1、2013年普通高等學校招生全國統一考試(湖北卷)數學(文科)本試題卷共5頁,22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.用統一提供的2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用統一提供的2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.答在試題卷、草稿紙上無效.3.填空題和解答題的作答:用統一提供的簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.答在試題卷、草稿紙上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束

2、后,請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013湖北,文1)已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,B=2,3,4,則BUA=(). A.2B.3,4C.1,4,5D.2,3,4,5答案:B解析:UA=3,4,5,B=2,3,4,故BUA=3,4.故選B.2.(2013湖北,文2)已知00)個單位長度后,所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值是().A.12B.6C.答案:B解析:y=3cos x+sin x=2sinx+3的圖象向左平移m個單位長度后得y=2sinx+m+3的圖象.

3、又平移后的圖象關于y軸對稱,即y=2sinx+m+3為偶函數,根據誘導公式m7.(2013湖北,文7)已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量AB在CD方向上的投影為(A.322C.-322D.答案:A解析:因為AB=(2,1),CD=(5,5),所以向量AB在CD方向上的投影為|AB|cos=|AB|AB8.(2013湖北,文8)x為實數,x表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=x-x在R上為().A.奇函數B.偶函數C.增函數D.周期函數答案:D解析:由題意f(1.1)=1.1-1.1=0.1,f(-1.1)=-1.1-1.1=-1.1-(-2)=0.9

4、,故該函數不是奇函數,也不是偶函數,更不是增函數.又對任意整數a,有f(a+x)=a+x-a+x=x-x=f(x),故f(x)在R上為周期函數.故選D.9.(2013湖北,文9)某旅行社租用A,B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為().A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元答案:C解析:設需A,B型車分別為x,y輛(x,yN),則x,y需滿足36x+60y900,y-x7,xN,yN,設租金為z,則z

5、=1 600 x+2 400y,畫出可行域如圖,根據線性規劃中截距問題,10.(2013湖北,文10)已知函數f(x)=x(ln x-ax)有兩個極值點,則實數a的取值范圍是().A.(-,0)B.0C.(0,1)D.(0,+)答案:B解析:f(x)=ln x-ax+x1x-a=ln x-2ax+1,函數f(x)有兩個極值點,即ln x-2ax+1=0有兩個不同的根(在正實數集上),即函數g(x)=lnx+1x與函數y=2a在(0,+)上有兩個不同交點.因為g(x)=-lnxx2,所以g(x)在(0,1)上遞增,在(1,+)上遞減,所以g(x)max若g(x)與y=2a有兩個不同交點,須02a

6、1.即0a12,故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,共35分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上.答錯位置,書寫不清,模棱兩可均不得分.11.(2013湖北,文11)i為虛數單位,設復數z1,z2在復平面內對應的點關于原點對稱,若z1=2-3i,則z2=.答案:-2+3i解析:z1在復平面上的對應點為(2,-3),關于原點的對稱點為(-2,3),故z2=-2+3i.12.(2013湖北,文12)某學員在一次射擊測試中射靶10次,命中環數如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則(1)平均命中環數為;(2)命中環數的標準差為.答案:(1)7(2)2解析:平均數為7+8+7+9+5

7、+4+9+10+7+410=7標準差為(=2.13.(2013湖北,文13)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序.若輸入m的值為2,則輸出的結果i=.答案:4解析:由程序框圖,i=1后:A=12,B=11,AB?否;i=2后:A=22,B=12,AB?否;i=3后:A=42,B=23,AB?否;i=4后:A=82,B=64,AB?是,輸出i=4.14.(2013湖北,文14)已知圓O:x2+y2=5,直線l:xcos +ysin =102,故圓上有4個點到該直線的距離為1.15.(2013湖北,文15)在區間-2,4上隨機地取一個數x,若x滿足|x|m的概率為56,則m=答案:3解析:由題意

8、-2,4的區間長度為6,而滿足條件的x取值范圍的區間長度為5,故m取3,x-2,3.16.(2013湖北,文16)我國古代數學名著數書九章中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;一尺等于十寸)答案:3解析:由題意盆內所盛水的上底面直徑為28+122=20(寸),下底面半徑為6寸,高為9寸,故體積為V=139(102+62+106)=588,而盆上口面積為142=196,故平地降雨量為588196=17.(2013湖北,文17)在平面直

9、角坐標系中,若點P(x,y)的坐標x,y均為整數,則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內部的格點數記為N,邊界上的格點數記為L.例如圖中ABC是格點三角形,對應的S=1,N=0,L=4.(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是;(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數.若某格點多邊形對應的N=71,L=18,則S=(用數值作答).答案:(1)3,1,6(2)79解析:由圖形可得四邊形DEFG對應的S,N,L分別是3,1,6.再取兩相鄰正方形可計算S,N,L的值為2,0,6.加上已知S=1時N

10、=0,L=4,代入S=aN+bL+c可計算求出a=1,b=12,c=-1,故當N=71,L=18時,S=71+1三、解答題:本大題共5小題,共65分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.(2013湖北,文18)(本小題滿分12分)在ABC中,角A,B,C對應的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積S=53,b=5,求sin Bsin C的值.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去)因

11、為0A0,上式不成立;當n為奇數時,(-2)n=-2n-2 012,即2n2 012,則n11.綜上,存在符合條件的正整數n,且所有這樣的n的集合為n|n=2k+1,kN,k5.20.(2013湖北,文20)(本小題滿分13分)如圖,某地質隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發現礦藏,再繼續下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.過AB,AC的中點M,N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截

12、面,其面積記為S中.(1)證明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區域內正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中h來估算.已知V=13(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關系,并加以證明(1)證明:依題意,A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.因此四邊形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B

13、平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可證A1A2FG,所以DEFG.又M,N分別為AB,AC的中點,則D,E,F,G分別為A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中點,即DE,FG分別為梯形A1A2B2B1,A1A2C2C1的中位線.因此DE=12(A1A2+B1B2)=12(d1+d2),FG=12(A1A2+C1C2)=12(d而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形.(2)解:V估V.證明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線,可得MN=12BC=12a即為梯形D

14、EFG因此S中=S梯形DEFG=12d1+d22+d1即V估=S中h=ah8(2d1+d2+d3)又S=12ah,所以V=13(d1+d2+d3)S=ah6(d1+d2+d于是V-V估=ah6(d1+d2+d3)-ah8(2d1+d2+d3)=ah24(d2-d1)+(d3-d由d1d20,d3-d10,故V估0,b0,已知函數f(x)=ax+bx+1(1)當ab時,討論函數f(x)的單調性;(2)當x0時,稱f(x)為a,b關于x的加權平均數.判斷f(1),fba,fba是否成等比數列,并證明fbaa,b的幾何平均數記為G.稱2aba+b為a,b的調和平均數,記為H.若Hf(x)G,求x的取

15、值范圍解:(1)f(x)的定義域為(-,-1)(-1,+),f(x)=a(當ab時,f(x)0,函數f(x)在(-,-1),(-1,+)上單調遞增;當ab時,f(x)0,fba=2aba+b0故f(1)fba=a+b2即f(1)fba=f所以f(1),fba,fba因a+b2ab,即f(1)由(*)得fba由知fba=H,fb故由Hf(x)G,得fbaf(x)fba.(當a=b時,fba=f(x)=fb這時,x的取值范圍為(0,+);當ab時,0ba1,從而b由f(x)在(0,+)上單調遞增與(*)式,得baxb即x的取值范圍為ba當a1,從而b由f(x)在(0,+)上單調遞減與(*)式,得b

16、axba,即x的取值范圍為22.(2013湖北,文22)(本小題滿分14分)如圖,已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O,長軸均為MN且在x軸上,短軸長分別為2m,2n(mn),過原點且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A,B,C,D,記=mn,BDM和ABN的面積分別為S1和S2(1)當直線l與y軸重合時,若S1=S2,求的值;(2)當變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1= S2?并說明理由.解:依題意可設橢圓C1和C2的方程分別為C1:x2a2+y2m其中amn0,=mn(1)解法1:如圖1,若直線l與y軸重合,即直線l的方程為x=0,則S1=12|

17、BD|OM|=12a|BD|,S2=12|AB|ON|=12a|AB|在C1和C2的方程中分別令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,于是|BD若S1S2=,則化簡得2-2-1=0.由1,可解得=2+1.故當直線l與y軸重合時,若S1=S2,則=2+1.圖1解法2:如圖1,若直線l與y軸重合,則|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=12|BD|OM|=12S2=12|AB|ON|=1所以S1若S1S2=,則+1-1=由1,可解得=2+1.故當直線l與y軸重合時,若S1=S2,則=2+1.(2)解法1:如圖2,若存在與坐標軸不重合的直線l,使得S

18、1=S2.圖2根據對稱性,不妨設直線l:y=kx(k0),點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則因為d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2又S1=12|BD|d1,S2=12|AB|d所以S1S2=|BD|由對稱性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(-1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB|,于是|AD|將l的方程分別與C1,C2的方程聯立,可求得xA=ama2k2+m根據對稱性可知xC=-xB,xD=-xA,于是|=2xA從而由和式可得a2k令t=+1(-1),則由mn,可得t1因為k0,所以k20.于是式關于k有解,當且僅當n2(等價于(t2-1)t2由1,可解得1t1即11,解得1+2,所以當11+2時,存在與坐標軸不重合的