1、數列與差分1數列與差分11.引言數列是描述客觀世界的重要數學模型差分是描述數列變化的主要工具客觀世界許多變量本身就是離散的:如酵母細胞的分裂,股市的開盤或收盤價的按日記錄等.現實世界中存在著大量的連續函數關系難以用解析式表示:如河流水位的高低作為時間的函數等.函數關系盡管能用解析式表示,但其解析式比較復雜:如捕食與被捕食種群數的變化、接觸性傳染病的傳播等. 在不妨礙研究結果有效性的前提下,為了方便,人們也愿意把對連續函數的研究轉化為對數列的研究.而計算機技術的發展,更為數列的研究提供了方便,使數列模型的應用也日趨廣泛.21.引言數列是描述客觀世界的重要數學模型客觀世界許多變量本1.2.差分是描

2、述數列變化的主要工具31.2.差分是描述數列變化的主要工具3差分與數列通項的關系1:對數列an = 2,2,2,2,2,其一階差分an=0,0,0,0.一般地,常數列的一階差分為各項是零的常數列(注意:每施行一次差分運算,所得新數列的總項數都會減少1)關系2:對數列an = 3n-5 = -2,1,4,7,10,13,16,19,其一階差分an= 3,3,3,3,3,3,3為常數列,其通項an=3n-5是一個線性函數.一般地,當數列an是由一個線性函數定義的等差數列時,其一階差分為常數列.4差分與數列通項的關系1:對數列an = 2,2,2,2關系3:對數列an = n2-3n+5 = 3,3

3、,5,9,15,23,其一階差分an= 0,2,4,6,8,其二階差分2an=2,2,2,2為常數列,其通項an= n2-3n+5是一個二次函數.一般地,當數列an是由一個二次函數定義時,其二階差分為常數列.關系4:對數列an = 3n = 3,9,27,81,243,729,2187,其一階差分an=6,18,54,162,486,1458,二階差分2an= 12,36,108,324,972都不是常數列,而都是公比為3的等比數列.一般地,當數列an是由一個指數函數定義時,其一階、二階差分都是以該指數函數的底數為公比的等比數列.5關系3:對數列an = n2-3n+5 = 3,3差分對數列的

4、描述一階差分對數列增減的描述6差分對數列的描述一階差分對數列增減的描述6一階差分對數列極值的描述7一階差分對數列極值的描述7二階差分對數列圖形凸凹的描述8二階差分對數列圖形凸凹的描述899例2.構造數列n2-4n+3前7個值a1 a7的差分表,并據該表確定數列在何處增加、何處減少、何處達到相對極大或極小、圖像上凸或下凸.10例2.構造數列n2-4n+3前7個值a1 a7的差分表解:構造差分表如下.據差分表:因a10,數列在n =2,3,6處為增;a10,故在n=2處達到相對極小;對這7項而言,數列無相對極大;因為二階差分2an0,故數列圖像是下凸的.n1234567an0-10381524 a

5、n-1135792 an2222211解:構造差分表如下.據差分表:因a10,知數列在n =12.差分方程有關的基本概念122.差分方程有關的基本概念1213131414151516163.差分方程(一階)的解、通解與特解差分方程的解是一個數列.當把它代入差分方程時,得到一個恒等式,它滿足任何一個初始值.差分方程的通解差分方程的特解 例如:用數列xn = (1.05)nc(c為任意常數)代入差分方程xn+1= xn+0.05xn,有:(1.05)n+1c = (1.05)nc +0.05(1.05)nc,這是一個恒等式.稱數列xn = (1.05)nc是差分方程xn+1= xn+0.05xn的

6、解. 我們注意到,上式解中含有一個常數c,并且方程是一階的.一般地,如果差分方程的解中含有與方程的階數相同個數的相互獨立的任意常數,就稱它為差分方程的通解.按此定義,xn= (1,05)nc也是一階差分方程xn+1= xn+0.05xn的通解. 對上式通解xn= (1.05)nc,若給定初值x0=1000,代入通解得:1000= (1.05)0c,求得常數c =1000,稱xn= (1.05)n1000為方程相應于初值x0=1000的特解.注意:這樣求出的特解是用解析式表示的. 顯然,相應于不同的初值,方程有不同的特解,而求特解只要將給定初始值代入通解求出待定常數即可.173.差分方程(一階)

7、的解、通解與特解差分方程的解是一個數列.迭代法對差分方程(組)來說,迭代法是用于求特解的重要方法.重點:對一階齊次線性方程組,在給定初始值的條件下,可以利用某種迭代程序在計算機上方便地求得它的數值解序列,并根據數值解序列掌握解的變化趨勢.此點在新課標該專題中作重點要求. 用方程含未知數列項相同個數的初始值代入方程(組)求得第一個(組)數值,將所得第一個(組)數值又代入方程(組)求得第二個(組)數值,將此過程不斷重復,求得在該初始條件下滿足方程(組)的特解.18迭代法對差分方程(組)來說,迭代法是用于求特解的重要方法. 例3:19例3:19例4:20例4:20例5:21例5:2122223.1.

8、求一階齊次差分方程xn+1=kxn(3)的通解233.1.求一階齊次差分方程xn+1=kxn(3)的通解233.2.探索一階非齊次差分方程xn+1=kxn+b通解的結構243.2.探索一階非齊次差分方程xn+1=kxn+b通解的結構3.3.求一階非齊次差分方程(1)的通解253.3.求一階非齊次差分方程(1)的通解25262627272828292930303131323233334.差分方程在數學建模中的一些應用差分方程是描述客觀事物的數量關系的一種重要的數學模型.在科學研究和生產實際中,經常碰到處理對象涉及的變量(如時間)是連續的,但是從建模的目的考慮,把連續變量離散化更為合適,將連續變量

9、作離散化處理,從而將連續模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問題.344.差分方程在數學建模中的一些應用差分方程是描述客觀事物的數在實際建立差分方程模型時,往往要將變化過程進行劃分,劃分成若干時段,根據要解決問題的目標,對每個時段引入相應的變量或向量,然后通過適當假設,根據事物系統的實際變化規律和數量相互關系,建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規律和運算關系,從而建立起差分方程.或者對事物系統進行劃分,劃分成若干子系統,在每個子系統中引入恰當的變量或向量,然后分析建立起子過程間的這種量的關系等式,從而建立起差分方程. 35在實際建立差分方程模型時,往往要將變化過

10、程進行劃分,劃分成若在這里,過程時段或子系統的劃分方式是非常非常重要的,應當結合已有的信息和分析條件,從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃分,同時,對劃分后的時段或子過程,引入哪些變量或向量都是至關重要的,要仔細分析、選擇,盡量擴大對過程或系統的數量感知范圍,包括對已有的、已知的若干量進行結合運算、取最運算等處理方式,目的是建立起簡潔、深刻、易于求解分析的差分方程.在下面所舉的實際例子中,這方面的內容應當重點體會. 36在這里,過程時段或子系統的劃分方式是非常非常重要的,應當結合4.1.金融問題的差分方程模型1.設現有一筆p萬元的商業貸款,如果貸款期是n年,年利率是r1,今采用月還款的方

11、式逐月償還,建立數學模型計算每月的還款數是多少? 374.1.金融問題的差分方程模型1.設現有一筆p萬元的商業貸款模型分析: 在整個還款過程中,每月還款數是固定的,而待還款數是變化的,找出這個變量的變化規律是解決問題的關鍵.模型假設:模型建立:38模型分析:38模型求解: 39模型求解: 39模型的進一步拓廣分析: 40模型的進一步拓廣分析: 402.養老保險模型問題:養老保險是保險中的一種重要險種,保險公司將提供不同的保險方案以供選擇,分析保險品種的實際投資價值.即分析如果已知所交保費和保險收入,按年或按月計算實際的利率是多少,也就是說,保險公司需要用你的保費實際獲得至少多少利潤才能保證兌現

12、你的保險收益.下面的應用實例中,412.養老保險模型問題:養老保險是保險中的一種重要險種,保險公模型舉例分析:假設每月交費p元至60歲開始領取養老金,男子若25歲起投保,屆時養老金每月2282元;如35歲起保,屆時月養老金1056元;試求出保險公司為了兌現保險責任,每月至少應有多少投資收益率,這也就是投保人的實際收益率.42模型舉例分析:假設每月交費p元至60歲開始領取養老金,男子若模型假設:這應當是一個過程分析模型問題.過程的結果在條件一定時是確定的.整個過程可以按月進行劃分,因為交費是按月進行的. 假設:設投保人到第k月止所交保費及收益的累計總額為Fk;設r為每月收益率;記p、q分別為60

13、歲前每月交費數和60歲后每月領取數;記N為停交保險費的月份,M為停領養老金的月份.43模型假設:這應當是一個過程分析模型問題.過程的結果在條件一定模型建立:在整個過程中,離散變量Fk的變化規律滿足:在這里Fk實際上表示從保險人開始交納保險費以后,保險人帳戶上的資金數值.我們關心的是,在第M個月時,FM能否為非負數.如果為正數,則表明保險公司獲得收益;如為負數,則表明保險公司出現虧損;當為零時,表明保險公司最后一無所有,所有的收益全歸為保險人.44模型建立:在整個過程中,離散變量Fk的變化規律滿足:44從這個分析來看,引入變量Fk,很好地刻畫了整個過程中資金的變化關系,特別是引入收益率r,雖然它

14、不是我們所求的保險人的收益率,但是從問題系統環境中來看,必然要考慮引入另一對象:保險公司的經營效益,以此作為整個過程中各種量變化的表現基礎. 45從這個分析來看,引入變量Fk,很好地刻畫了整個過程中資金的變模型計算:46模型計算:464.2.人口的控制與預測模型背景分析:人口數量的發展變化規律及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現和模擬.但在實際應用中不是很方便,需要建立離散化的模型,以便于分析、應用.人口數量的變化取決于諸多因素,比如:女性生育率、死亡率、性別比、人口基數等.試建立離散數學模型來表現人口數量的變化規律. 474.2.人口的控制與預測模型背景分析:人口數量的發展變化規律模型假設:48模型假設:484949模型建立:50模型建立:5051515252模型分析:53模型分析:534.3.蛛網模型經濟背景與問題: 在自由競爭的市場經濟中,商品的價格是由市場上該商品的供應量決定的,供應量越大,價格就越低.另一方面,生產者提供的商品數量又是由