1、v vv v-v vv v豎直平內(nèi)的圓周運(yùn)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速運(yùn)動(dòng)階只分析通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情, 經(jīng)常考查臨界狀,其問題可分為以下兩種模.一兩模模 1:“輕類圖 1圖 2繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉圓圈軌道問題可歸結(jié)為輕繩類只能沿某一 個(gè)方向給物體力的作用，如圖 1圖 所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng) 過最高點(diǎn)的情況:(1)臨界條件:在最高點(diǎn)，繩(圓圈軌)對(duì)小球沒有力的作, v gR0(2)小球能通過最高點(diǎn)的條件： ， gR 時(shí)對(duì)球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對(duì)球產(chǎn)生 向下的壓力3(）小球不能過最高點(diǎn)的條件： v gR ，實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)脫離了圓 圈軌道而斜拋運(yùn).模

2、2:“輕類圖 3圖 4有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況 3 所示(小球在圓環(huán)軌道 內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的情況類似“輕桿類 如圖 所示（1)界條件：由于硬桿和管壁的 支撐作用,小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)臨界速度 v （2小球過最高點(diǎn)時(shí)輕對(duì)小球的彈0情況 :當(dāng) v 時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力 , 其小于小球的重，即 N ；當(dāng) 時(shí),因 m ,則 mg .輕對(duì)小球的支持力 豎向上 大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是 N .當(dāng) gR 時(shí) ;當(dāng) gR 時(shí),則 ,即 N mg ，桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小 R隨速度的增大而增大注 桿繩不同最點(diǎn)對(duì)球既能產(chǎn)生拉力也能對(duì)球產(chǎn)生 支持力，還可對(duì)球的

3、作用力為零小結(jié) 如小球帶電，且空間存在電磁場,臨界條件應(yīng)是小球重力、電場力和洛倫茲力的合力作為向心力，此時(shí)臨界速度 v (應(yīng)根據(jù)具情況具體分析)另外,若月球上做圓周運(yùn)動(dòng)則可將上述的 g 換 ，在其他天體上則月把 換 g .二、種型應(yīng) 【 1如圖所示,質(zhì)量為 的球從光滑的斜面軌 天體道的 A 點(diǎn)靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn) B 而做圓周運(yùn)動(dòng)，-1 2 5 2 1 -1 2 5 2 1 問 點(diǎn)高度 h 至應(yīng)為多?【解析】此題屬于“輕繩類” , 其中“恰能”是隱含條件，即小球在最高點(diǎn)的臨界速度是 Rg ，據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mg 臨 臨把 Rg 代入上式得: h R 臨

4、【例 2如 6 所在直向下的勻強(qiáng)電場,一個(gè)帶負(fù)圖 5電 q、質(zhì)量為 且力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的 點(diǎn)由靜止下滑,若小球恰能通過半徑為 R 的直圓形軌道的最高點(diǎn) B 而圓周運(yùn)動(dòng) 的高度 至少應(yīng)為多少【解析此題屬于“輕桿類”帶電小球在圓形軌道的最高點(diǎn) 受三個(gè)力作用電力 qE, 方 向 豎 直 向 上 ; 重 力 mg ； 彈 力 N , 方 向 豎 向 下 . 由 向 心 力 公 式 ， 有vmg N qE 要使小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn) B 而圓周運(yùn)動(dòng) ,說小此時(shí)處于臨界狀態(tài) ,其率v為臨界速度臨界條件是 .由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為 m qE m B 根據(jù)動(dòng)能定,有 (m

5、g ) mv 解之得： h 2 2說明 把式中的 qE換成 m ，較容易求出 R R -5 2 1 2 1 2 g mR m -5 2 1 2 1 2 g mR m 【例 3】如圖 6 所示,在豎直向的勻強(qiáng)電場中，一個(gè)帶正電 q 、質(zhì)量為 m 且力大于所受 電場力的小球，從光滑的斜面軌道的 點(diǎn)靜下滑，若小球恰能通過半徑為 的直圓形軌道的最高點(diǎn) 而做圓周運(yùn)動(dòng)，問 點(diǎn)高度 h至少應(yīng)為多?【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條,要使帶電小球恰能通過圓形軌道 的最高點(diǎn) 而圓周運(yùn)動(dòng)說明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率 為界速度，臨界條件是N 由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為 :mg qE mv 根據(jù)

6、動(dòng)能定理 , 有(mg ) 12mv由上述二式解得： h R述兩題條件雖然不同 ,但結(jié)果相 什么 ?因圖 6小 結(jié) 上為 電 場 力與重力做功具有相同的特,重做功僅與初位置的高度差有關(guān)勻電場中,電場力 做功也僅與沿電場力方向的距離差有我們不妨可以這樣認(rèn),例中效力加速度g”比例 1 中重力加速度 g 減小，例 3 中“等效重力加速度 g ”例 1 中的重力加速度 g 增 大 例 2中 臨 , mg mg mv 臨; 例 中臨 Rg , h mg 臨圖 7把 v 代各自對(duì)應(yīng)的式子，結(jié)果 、 分別都 臨界 約去了故 h 52R 【例 】如圖所示,一帶正電 q 、量為 m 的荷從滑的斜面軌道的 A 點(diǎn)

7、靜止下滑，若小球恰能通過半徑為 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn) B 圓弧左半部 分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁)，問點(diǎn) A 的度至少應(yīng)為多少？【解析題于“輕繩類”,中“恰能隱含條要使小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn) ，說明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率 v 為界速率，臨界條件是 ,此可列出小球的臨界狀態(tài)方程mg qv m v1mgh mv2, 由式可得： v ( qB m R 因 v 只能取正值即 ( ) m R 則 h R ( qB ) R 【例 5】如圖 8 所，在豎直向的均勻電場中，一個(gè)帶正電 、量為 m 的荷從滑 的斜面軌道的 A 點(diǎn)靜止下滑,若球恰能通過半徑為 的豎直圓形軌道的最高點(diǎn) (弧 左半部分加

8、上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場問點(diǎn) A 的度 至少應(yīng)為多少？-1 -1 圖 8【解析屬“輕繩類”題“恰能”是隱含條,使小球恰能通過圓形軌道的最高 點(diǎn) B ,說小球此時(shí)處于臨界狀態(tài) ,其速率 為臨界速率,臨條件是 ，由此可出小 球 的 臨 界 狀 態(tài) 方 程 為 qE mg qE ) mv2由式可得 2m ( )4 ( mg ) 只能取正值即 2m ( )4 ( qE ) 則 h 8m )qB qB ) 4R ) 小結(jié) 小受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相同的特,即都與速度 的方向垂直，它們對(duì)小球都不做功，而臨界條件是 【例 6】如圖所示， 為直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中 AB 段是水平的， 段 半徑 R

9、 0.2m 半圓兩段軌道相切于 B 點(diǎn)整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場中大 .一帶電的絕緣小球以速度 沿平軌道向右運(yùn),與靜止在 B 點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為 m ，乙所帶電荷量q ， g 取 0m/s（平軌道足夠長甲乙球 視為質(zhì),整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程無電荷轉(zhuǎn)移(1乙球碰撞,乙恰能通過道的最高點(diǎn) D 乙在軌道上的首次落點(diǎn)到 B 點(diǎn)的距離 （2）在滿足(1）的條件下。求甲的速度 ;（若仍以速度 v 向右運(yùn)動(dòng)增甲的質(zhì)量保乙的質(zhì)量不變求在軌道上的首次落點(diǎn)到 B 點(diǎn)的距離范.圖 9【解析1)在恰通過軌道最高點(diǎn)的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)速度為 達(dá)水平軌道的時(shí)間為 t ,的落點(diǎn)到 B 點(diǎn)距

10、離為 ，-D 離開 D 點(diǎn)到2 乙 甲 1 乙 D M D -2 乙 甲 1 乙 D M D vD1 qE2 (2 )t t D聯(lián)立得 x m(）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為 甲 mv mv 1 mv 2 2聯(lián)立得 乙 、 v乙根據(jù)動(dòng)量守恒定和機(jī)械能守恒定律有由動(dòng)能定理，得 mv mv 2 聯(lián)立得 v 5(mg ) R m2 5m/s（3）設(shè)甲的質(zhì)量為 M ，撞后甲、乙的速度分別為 、v ,根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守 恒定律有Mv Mv mv 1 1 Mv mv 2 2聯(lián)立得 v 2Mv 錯(cuò) 由錯(cuò) 和 M ,可得 v v 2 錯(cuò) ! 設(shè)乙球過 D 點(diǎn)時(shí)速度為 ，由動(dòng)能定理得 qE 1 mv 2

11、錯(cuò) 聯(lián)立錯(cuò) 得 v 錯(cuò) !設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)距 B 點(diǎn)的距離 x 聯(lián)立錯(cuò) !錯(cuò) !得 1.6m有t錯(cuò) 【例 7】如圖所示，桿長為 ,一固一質(zhì)量為 m 的球桿的質(zhì)忽略不,整個(gè)系統(tǒng)繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng) g 10m/s 多少時(shí)，才能使桿和小球 作用力為?求)小球在最高點(diǎn) A 的度 v為A(2)小球在最高點(diǎn) 時(shí)，桿對(duì)小球的用力 為拉力和推力時(shí)的臨界速度分別是多?(3)若 0.5kg 大？， L , v ，則在最高點(diǎn) 和低點(diǎn) ,對(duì)小球 的用力多圖 10圖 圖 12【解析】此題屬于“輕桿類”若和小球 m 之無相互用力，那么小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力僅由重力 mg 提，根據(jù)牛頓第二定律有:vm

12、g L解得 v gL 若小球 在高點(diǎn) A 時(shí)拉 F 受力如圖 1所示牛頓第二定律， A-1 11 -1 11 有vF mg L解得 v gL m 若球 m 在高點(diǎn) A 時(shí)受推力 F ，力如圖 12 所示由牛頓 第二定律有： F m 解得： v m可見 gL 是對(duì)小球 作用力 F 在推力和拉力之間突變的臨界速. ()桿長 L 時(shí)，臨界速度 v gL 2.2m/s， v,桿小球有推力 F ，有 F m ，則 L由 至 只有重力做功,機(jī)械能守恒設(shè) B 點(diǎn)所處水平面為參考平,則 mv mv2 2,解得 gL 4.5m/sv v在最低點(diǎn) ，球 受力 ，由 F 解得 L L【例 8】如圖 所示光的圓管軌道

13、 AB 部平直， 部是處于豎直平面內(nèi)半徑為 R 的半圓，圓 管截面半徑 r ，質(zhì)量為 、徑比 r 略的光滑小球以水平初速度度 v 射入圓.（)若要小球能從 端出來，初速 v 多?（2)小球從 端來瞬間，對(duì)管壁壓力哪幾種典型情,速度 各應(yīng)滿足什么條件圖 13【解析】本題綜合考查了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題；屬于“輕桿類”.(1)小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)的條件是 ,由機(jī)械能守恒初速度應(yīng)滿足 即 gR .2要使小球能從 C 端來，需 所以入射速度 0(2）小球從 端來瞬間對(duì)壁壓力以三種典型情: 剛好對(duì)管壁無壓力,此時(shí)重力恰好充當(dāng)向心力，即 mg 由機(jī)械能守恒定律，知 1 mg mv 2聯(lián)立解得v 5 g

14、Rv對(duì)下管壁有壓,應(yīng)有 相的入射速度 L應(yīng)滿足4 gR gR對(duì)上管壁v有壓力，此時(shí)應(yīng)有 mg m ，應(yīng)的入速度 vL應(yīng)滿足v 5 gR小結(jié) 本中的小球不能做勻速周運(yùn)動(dòng)，它的合力除最高點(diǎn)與最低點(diǎn)過圓心,其他條件 下均不過圓,因而在一般位置處，它具有切向加速.【例】如圖 14 所示,一內(nèi)壁光滑 的環(huán)形細(xì)圓管位于豎直平面內(nèi),的半徑 (細(xì)管的半徑大得多,在圓管中有兩個(gè)直徑與 細(xì)管內(nèi)徑相同的小球 ,質(zhì)分別為 、m ,沿形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)當(dāng) A 球動(dòng)到最低點(diǎn) 時(shí)速為 v , 球恰到最高點(diǎn)，若要此時(shí)圓管的合力為零， B 的度 為大 -圖 14圖 15圖 【解析本題綜合考察了豎直平內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的分,屬“桿類

15、低點(diǎn)對(duì) 球進(jìn)行受力分析,如圖 15 所示,應(yīng)用牛頓第二定律有 N v 由牛頓第三定律， 球 對(duì)有向下的壓力 ,根據(jù)題意 N ,即球 對(duì)管有向上的壓力 ， 受情況如圖 1所示由頓第三定律管球 B 有向下的壓力 , 對(duì)球 B v應(yīng)用牛頓第二定律，有： N g ,于 N N 聯(lián)立可得 v 三小在、半上運(yùn) m 在凸半球上最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)：如圖所示 ,小球(1)當(dāng) 0 gR ,小球不會(huì)脫離凸半球且能通過凸半球的最高.()當(dāng) gR ，軌道對(duì)小球不能產(chǎn)生彈力，故此時(shí)小球?qū)偤妹撾x軌道做平拋運(yùn)動(dòng)圖 17圖 18(3)當(dāng) ,小球已脫離凸半球最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)如圖 1所示，小球若通過凹半的最低點(diǎn)時(shí)速度只要 v 即可由以

16、上分析可知，通過凸 ( 或 半最高點(diǎn) 或低點(diǎn) 的界條件是小球速度 (或 v 【例 10】如圖 19 所示汽質(zhì)為 1 kg，以不變速率通過凸形路,路半徑為 5m ，若汽車安全行駛 ,則車不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為多少 若汽車達(dá)到臨界速度時(shí)將做何種運(yùn)動(dòng)？水平運(yùn)動(dòng)位移為多?圖 19【解析(1)此屬于“輕繩類道只能沿某一方向給物體作用力界件為汽車對(duì)-3 1 v 8 2 -3 1 v 8 2 軌道壓力 ,則汽車不脫離最高點(diǎn)的臨界速為 v,則:vmg 可得 v gR ; (2)當(dāng) 時(shí), 汽車在軌道最高點(diǎn)僅受重力作用 , 且初速度 ，做平拋運(yùn)動(dòng) , R 12gt ， x t,可得 R .【例1明在水平地面上握

17、不可伸長輕繩一繩的另一端系有質(zhì)量 m 的球， 甩動(dòng)手腕使球在豎直平面內(nèi)做圓周動(dòng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn),繩然斷掉,球飛離水平距離 后落地如圖 20 所示.知握繩的手離地面高度為 手與球之間的繩長為 力4速度為 忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣力（1)求繩斷時(shí)球的速度大小 和落地時(shí)的速度大小 問繩能承受的最大拉力多大？（3改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)。若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平 距離最大繩長應(yīng)為多 大水平距離為多?圖 20【解析】(1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為 t由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律,有：豎直方向 gt 水平方向d t 得： v 2 由機(jī)械能守恒定有：12mv mg ( ) ,得 v 2 452gd(設(shè)繩能承受的最大拉力為 T ，也是球到繩的最大拉力大小，球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 34d由向心力公有 mg ，得 T ）設(shè)繩長為 l，繩斷時(shí)球的速度大小為 v繩承受的最大拉力不變，有 T mg ml，得 v gl 3繩斷后球