1、Z變換離散時間系統(tǒng)的Z域分析Z變換離散時間系統(tǒng)的Z域分析引 言Z 變換及收斂域Z變換的定義Z變換的收斂域Z變換的性質(zhì)常用Z變換Z反變換離散時間系統(tǒng)的Z域分析法引 言系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)到單位抽樣序列系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)函數(shù)與拉氏變換濾波器的設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的定義濾波器的設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)8.1 引 言問題：一些離散函數(shù)（離散時間信號）的傅里葉變換不易得到，或不存在，無法用傅里葉分析法對離散系統(tǒng)作頻域分析；傅里葉分析法一般只能求零狀態(tài)響應(yīng)，如何用頻域分析法求離散時間系統(tǒng)的全響應(yīng)等？Z變換在離散時間LTI系統(tǒng)分析中起著重要作用：許多不滿足絕對可和的離散時間信號在進(jìn)行傅氏變換是受到限制，而Z變換

2、卻存在；問題的解決Z域分析（工具：Z變換）8.1 引 言問題：一些離散函數(shù)（離散時間信號）的傅里葉8.1 引 言對差分方程作Z變換變成代數(shù)方程，此時，很容易求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)；借助于系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析可迅速地判斷系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性，直觀地表示出系統(tǒng)的z域特性。 8.1 引 言對差分方程作Z變換變成代數(shù)方程，此時，很1. Z變換的定義8.2 Z變換及其收斂域雙邊Z變換：單邊Z變換：，xn的傅氏變換不存在,但的傅氏變換卻可能存在，此時，1. Z變換的定義8.2 Z變換及其收斂域雙邊Z變換：8.2 Z變換及其收斂域當(dāng)r=1時，Z變換等于傅氏變換，即離散時間傅氏變換是復(fù)數(shù)Z平面（縱軸為jIm

3、z,橫軸為Rez的平面）中，半徑為1的單位圓上的Z變換。jImReZ平面r注： 因果信號xn，由于na （見后面附錄） 右向序列若從t0開始，則ROC不能包括無限遠(yuǎn)點(diǎn)（z時，|z|-n）。8.2 Z變換及其收斂域若xn為左向序列，X(z)的收斂域 ROC: |z|0開始，則收斂域不能包括 z=0點(diǎn) （z0時，|z|-n ），若xn為一雙邊序列，X(z)的收斂域 ROC: R1|z|a若xn為右向序列時,X(z)的收斂域 8.2 Z變換若即，右邊函數(shù)時收斂域為| z|的圓外區(qū)域。其它信號依此類推。附錄：若即，右邊函數(shù)時收斂域為| z|的圓外區(qū)域。附錄：例8-1.求指數(shù)序列 xn=an un的z變

4、換，并討論其ROC。解：可見，若X(z)收斂，8.2 Z變換及其收斂域例8-1.求指數(shù)序列 xn=an un的z變換，并討 若a=1,則xn=un，其z變換為 收斂域為 |z|1 的單位圓以外。 8.2 Z變換及其收斂域例8-2.求 的z變換。xn是一個從-1到-的左邊序列。解： 若a=1,則xn=un，其z變換為8.例8-3. 求X(z)的可能收斂域。解8.2 Z變換及其收斂域例8-3. 求X(z)的可能收斂例8-4.一序列，其持續(xù)期有限，即試確定該序列z變換的收斂域。解：根據(jù)性質(zhì)，ROC應(yīng)為整個z平面,另一方面。8.2 Z變換及其收斂域例8-4.一序列，其持續(xù)期有限，即8.2 Z變換及其收

5、斂域1).線性性質(zhì) 則8.2 Z變換及其收斂域3. Z變換的性質(zhì)注：交集 一般小于R1或R2。但有時會擴(kuò)大，如零點(diǎn)與極點(diǎn)相消時。1).線性性質(zhì)8.2 Z變換及其收斂域3. Z變換的性質(zhì)注2).時域平移(雙邊信號）8.2 Z變換及其收斂域證明：根據(jù)雙邊Z變換的定義式，有注：收斂域ROC=Rz,因X(z)乘了一個zno，使得n00和n0a,應(yīng)用微分性質(zhì)求出反變換xn。解：例8-5.若已知Zun=z/(z-1),求斜變序列n7).初值和終值定理初值定理：若n0，xn=0,則序列的初值為 證明：該因果序列的Z變換為8.2 Z變換及其收斂域7).初值和終值定理8.2 Z變換及其收斂域終值定理：若n0，x

6、n=0,則序列的終值為8.2 Z變換及其收斂域證明：利用單邊Z 變換時移性質(zhì)，有： 所以終值定理：若n0,則8.2 Z變換及其收斂域注: 終值定理只有在n,xn收斂時才可用，或X(z)收斂域應(yīng)包含單位圓。證明：8).單邊Z變換的性質(zhì)（牢記）8.2 Z變換及其收斂域注:（2）超前定理：若xnun X(z),對于m0,則有8.2 Z變換及其收斂域注：1、在對差分方程作Z變換時，很自然地把初始條件帶進(jìn)去了，因而可求零輸入，零狀態(tài)，和全響應(yīng)。2、因果序列的單雙邊Z變換是一樣的。（2）超前定理：若xnun X(z),對于m例8-7若xn為周期等于N的有始周期序列，它滿足 xn=xn+N,n0 。求xn的

7、Z變換。解：設(shè)x1n為周期序列xn的第一個周期，則有始周期序列可寫為 xn= x1n+x1n-N+x1n-2N+ 根據(jù)延時定理得8.2 Z變換及其收斂域例8-7若xn為周期等于N的有始周期序列，它滿足 Z變換的性質(zhì)表Z常用Z變換表常1.Z反變換 Z變換： X(z) =Z xn Z反變換： xn=Z-1 X(z) Z反變換表達(dá)式 由Z變換是指數(shù)加權(quán)的傅里葉變換，即8.5 Z反變換1.Z反變換8.5 Z反變換2.求Z反變化的方法： 常用z變換表P321表8-2； 部分分式法。 冪級數(shù)展開法（長除法）； 留數(shù)法(略）；8.5 Z反變換Z反變換公式：2.求Z反變化的方法：8.5 Z反變換Z反變換公式：

8、（1）部分分式法求Z-1有理分式X(z) ，最好先對X(z)/z 展開（方便些），然后再乘z，即注：有重根時需要做一些修改，方法類似拉氏變換。必須根據(jù)X(z)的收斂域來確定xn是右邊、左邊、雙邊函數(shù)若沒給定收斂域，就必須自己假設(shè)收斂域，考慮三種情況。再用常用z變換公式求原函數(shù)。8.5 Z反變換（1）部分分式法求Z-1注：有重根時需要做一些修改，方法類 例8-8.設(shè)有一X(z)為求它的反變換xn. 解：8.5 Z反變換 例8-8.設(shè)有一X(z)為8.5 Z反變換例8-9.同例8-8，但收斂域為0.5|z|1，求此X(z) 的反變換xn.解：8.5 Z反變換例8-9.同例8-8，但收斂域為0.5|

9、z|1和|z|1，可知xn是右邊序列，此時用降冪長除方法展成冪級數(shù)：8.5 Z反變換（2）冪級數(shù)展開法例8-10.8.5 Z反變換8.5 Z反變換8.5 Z反變換對于|z|1，可知xn是左邊序列，此時用升冪長除方法展成冪級數(shù)：8.5 Z反變換對于|z|1，可知xn是左邊序列，此時用升冪長除方法例8-11求下列Z變換的反變換xn. 解：由8.5 Z反變換例8-11求下列Z變換的反變換xn. 解：由8.1.離散LTI系統(tǒng)的Z域分析法方法： 8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法例 8-12有一差分方程其輸入xn=un,且初始條件y-1=1,求yn.解法一：應(yīng)用單邊Z變換的時移性質(zhì)，原方程化為1.離散LTI

10、系統(tǒng)的Z域分析法8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析從而或8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法從而或8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法解法二：求零狀態(tài)響應(yīng)。 先求系統(tǒng)函數(shù)： H(z) 在初始條件為零時，對差分方程 yn+3yn-1=xn8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法作Z變換,得：解法二：求零狀態(tài)響應(yīng)。8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法作Z變再求零輸入響應(yīng)y0n：8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法在輸入xn=0條件下，對差分方程作Z變換,得：再求零輸入響應(yīng)y0n：8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法在例、差分方程 yn-3yn-1+2yn-2=xn-1-2xn-2，系統(tǒng)起始狀態(tài)為y0=1,y-1=1，輸入激勵xn為單位階躍序列

11、，試求零輸入響應(yīng)y0n，零狀態(tài)響應(yīng)yxn，全響應(yīng)，并畫出模擬圖。8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法解：（a) ,方法1、在輸入xn=0條件下，求對應(yīng)的特征方程的特征根（第三章知識）：例、差分方程 yn-3yn-1+2yn-2=x8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法方法2、在輸入xn=0條件下，對差分方程作Z變換,得：8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法方法2、在輸入xn=0條8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法（b)、在初始條件為零條件下，及xn=un，對差分方程作Z變換,得：（c)、全響應(yīng)：8.5離散時間系統(tǒng)的Z域分析法（b)、在初始條件為零條件下或 或 直接II型 畫出模擬圖:或 或 直接II型 畫出模擬圖:離

12、散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)定義：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1.系統(tǒng)函數(shù)的求取由差分方程求H(z) LTI系統(tǒng)差分方程： 作Z變換（零狀態(tài)下）: 離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)定義：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)由Z域與模擬框圖求H(z) 直接由z域的模擬框圖列出初始松弛條件下的輸入X(z)、輸出Y(z)的代數(shù)方程，再求H(z).8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)由Z域與模擬框圖求H(z)例8-15.求圖8-6（a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位抽樣函數(shù)，設(shè)0a11.解：如圖，有：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)D或：例8-15.求圖8-6（a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位抽樣函數(shù)例8-16.求圖8-

13、7（a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位抽樣函數(shù)，其中a1、a2為實(shí)數(shù)，且a12 + 4a21時hn將是發(fā)散的;當(dāng)r=1時,hn是等幅振蕩。cr1時cr注：互聯(lián)系統(tǒng)（級聯(lián)，并聯(lián)，反饋聯(lián)結(jié)）利用Z變換求系統(tǒng)函數(shù)也是很方便的，可盡量采用8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)解法二（直接用公式）：注：互聯(lián)系統(tǒng)（級聯(lián)，并聯(lián)，反饋聯(lián)結(jié)）利用Z變換求系統(tǒng)函數(shù)也是2.由H(z)的零極點(diǎn)分布確定抽樣響應(yīng) 可知有8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（1）hn的模式取決于H(z)的極點(diǎn)pk，而零點(diǎn)zi只影響hn的幅度和相位，即系數(shù)Ak。（2） |p k|=rk1, hn發(fā)散（不穩(wěn)定系統(tǒng)）（3） pk=1,hn發(fā)散，|pk|=1,hn發(fā)散，

14、（在單位圓上具有二階極點(diǎn)系統(tǒng)發(fā)散）； |pk|1,hn 發(fā)散； （不穩(wěn)定系統(tǒng)） |pk|1,hn衰減（穩(wěn)定系統(tǒng)）。8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) pk=1(實(shí)數(shù)1），hn3.系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性 穩(wěn)定系統(tǒng)定義：輸入有界，輸出也有界的系統(tǒng)。 1).穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件：時域：頻域： 由 8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 即穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域一定包括單位圓.3.系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 即穩(wěn)定8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)2）因果系統(tǒng)充要條件時域： hn=0，n0. 頻域：H(z)的收斂域為 a0. 頻域：H(z)的收斂域為 0|z| r；8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)對于r1，ROC在

15、單位圓外，此時為因果不穩(wěn)定系統(tǒng),圖(b)；例8-17.具有復(fù)級數(shù)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)的H(z)由式(8-584.由零極點(diǎn)圖確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1).由H(z)的零極點(diǎn)確定H(ej)(幾何法)： 8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一個序列的離散時間傅里葉變換就是單位圓上求得的Z變換：當(dāng)序列xn的Z變換的收斂域包括單位圓時其對應(yīng)的傅里葉變換存在，且有：4.由零極點(diǎn)圖確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函幾何法求H(ej)(當(dāng)H(ej)比較復(fù)雜時，可定性分析H(ej)） 對于線性常系數(shù)差分方程，令z=ej， H(z)=H(ej)有 8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)其中Ak、Bi分別為從極點(diǎn)和零點(diǎn)到單位圓的向量長

16、度， 為向量Bi 、Ak與正實(shí)軸的夾角。幾何法求H(ej)(當(dāng)H(ej)比較復(fù)雜時，可定性分析幾何法公式：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)例8-18. 一階離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，用幾何求值法確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。一階系統(tǒng)分析幾何法公式：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)例8-18. 一8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)解：因ROC包含單位圓，傅里葉變換存在很容易得出頻譜圖如下圖所示：按右圖(a)可得到頻譜：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)解：因ROC包含單位圓，傅里葉結(jié)論 1: 一階系統(tǒng)極點(diǎn)在實(shí)軸上，具有低通的特性； 零點(diǎn)只影響頻譜的的相位，不影響模的大小； |a1|值越大，即極點(diǎn)越靠近單位圓，則模的峰值越尖

17、銳；相位隨變化越快。 用幾何法同樣能方便地在頻譜圖上看到離散時間系統(tǒng)頻譜特性（周期性性，奇偶對稱性，頻率選擇性等）8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)問題：如果極點(diǎn)不在實(shí)軸上將會怎么樣？結(jié)論 1:8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)問題：如果極點(diǎn)不在實(shí)二階系統(tǒng)分析 例. 8-19.二階因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)： 試用幾何求值法確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，令z=ej，則有8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)其頻譜如圖(b)所示。二階系統(tǒng)分析解：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，令z=ej，則有8.7離結(jié)論2 ：二階系統(tǒng)存在共軛極點(diǎn)， 在極點(diǎn)矢徑對應(yīng)的方向模峰值出現(xiàn)，隨著極點(diǎn)遠(yuǎn)離實(shí)軸，模峰值向高頻方向移動，即通帶的位置。 r值越大，即

18、極點(diǎn)越靠近單位圓，則模的峰值越尖銳；相位隨變化越快。8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)結(jié)論2 ：二階系統(tǒng)存在共軛極點(diǎn)， 在極點(diǎn)矢徑對應(yīng)的方向模 問題：連續(xù)函數(shù)的拉氏變換與樣本函數(shù)的Z變換的關(guān)系？5. Z變換和拉氏變換的關(guān)系1).抽樣信號的拉氏變換 抽樣8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)傅氏變換：傅立葉變換 問題：連續(xù)函數(shù)的拉氏變換與樣本函數(shù)的Z變換的關(guān)系？8.7xp(t)的拉氏變換： 抽樣信號xp(t)的拉氏變換的圖象（零極點(diǎn)圖）沿s平面j軸每隔2/T混疊一次結(jié)果。8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)xp(t)的拉氏變換：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)變量s與z間的映射關(guān)系?2).拉氏變

19、換與z變換的關(guān)系抽樣信號xp(t)的拉氏變換Xp(s) 與離散時間序列xpn的z變換Xd(z)之間的映射關(guān)系由抽樣8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)變量s與z間的映射關(guān)系?2). xp(t) L Xp(s) x(t) xdn Z Xd(z)8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) sz之間的具體映射關(guān)系： s平面 z平面 虛軸=0 r=1 單位圓 左半平面0 r0 r1 單位圓外z=esT變量間的映射關(guān)系: xp(t) L Xp(s) s平面 z平面 實(shí)軸=0 =0 正實(shí)軸； 原點(diǎn)=0，=0 r=1,=0,或z=1點(diǎn) s平面的平行帶狀域（-/T /T)映射為整個z平面，即每當(dāng)變化2/T，相應(yīng)變化2，相當(dāng)于在整個

20、z平面掃視一遍。8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)依據(jù) s平面 z平面 8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)xc(t)的拉氏變換Xc(s)與離散函數(shù)xdn的z變換Xd(z)間的映射關(guān)系Xc(s)為有理函數(shù)時，8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)xc(t)的拉氏變換Xc(s)拉氏變換與z變換兩條結(jié)論 連續(xù)時間信號拉氏變換Xc(s)的留數(shù)（部分分式的系數(shù)）Ak仍然保留； Xc(s)在s=pk的極點(diǎn)映射為Xd(z)在 的極點(diǎn)。用此兩點(diǎn)可直接從Xc(s)得到Xd(z)。8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)利用這一結(jié)論結(jié)論可以把連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏變換通過其離散函數(shù)的xdn的Z變換求得，反之亦然。拉氏變換與z變換兩條結(jié)論8.7離散

21、時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)利用例8-20.已知連續(xù)信號 對其均勻抽樣的序列xdn=（sin0nT ）un.經(jīng)由拉氏變換Xc(s)求序列的Z變換Xd(z)。 解：8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)例8-20.已知連續(xù)信號 1.數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波器: 濾波器從時域看是由線性常系數(shù)差分方程表征的離散時間系統(tǒng)，或是實(shí)現(xiàn)某差分方程所代表算法的一裝置。從頻域看，是用數(shù)字方法對輸入信號的頻譜按預(yù)定要求進(jìn)行變換，以達(dá)到改變信號頻譜目的離散時間系統(tǒng)。數(shù)字濾波器分類：有限沖激響應(yīng)濾波器FIR，對應(yīng)非遞歸差分方程 ： 具有線性相移特點(diǎn)； 8.10 Z變換在數(shù)值濾波器中的應(yīng)用1.數(shù)字濾波器基本概念 8.10 Z變換在數(shù)值濾波器中的無限沖激響應(yīng)濾波器IIR，對應(yīng)遞歸差分方程 具有頻率選擇性特點(diǎn)。 8.10 Z變換在數(shù)值濾波器中的應(yīng)用2. 設(shè)計一個IIR濾