1、PAGE PAGE 12第12頁 共12頁習題二30.設XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 當y0時，當y0時， 故 (2)當y1時當y1時 故 (3) 當y0時當y0時 故31.設隨機變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數及密度函數；（2） Z=2lnX的分布函數及密度函數.【解】（1） 故 當時當1ye時當ye時即分布函數故Y的密度函數為（2） 由P（0X0時， 即分布函數故Z的密度函數為32.設隨機變量X的密度函數為f(x)=試求Y=sinX的密度函數.【解】當y0時，當0y1時， 當y

2、1時，故Y的密度函數為習題四16.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關.下面討論獨立性，當|x|1時， 當|y|1時，.顯然故X和Y不是相互獨立的.17.設隨機變量（X，Y）的分布律為XXY1 0 11011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的.【解】聯合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨立，由聯合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X101 PY101 PXY101 P由期望定義易得E（X）=E

3、（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關系數性質知XY=0,即X與Y的相關系數為0，從而X和Y是不相關的.又從而X與Y不是相互獨立的.18.設二維隨機變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 習題五1.一顆骰子連續擲4次，點數總和記為X.估計P10X1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設100根中有X根短于3

4、m，則XB（100，0.2）從而 6. 某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2） 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 7. 用Laplace中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數X，則p=0

5、.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 8. 設有30個電子器件.它們的使用壽命T1，T30服從參數=0.1單位：（小時）-1的指數分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）.【解】設至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元10. 對于一個學生而言，

6、來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1 名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長數相與獨立，且服從同一分布.（1） 求參加會議的家長數X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個學生來參加會議的家長數.則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會議的學生數.則YB(400,0.8)由拉普拉斯中

7、心極限定理得11. 設男孩出生率為0.515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數，則XB（10000，0.515）要求女孩個數不少于男孩個數的概率，即求PX5000. 由中心極限定理有習題六1.設總體XN（60，152），從總體X中抽取一個容量為100的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于3的概率.【解】=60,2=152,n=100即 2.從正態總體N（4.2，52）中抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區間（2.2,6.2）內的概率不小于0.95，則樣本容量n至少取多大？【解】 則(0.4)=0.975，故0.41.96,即n24.01，所以n至少應取253.設某廠生產的燈泡的使用壽命XN（1000，2）（單位：小時），隨機抽取一容量為9的樣本，并測得樣本均值及樣本方差.但是由于工作上的失誤，事后失去了此試驗的結果，只記得樣本方差為S2=1002，試求P（1062）.【解】=1000,n=9，S2=10024.從一正態總體中抽取容量為10的樣本，假定有2%的樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上，求總體的標準差.【解】，由P(|-|4)=0.02得P|Z|4(/n)=0.02,故,即查表得 所以 5.設總體XN（，16），X1，X2，X10是來