1、 拉東（Radon）變換 Radon變換是數學上的一種變換。本章先介紹拉東（Radon）變換（RT）及其反變換（IRT）;介紹以Radon變換為理論基礎的CT（Computer Tomography）技術，以及它們在地球物理勘探中的一些應用。Radon變換原理一個二維函數的Radon變換（RT）是由沿多條直線的積分所組成的，這個運算同醫學、結晶學、地球物理學等諸多領域中的大量物理實驗相對應，一般將它們稱之為投影試驗。在一些地震學的問題中也會涉及到RT或它在曲線積分上的推廣，這里我們將討論層析成像在地震學中的各種應用。從層析的意義看，沿著射線路徑傳播的信號（至少在高頻極限上可以這樣近似地講）累加

2、起來構成了模型的某些性質如慢度或慢度異常、衰減等等，當多道射線路徑從許多方向上穿經了該模型時，就可以提供出足以重建出該模型的信息。Radon變換原理若 是二維位置矢量，那么函數 的Radon變換定義為: 式中直線 所對應的方程表達式為: 其中 分別為直角坐標和極坐標的表達。Radon變換原理直射線投影中的幾何分布與變量。直角坐標和極坐標 定義了模型中的位置矢量投影角決定了坐標系。投影試驗是在S坐標的方向上沿著線L對模型做積分，它給出了坐標系中的投影數據。 Radon變換原理2.1 拉當變換的數學原理自1917年Radon先生提出這個變換以后,拉當變換在醫學、物理學、天文學等許多領域都已得到了廣

3、泛的應用。 設函數y=g(x)連續可導,而且其反函數是單值的，d(x,t)滿足可積,則定義： (2.1)為拉當正變換的連續公式, (2.2)為拉當反變換的連續公式。 Radon變換原理其中是d(x,t)拉當反變換的結果， ， 稱為Hilbert算符。根據g(x)的不同,可以把Radon變換分為線性拉東變換和非線性拉當變換：如果g(x)=x，則我們定義的拉當變換就是線性Radon變換，既-變換，該變換把t-x域中的一條直線映射成-域中的一個點；如果g(x)是其它的非線性函數，則我們定義的拉當變換就是非線性Radon變換,或稱為廣義Radon變換。 Radon變換原理在二維連續空間-時間域的Rad

4、on正反變換對： 2.3Radon變換原理 在計算機實現中，由于在時間域和空間域的離散采樣，不能應用連續函數方程，因此用離散的累加來代替連續域的積分運算；為了消除離散采樣的有限孔徑的影響，利用最小平方法計算離-變換。二維離散時間、空間域的拉當正反變換對： 2.4Radon變換原理2.2 F_X域拉當變換的數學原理 由于在t-x域中直接運算時間是非常大的，為了降低運算時間，可以將t-x域中求逆轉換到F-X域中。 在F-X域拉當變換對為： （2.5）即我們把原來的t-x域數據通過拉當變換轉化到-域去噪的方法，改為把F-X域地震數據通過拉當變換轉化到f-域去噪。 Radon變換原理F-X域拉當變換中

5、斜率參數采樣率應該滿足的條件為： 2.12Radon變換原理由此我們可以知道F-X域拉當變換中斜率參數的臨界采樣率c為： 2.13 模型測試與分析5.1 F-X域拉當變換去除噪聲的原理 在同一地層由于各種介質的物理性質相近，那么在不同的地震道，同一地層有效波的能量在相同頻段呈現線性關系，經過線性疊加會增強，而由于噪聲是隨機的、不存在線性關系，那么經過線性疊加能量會相對減弱，因此，我們就利用此種特性，在F-X域通過Radon變換增強有效波的能量，消弱噪聲能量。這里我們去除噪聲的方法很簡單，由于經過拉當變換之后，有效波能量增強，噪聲能量會減弱，那么我們就設定一個閾值，在-域中將能量大于這個閾值的保

6、留，而能量小于這個閾值的數據置零。這樣我們就可以得到通過Radon逆變換得到去除噪聲后的有效波。模型測試與分析5.2 F-X域拉當變換去除噪聲的流程圖二 在f-域濾波流程圖模型測試與分析5.3 測試F-X域拉當正反變換我們用某進行處理后無噪聲的地震資料進行測試F-X域Radon正變換，此地震資料采樣間隔為1毫秒，采樣點為4096個點，有95道數據。在Radon變換前信號如圖四所示。圖四 原始信號圖模型測試與分析對此地震資料進行傅立葉變換我們可以得到此地震數據的頻譜如圖五所示。圖五 原始信號頻譜圖在圖五中我們可以看到此地震數據是一個頻率10赫茲到30赫茲之間的信號。模型測試與分析對這個地震數據進

7、行F-X域Radon變換，變換后的信號在f-域如圖六所示。圖六 原始信號F-X域Radon變換 在圖六中我們可以看到圖中存在一個脈沖，由于在x-t域共炮點道集是有限的，做Radon變換會引起畸變端點效應，即能夠看到端點發散效應，變換到f-域是一個能量團，這與理論是一致的。 模型測試與分析我們把f-域的信號返回到F-X域，信號譜圖如圖七所示，經過反傅立葉變換我們將Radon變換后的F-X信號變換到t-x域，信號圖如圖八所示。 圖七 f-域映射到F-X域的頻譜圖 圖八 F-X域Radon變換后返回到t-x域 的信號圖 模型測試與分析從圖九我們可以看到F-X域Radon變換前后兩信號重疊，同樣，圖四

8、與圖八、圖五與圖七也表明了F-X域Radon變換前后信號的一致性，因此，返回到t-x域，保持了波的形態，說明該算法是穩定的。模型測試與分析54 F-X域拉當變換在去噪處理中的可行性測試給上一節地震數據加入信噪比為4分貝（這里：信噪比=20log2S/N）的白噪聲，則我們可以得到信噪比為4分貝白噪聲的t-x域信號如圖十所示，它的頻譜如圖十一所示。圖十 信噪比為4分貝的地震信號圖十一 被白噪聲污染的地震信號的頻譜模型測試與分析將去噪后的信號從f-域返回到F-X域，得到頻率、空間F-X 域的頻譜，如圖十四所示。再通過反傅立葉變換將F-X域的信號返回到t-x域，得到時間、空間t-x域的信號，如圖十五所

9、示。 圖十四 去噪后F-X域信號頻譜圖十五 去噪后t-x域的信號模型測試與分析為了更加明確的看到通過F-X域Radon變換去噪的質量，我們取加噪前第5道數據與F-X域Radon變換后t-x域中的第5道數據進行比較，結果如圖十七所示。 圖十七 去噪前后信號的比較 模型測試與分析從圖十五與圖十一的比較中，可以看到將高頻段的噪聲頻率去除的很干凈，從圖十五中可以看到去噪后的t-x域信號與沒有加噪時的幾乎一樣。這里我們再分析一下沒有加噪的t-x域信號與加噪后通過Radon變換濾波后t-x域信號幅度的相對誤差，如圖十八所示。圖十八 沒加噪信號與加噪濾波后信號的相對誤差 模型測試與分析在圖十八中，沒有加噪的t-x域信號與加噪后通過Radon變換濾波后t-x域信號幅度的相對誤差幾乎為零，只有少數點存在較大的相對誤差，因此，我們可以說明這種F-X域Radon變換是一種很好的去噪方法，值得推廣及利用。結束語在本文我們利用F-X域拉當變換去除噪聲，這種方法不同于以往所用的去噪方法。這種方法是利用在同一頻段，各地震道有效波的頻段經過線性積分后能量會相對于噪聲頻段增強，而噪聲頻段的能量相對消弱，我們就通過設定閥值來去除噪聲。這種去噪