1、3.3 二次函數與冪函數高考數學考點一二次函數的圖象與性質1.二次函數的解析式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(2)頂點式:若二次函數圖象的頂點坐標為(h,k),則其解析式為f(x)=a(x-h)2+k(a0);(3)兩根式:若相應一元二次方程的兩根為x1,x2,則其解析式為f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).2.二次函數的圖象和性質考點清單解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)在區間m,n上的最大值或最小值如下:當-m,n,即對稱軸在所給區間內時, f(x)的最小值在對稱軸處取得,其最小值是f=;若-, 則f(x)的最大值為f(

2、n);若-,則f(x)的最大值為f(m).當-m,n,即給定的區間在對稱軸的一側時, f(x)在m,n上是單調函數,若-m,則f(x)在m,n上是增函數, f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若n-,則f(x)在m,n上是減函數, f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m).當不能確定-是否屬于區間m,n時,則需分類討論,以對稱軸與區間的關系確定討論的標準,然后轉化為上述兩種情形求最值.考點二冪函數1.冪函數的定義一般地,形如y=x(R)的函數稱為冪函數,其中為常數.2.冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的圖象、3.冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的性質 y=

3、xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增(-,0)上減,(0,+)上增增增(-,0)上減,(0,+)上減定點(0,0),(1,1)(1,1)考法一求二次函數在閉區間上的最值(值域)知能拓展例1(2018陜西渭南尚德中學一模,20)已知函數f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)當a=2,x-2,3時,求函數f(x)的值域;(2)若函數f(x)在1,3上的最大值為1,求實數a的值.解題導引 解析(1)當a=2時, f(x)=x2+3x-3=-,因為x-2,3,所以f(x)min=f=-,f

4、(x)max=f(3)=15,所以所求函數的值域為.(2)f(x)圖象的對稱軸為直線x=-.當-1,即a-時,f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-,滿足題意;當-3,即a-時, f(x)max=f(1)=2a-3,所以2a-3=1,即a=2,不滿足題意;當1-3,即-a0)的兩實根,則x1,x2的分布范圍與一元二次方程系數之間的關系如下表:零點的分布(m,n,p為常數)圖象滿足條件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一個零點在(m,n)之間或f(m)f(n)0或或考法三冪函數的圖象及性質的應用例3(1)(2018貴州適應性考試,6)冪

5、函數y=f(x)的圖象經過點(3,),則f(x)是()A.偶函數,且在(0,+)上是增函數B.偶函數,且在(0,+)上是減函數C.奇函數,且在(0,+)上是減函數D.非奇非偶函數,且在(0,+)上是增函數(2)(2018北京東城月考,6)已知冪函數f(x)=(n2+2n-2)(nZ)的圖象關于y軸對稱,且在(0,+)上是減函數,則n的值為()A.-3B.1C.2D.1或2解題導引(1)設f(x)=xa,由y=f(x)的圖象經過(3,),求出f(x)的解析式,然后得出答案.(2)由冪函數的定義,得n2+2n-2=1,再由題意得n的值.解析(1)設冪函數的解析式為f(x)=xa,則f(3)=3a=,解得a=,則f(x)=,是非奇非偶函數,且在