積分路徑為.+=計算， （1）為以為心的任何圓周. （2）為以任何不含原點的閉曲線.解：（1）

4、令，在除去處的所有點處有=，做以0為圓心，為半徑作足夠小的圓使小圓含在內，=，即= （2）= 0三、二元函數的全微分求積 與路徑無關，則為某一函數的全微分為=+注：有無窮多個.驗證：是某一函數的全微分，并求出一個原函數.解：令，原式在全平面上為某一函數的全微分，取， = 例5 計算， 為從到再到，是半圓弧 解：令， ， 添加直線，則，原式+= =原式=例6設在上連續可導，求，其中 為從點到的直線段.解；令， = ，故原積分與路徑無關，添構成閉路，原式+ 原式= 練習：1.證明：若為連續函數，而為無重點的按段光滑的閉曲線，則. 2.確定的值，使在不經過直線的區域上，與路徑無關，并求當為從點到點的路徑時的值. ， 3設，為上的連續函數，證明小結： 1. 格林公式及應用，積分與路徑無關的四個等價命題，全微分求積.2. 格林