1、例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換計算一個電路的電阻， 通常從歐姆定律出發， 分析電路的串并聯關系。 實際電路中，電阻的聯接千變萬化， 我們需要運用各種方法， 通過等效變換將復雜電路轉換成簡單直觀的串并聯電路。 本節主要介紹幾種常用的計算復雜電路等效電阻的方法。1、等勢節點的斷接法在一個復雜電路中， 如果能找到一些完全對稱的點（以兩端連線為對稱軸） ，那么可以將接在等電勢節點間的導線或電阻或不含電源的支路斷開（即去掉），也可以用導線或電阻或不含電源的支路將等電勢節點連接起來， 且不影響電路的等效性。這種方法的關鍵在于找到等勢點，然后分析元件間的串并

2、聯關系。常用于由等值電阻組成的結構對稱的電路。【例題 1】在圖 8-4 甲所示的電路中， R1 = R2R3=R4=R5=R ，試求 A、B兩端的等效電阻RAB 。模型分析：這是一個基本的等勢縮點的事例，用到的是物理常識是：導線是等勢體，用導線相連的點可以縮為一點。 將圖 8-4 甲圖中的 A、 D 縮為一點 A 后，成為圖 8-4 乙圖。答案： RAB = 83R 。【例題 2】在圖 8-5 甲所示的電路中， R1 = 1 ，R2 = 4 ，R3 = 3 ，R4 = 12 ，R5 = 10 ，試求 A、B 兩端的等效電阻 RAB 。模型分析：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡單的情形：將 A

3、、B 兩端接入電源，并假設 R5 不存在， C、D 兩點的電勢相等。因此，將 C、D 縮為一點 C 后，電路等效為圖8-5乙對于圖 8-5 的乙圖，求 RAB 是非常容易的。事實上，只要滿足R1 = R 3 的關系，該橋式電路平衡。R2R4答案： RAB = 154 。【例題 3】在如圖所示的有限網絡中，每一小段導體的電阻均為 R ，試求 A、 B 兩點之間的等效電阻 RAB 。【例題 4】用導線連接成如圖所示的框架， ABCD 是正四面體，每段導線的電阻都是A 1 。求 AB 間的總電阻。CDB2、電流分布法設有電流 I 從 A 點流入、 B 點流出，應用電流分流的思想和網絡中兩點間不同路徑

4、等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網絡中各支路的電流為未知量的方程組， 解出各支路電流與總電流 I 的關系，然后經任一路徑計算 A、B 兩點間的電壓 U AB ，再由 RABU ABI求出等效電阻。【例題 1】7 根電阻均為電阻絲接成如圖所示的網絡，出 A、B 兩點之間的等效電阻即可B的試求 ARAB 。【例題 2】10 根電阻均為 r 的電阻絲接成如圖所示的網絡，試求出A、B 兩點之間的等效電阻 RAB。【例題 3】8 根電阻均為 r 的電阻絲接成如圖所示的網絡， C、D 之間是兩根電阻絲并聯而成，試求出A、BCB兩點之間的等效電阻RAB 。AD電流疊加原理： 直流電路中， 任何一條支

5、路的電流都可以看成是由電路中各個電源分別作用時，在此支路中產生的電流的代數和。 所謂電路中只有一個電源單獨作用， 就是假設將其余電源均除去，但是它們的內阻仍應計及。【例題 4】“田”字形電阻網絡如圖，每小段電阻為 R，求 A、B 間等效電阻。3、Y變換法在某些復雜的電路中往往會遇到電阻的 Y 型或，如圖所示，有時把 Y 型聯接代換成等效BAI 1121R122RI 2I 1I 2R12OR31R23R3I 3I 333的型聯接，或把型聯接代換成等效的 Y 型聯接，可使電路變為串、并聯，從而簡化計算，等效代換要求 Y 型聯接三個端紐的電壓 U12、U 23、U 31及流過的電流 I 1、I 2、

6、I 3 與型聯接的三個端紐相同。將 Y 型網絡變換到型電路中的變換式：R1R2R2 R3R3 R1R12R3R1R2R2 R3R3R1R31R2R1R2R2 R3R3R1R23R1將型電路變換到Y 型電路的變換式：R12 R31R1R12R23 R31R2R12 R23R12R23R31R31 R23R3R12R23R31以上兩套公式的記憶方法： Y ：分母為三個電阻的和，分子為三個待求電阻相鄰兩電阻之積。Y：分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對面的電阻。當 Y 形聯接的三個電阻相等時，與之等效的形聯接的三個電阻相等，且等于原來的三倍；同樣，當聯接的三個電阻相等時，與之等效的 Y 形聯接

7、的三個電阻相等，且等于原來的1/3。【例題 1】對不平衡的橋式電路，求等效電阻RAB 。提示：法一： “ Y ”變換；法二：基爾霍夫定律【例題 2】試求如圖所示電路中的電流 I 。（分別應用兩種變換方式計算）11I1664 V1232136【課堂練習】分別求下圖中AB、CD 間等效電阻。 ( 答案：0.5R;RPQ =4 )4、無限網絡若 xaaaa，（a0）在求 x 值時，注意到 x 是由無限多個 a 組成，所以去掉左邊第一個a對 x 值毫無影響，即剩余部分仍為 x，這樣，就可以將原式等效變換為xa x ，即 x2x a0。所以x114a2這就是物理學中解決無限網絡問題的基本思路，那就是：無

8、窮大和有限數的和仍為無窮大。一維無限網絡【例題 1】在圖示無限網絡中，每個電阻的阻值均為 R ，試求 A 、B 兩點間的電阻 R AB 。解法一：在此模型中，我們可以將“并聯一個 R 再串聯一個 R”作為電路的一級，總電路是這樣無窮級的疊加。在圖 8-11 乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無限網絡， 當它添加一級后，仍為無限網絡，即RABR + R = RAB解這個方程就得出了RAB 的值。答案：RAB = 125R 。解法二 ：可以，在A端注入電流I 后，設第一級的并聯電阻分流為I 1 ，則結合基爾霍夫第一定律和應有的比例關系， 可以得出相應的電流值如圖 8-12 所示對圖中的中間回路，應用

9、基爾霍夫第二定律，有(I- I 1)R+(I- I 1) I1IR- I1R=0解得I 1=51 I2很顯然 UA - IR-I 1R=UB即 UAB=IR+5 1IR=1 5IR最后，R =22I=25R 。ABU AB1【例題 2】如圖所示，由已知電阻 r1 、r2 和 r3 組成的無窮長梯形網絡， 求 a 、b 間的等效電阻 R ab （開端形 ）【例題 3 】如圖所示，由已知電阻 r1 、r2 和 r3 組成的無窮長梯形網絡，求 a 、b 間的等效電阻 R ab （閉端形 ）雙邊一維無限網絡【例題 4】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨中間網孔上缺掉一個電阻r2 ，求 e 、f 之間的等效

10、電阻。（中間缺口形）【例題 5】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨旁邊缺一個電阻r2 ，求f 、g 之間的等效電阻 . （旁邊缺口形）【例題 6】如圖所示，求 g、f 間的等效電阻。（完整形）小結：一維無限網絡利用網絡的重復性。二維無限網絡【例題7】圖為一個網格為正方形的平面無窮網絡，網絡的每一個節點都有四個電阻與上下左右四個節點分別相聯，每個電阻大小均為R，由此，按左右、上下一直延伸到無窮遠處A 和B 為網絡中任意兩個相鄰節點，試求 A 、B 間的等效電阻 RAB 模型分析：如圖，設有一電流 I 從 A 點流入，從無窮遠處流出 由于網絡無窮大， 故網絡對于 A 點是對稱的，電流 I 將在聯接 A

11、 點的四個電阻上平均分配這時，電阻 R（指 A 、B 兩節點間的電阻）上的電流為 I/4，方向由 A 指向 B 同理，再設一電流I從無窮遠處流處，從節點 B流出由于網絡無窮大， B也是網絡的對稱點， 因此在電阻 R 上分得的電流也為 I/4 ，方向也是由 A 指向 B將上述兩種情況疊加，其結果將等效為一個從節點 A 流入網絡，又從節點 B 流出網絡的穩恒電流 I ，在無窮遠處既不流入也不流出每個支路上的電流也是上述兩種情況下各支路電流的疊加因此，R 電阻上的電流為I/2所以 A 、兩節點間的電勢差為：【例題 8 】對圖示無限網絡，求 A 、B 兩點間的電阻 RAB 。【例題 9】有一個無限平面

12、導體231網絡，它由大小相同的正六邊形網眼4acb9組成，如圖所示。所有六邊形每邊的5dg6e 87電阻為R0 ，求：1）結點 a、b 間的電阻。2）如果有電流 I 由 a 點流入網絡，由 g 點流出網絡，那么流過 de段電阻的電流 I de 為多大。解： （1）設有電流 I 自 a 點流入，流到四面八方無窮遠處，那么必有 I / 3 電流由 a 流向 c，有 I / 6 電流由 c 流向 b。再假設有電流 I 由四面八方匯集 b 點流出，那么必有 I / 6 電流由 a 流向 c，有 I / 3 電流由 c 流向 b。將以上兩種情況綜合， 即有電流 I 由 a 點流入，自 b 點流出，由電流

13、疊加原理可知IIII ac62 （由 a 流向 c）3IIII cb62 （由 c 流向 b）3、b 兩點間等效電阻因此， aU ABI ac R0I cbR0R0RABII2）假如有電流 I 從 a 點流進網絡，流向四面八方，根據對稱性，可以設I 1I 4I 7I AI 2I 3I 5I6 I8I9 IB應該有3I A6I BI因為 b、d 兩點關于 a 點對稱，所以I de I be1 I A2同理，假如有電流 I 從四面八方匯集到 g 點流出，應該有I deI B最后，根據電流的疊加原理可知I de I de I de1IA IB1 3IA 6IB1 I266三維無限網絡【例題 10】假設如圖有一個無限大 NaCl 晶格，每一個鍵電阻為 r ，求相鄰兩個 Na和 Cl 原子間